奇思妙想巧思维，三角换元妙突破

冯丽娟

所谓三角换元法，就是将题设中相应的代数式变换成三角表达式，借助三角函数知识来分析与解决问题的一种基本解题方法．三角换元法的解题关键，就是根据题设条件中的代数式的结构特征，合理联系起三角函数知识，巧妙选择对应的合适的三角函数或三角函数式去代数相应代数式中的变数，进而深入研究与探讨，从而得以有效解决数学问题．

1．方程问题中的三角换元法

在一些方程问题中，特别是方程中的条件或所求结论等含有特殊的结构特征（特别是平方关系）时，常可采用三角换元法思维切入来分析与求解．

例1  （2024届辽宁省实验中学月考16）已知a2+2ab－b2=1，则a2+b2的最小值为．

解析：设a2+b2=t2，t>0，则有a=tcosα，b=tsinα，α∈［0，2π），代入a2+2ab－b2=1，有t2cos2α+2t2sinαcosα－t2sin2α=1，整理可得t2=1cos2α+2sinαcosα-sin2α=1cosα+sin2α=12sin（2α+π4）≥12=22，当且仅当sin（2α+π4）=1，即α=π8时等号成立，此时t2取得最小值为22，即a2+b2的最小值为22．

评注：题设条件中涉及a2+b2=1形式或结论中与a2+b2等结构特征有关的代数问题时，往往可以合理联想三角函数中的平方关系sin2α+cos2α=1，巧妙利用三角换元法思维，将代数式问题转化对应的三角函数关系式问题，借助三角函数的知识来分析与求解．

2．函数问题中的三角换元法

在一些函数问题中，结合函数的解析式等所包含特殊的结构特征时，契合三角函数中的平方关系、三角恒等变换公式的结构形式等时，经常可以巧妙转化，采用三角换元法思维切入来分析与求解．

例2  函数f（x）=x+1-x的值域为．

解析：依题知函数f（x）=x+1-x的定义域为{x|0≤x≤1}，根据（x）2+（1-x）2=1，通过三角换元有x=cosθ，1-x=sinθ，其中θ∈［0，π2］，所以函数f（x）=x+1-x=cosθ+sinθ=2sin（θ+π4），由于θ∈［0，π2］，则有θ+π4∈［π4，3π4］，可得f（x）=2sin（θ+π4）∈［1，2］.

评注：在解决此类涉及两个根式之和的函数的值域问题时，合理观察函数解析式的结构特征，与三角函数中的相关公式等加以对比与联系，借助三角换元法引入三角函数，巧妙将比较复杂且难解决的函数的值域问题转化为三角函数的值域问题，进而结合三角函数的相关知识来分析与解决，思维巧妙，方便简捷．

3．数列问题中的三角换元法

在一些数列问题中，利用数列的递推关系式等所具有的特殊结构形式，或直接分析，或变形处理，类比并联想到三角恒等变换公式的形式，特别是二倍角的余弦公式等，可以通过知识迁移，采用三角换元法思维切入来分析与求解．

例3  已知正项数列{an}中，a1=2，an+12=2an1+an．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）证明：不等式a1a2a3…an<π2恒成立．

解析：（1）由an+12=2an1+an恒等变形可得2an+12－1=1an，设an=1cosθn（其中θn∈（0，π2）），则2cos2θn+1－1=cosθn，

利用二倍角公式有cos2θn+1=cosθn，又由θn∈（0，π2）可得θn+1=12θn，而cosθ1=1a1=22，解得θ1=π4，所以θn=π4×（12）n－1=π2n+1，所以an=1cosθn=1cosπ2n+1.

