矩阵多项式的逆矩阵求解方法

摘  要： 矩阵多项式理论知识在很多线性代数或者高等代数教材中都有所涉及，其逆矩阵求解计算性较强，方法较多。本文主要概述了不同矩阵多项式的逆矩阵的各类求解方法，即：多项式除法、待定系数法、替代法、综合除法. 教师在课堂教学中适当地融入本文内容作为素材，可以深化教学内容，增强知识点之间的关联性，也能培养学生的探索知识点间相互渗透的主动意识，对培养学生创新意识、创新能力，提高学生学习线性代数和高等代数课程的主动性有着重要的作用.

关键词： 逆矩阵; 多项式除法; 待定系数法; 替代法; 综合除法

中图分类号：G642       文献标识码：A

Inverse Matrix Solution of  Matrix Polynomial

Cai Xuepeng

College of Mathematics and Physics， Xinjiang Agricultural University

XinjiangUrumqi Xinjiang   830052

Abstract：The knowledge of matrix polynomial is involved in many linear algebra textbooks， and its inverse matrix solution is more computationally efficient and has many methods. In this paper， various methods of solving the inverse matrix of different matrix polynomials are summarized， namely： polynomial division， undetermined coefficient method， alternative method， synthetic division method. If teachers properly integrate the content of this paper into the classroom teaching as materials， it can deepen the teaching content， enhance the correlation between knowledge points， and cultivate students' active awareness of exploring the mutual penetration of knowledge points， which plays an important role in cultivating students' innovation awareness and innovation ability and improving students' initiative in learning linear algebra and advanced algebra courses.

Keywords： Inverse matrix; Polynomial division; Undetermined coefficient method; Substitution method; Synthetic division

在線性代数中，矩阵的逆[1]是其主要的学习内容，常用的方法包括了伴随矩阵法、初等变换法等[2-6]. 这类求解方法较为基础、单一. 关于矩阵多项式的逆矩阵求解方法[8，9]课本中涉及较少， 且相关课外书籍也未大量提及， 但是部分学生对于该内容兴趣较为浓厚. 因此， 为了方便学生更加快速、便捷地对各类矩阵多项式进行逆矩阵求解. 本文重点分析矩阵多项式的逆矩阵的求解方法， 即：多项式除法、待定系数法、替代法、综合除法， 并通过几个实例简单阐述这些方法的应用， 期望能为求解各类矩阵多项式的逆矩阵问题提供一些思路.

1 预备知识

1. 1 矩阵多项式

设

是关于未知数的次多项式， 是方阵是的同阶单位矩阵， 则称

是由多项式

形成的矩阵的多项式， 记作.

1. 2 矩阵多项式的逆矩阵

设是一个阶方阵， 是矩阵的多项式， 如果存在矩阵， 有如下关系：

则称矩阵多项式是可逆的， 又称矩阵为矩阵多项式的逆矩阵[8]. 当矩阵多项式可逆时， 逆矩阵由矩阵多项式唯一确定， 记为.

2 求矩阵多项式的逆矩阵的几种方法

2. 1 多项式除法

多项式除法求矩阵多项式的逆矩阵主要针对一些抽象的矩阵多项式. 下文叙述将应用到以下两引理：

引理1[1] 对于阶方阵， 若存在矩阵， 使得或， 则矩阵可逆， 且矩阵是矩阵的逆矩阵.

引理2[5] 设和是两个给定的多项式， 则一定存在多项式和， 使得， 其中， 多项式的次数小于多项式的次数， 或者.

下面， 本文将根据的最高次数分三种情况， 并对这三种情况分别举例说明如下：

假设矩阵多项式， 求矩阵多项式的逆矩阵[7].

情形一 的次数比的次数高， 引理2中的为非零常数.

例1 设， 求的逆矩阵.

解 记

由多项式除法可知，

于是

即

所以， 的逆矩阵为.

例2 设， 求的逆矩阵.

解 记

由多项式除法可知，

于是，

即：

所以， 的逆矩阵为.

情形二 的次数比次数高， 引理2中的是次数大于等于1的多项式.

例3 设， 求的逆矩阵.

解 类似的， 根据多项式除法可得：

又因为

所以， 矩阵也是可逆的， 则

由式以及矩阵是可逆的， 可知可逆， 从而可知可逆， 其逆矩阵为：

将式的代入式， 便可得到，

综上所述， 的逆矩阵为.

例4 设， 求的逆矩阵.

解 类似的， 根据多项式除法可得：

又因为

所以， 矩阵也是可逆的， 则

由式以及矩阵是可逆的， 可知可逆， 从而可知可逆， 其逆矩阵为：

将式的代入式， 便可得到

综上所述， 的逆矩阵为.