（2）由（1）可知an=1cosπ2n+1，所以a1a2a3…an=1cosπ22cosπ23cosπ24…cosπ2n+1=2nsin=π2π+1

2nsinπ2π+1×cos

π22cosπ23cosπ24…cosπ2n+1

=2nsinπ2n+1sinπ2=2n·sinπ2n+1=π2·sinπ2n+1π2n+1，而當x>0时，恒有sinxx<1成立，则有π2·sinπ2n+1π2n+1<π2，所以不等式a1a2a3…an<π2恒成立．

评注：解决此类数列递推关系式问题，不属于常规且比较熟悉的类型，无法借助常规思维来分析与处理．而通过数列递推关系式的变形与转化，合理与三角函数中的相关公式加以联系，进而借助三角换元法思维，引入三角思维，将数列问题转化并过渡到三角函数问题中去，借助公式合理化简、巧妙降幂等处理，再利用三角函数的知识来分析与转化，得以巧妙解决相应的数列问题．

4．不等式问题中的三角换元法

在一些不等式的求解、判定与证明等问题中，特别是一些根式不等式、分式不等式等，通过不等自身所具备的特殊结构形式，合理转化为三角函数中的平方关系或三角恒等变换公式形式等，利用恒等变形，采用三角换元法思维切入来分析与求解．

例4  解不等式：4-x2

解析：依题知4－x2≥0，即|x|≤2，三角换元可设x=2sinθ（其中θ∈［－π2，π2］），代入原不等式，可得2cosθ<4sin2θ－2sinθ－2，移项变形可得（sinθ+cosθ）+（1－2sin2θ）<0，结合三角公式可得2sin（θ+π4）+cos2θ<0，即2sin（θ+π4）+sin（2θ+π2）<0，整理可得2sin（θ+π4）［1+2cos（θ+π4）］<0，而θ∈［－π2，π2］，可知1+2cos（θ+π4）≥0，则有sin（θ+π4）<0，结合θ∈［－π2，π2］，解得－π2≤θ<－π4，则有－2≤2sinθ<－2，即－2≤x<－2，所以原不等式的解集为{x|－2≤x<－2}．

评注：在解决一些含有根式、分式以及具有三角函数特征的不等式求解问题，借助三角换元法，使得对应的不等式更加简捷，更加方便分析与求解．三角换元的根本目的就是合理升、降幂或去分母等处理，将不等式的求解问题转化为三角函数的性质应用问题，从而得以巧妙转化与应用．

例5  （多选题）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（  ）.

A．a2+b2≥12     B．2a－b>12C．log2a+log2b≥－2  D．a+b≤2

解析：依题a>0，b>0，且a+b=1，三角换元可设a=cos2θ，b=sin2θ，θ∈（0，π2），对于A，由于a2+b2=cos4θ+sin4θ=（cos2θ+sin2θ）2－2cos2θsin2θ=1－12sin22θ≥1－12=12，当且仅当sin22θ=1，即θ=π4，亦即a=b=12时等号成立，故A正确；对于B，由于2a－b=2cos2θ-sin2θ=2cos2θ>2－1=12，故B正确；对于C，log2a+log2b=log2ab=log2（cos2θsin2θ）=log2（14sin22θ）≤log214=－2，当且仅当sin22θ=1，即θ=π4，亦即a=b=12时等号成立，故C不正确；对于D，因为a+b=cosθ+sinθ=2sin（θ+π4）≤2，当且仅当sin（θ+π4）=1，即θ=π4，亦即a=b=12時等号成立，故D正确.综上知选ABD．

评注：基于题设条件场景下进行三角换元法处理，而对于不等式的判定问题，都可以将其转化为三角函数的相关知识来分析与处理，目标更加明确，处理起来更加方便快捷．在具体判断不等式问题时，往往离不开不等式的基本性质、基本不等式的应用等，同时也要注意三角换元法思维下三角函数相关知识，特别是三角函数有界性的应用等．

通过以上几例可见，借助三角换元法，在解决一些函数与方程、数列、不等式等非三角函数问题时，深刻挖掘问题的内涵与本质，巧妙通过三角换元处理，利用三角函数的基本知识，借助三角函数的图象与性质，特别是三角函数的有界性等，是解决对应问题的一种“巧技妙法”，对一些问题的解决有着非常惊人的效益．三角换元法思维应用的关键在于抓住问题的本质与内涵，有效发展学生的认知力，培养学生的创新意识与创新能力，全面提升数学解题能力与核心素养．