情形三 的次数比的次数高.

例5设， 求的逆矩阵.

解 类似可知

再由多项式除法得，

将代入上式， 可得

从而

于是的逆为.

例6 设， 求的逆矩阵.

解 由例5可知

再由多项式除法得，

将代入上式， 可得，

从而，

于是的逆为.

2.2 待定系数法

采用待定系数法也可以求解矩阵多项式的逆矩阵[5]， 详细过程见例7和例8.

例7矩阵满足， 令矩阵， 证明可逆， 并且计算矩阵的逆矩阵.

解 由于的逆矩阵次数是二次， 故可设

又由于，则有

进而获取的方程组如公式所示：

通过公式及相关条件， 可以求得、和的数值，

即

经进一步的计算， 可以确定：

例8 矩阵满足， 令矩阵，证明矩阵可逆， 并且计算矩阵的逆矩阵.

解 由于矩阵的逆矩阵次数是二次， 故可设

又由于，则有

进而获取的方程组如公式所示：

通过公式及相关条件， 可以求得、和的数值，

即

经进一步的计算， 可以确定：

2. 3 替代法

设为矩阵多项式， 且当时， 存在和， 将其带入公式中， 在设定为零多项式的情况下， 可以确定， 然后可以将替换成矩阵， 并且假设， 而， 则可以确定， 从而可以确定是矩阵多项式的逆矩阵[8].

通过上述求解方式， 可以推出下述定理：

定理1[9] 设为一个阶矩阵，为复数域，，，且的根都是的特征根，则可逆的充要条件是. 此时有存在，使得

且

求解矩阵多项式的逆矩阵还可采用替代法， 具体见例9和例10.

例9 设矩阵， 同时， 计算的逆矩阵.

解 的特征多项式为：

，

且.

由上述定理可知， 可逆， 由辗转相除法可得，

.

因此由上述定理1可知，

.

例10 设矩阵， 同时， 计算的逆矩阵.

解 的特征多项式为：

，

且.

由上述定理可知， 可逆， 由輾转相除法可得，

.

因此由上述定理1可知，

.

2.4 综合除法

求解矩阵多项式的逆矩阵还可采用综合除法， 具体见例11

例11 已知矩阵满足关系式，计算.

解 设

， ，

从题目中可知，

， 为的零化多项式，

利用综合除法求得，

，

故

.

例12 已知， 在公式中， 成立，计算.

解 设

， ，

从题目中可知，

， 为的特征多项式，

利用综合除法求得，

，

故

.

结合定理1， 将矩阵多项式最小化， 由此可得

.

3 结论

矩阵逆矩阵的求解方法很多， 较为常见的有初等变换法和伴随矩阵法， 这两种方法是求逆矩阵较简单的方法， 这两种求解方法一般要先计算出矩阵多项式， 然后再用逆矩阵求解方法计算， 过程比较繁琐， 而且容易出错.

本文主要结合多项式除法、待定系数法、替代法、综合除法对矩阵多项式的逆矩阵进行求解. 在实际求解过程中， 应根据多项式的实际情况， 选择最为便捷的解法， 以提升对矩阵多项式逆矩阵的求解效率.

参考文献：

[1]王萼芳.高等代数教程[M].清华大学出版社，1997.

[2]田贵月，李晓玲.关于矩阵求逆的教学设计[J].数学学习与研究，2021， （17）：12-13.

[3]潘就合.多视角深化线性代数矩阵教学的探索[J].科技风，2021，No.451（11）：71-72.

[4]田金玲.两种对称矩阵的逆矩阵求法[J].滨州学院学报，2020，36（06）：89-96.

[5]许娟，王颖.矩阵多项式可逆的判断及求法[J].高等数学研究，2023，26（01）：7-8+20.

[6]雷震.关于矩阵多项式的交换性[J].高师理科学刊，2022，42（07）：29-31.

[7]杨海霞，张会凌，吴应琴.用多项式除法求矩阵多项式的逆[J].科技風，2021，451（11）：65-66.

[8] 张羽驰.矩阵多项式的逆矩阵求解方法[J].黑龙江科技信息， 2016， 4（25）： 80.

[9] 周志琛.矩阵多项式的逆矩阵求解方式探讨[J].开封教育学院学报，2016，36（12）： 126-127.

基金项目：新疆农业大学教研教改项目“融入人工智能元素的《线性代数》课程的教学案例设计”，项目编号：2024PTJG092

作者简介：蔡学鹏（1991—  ），男，汉族，甘肃武威人，硕士，讲师，主要从事图论及其应用和矩阵理论研究。