一道双曲线联考题的解法、背景探究与推广

行凯歌 吴婧婧

本文系江苏省中小学教学研究第十四期立项课题《高中数学拔尖创新人才的培养策略研究》（课题编号：2021JY14－XK16）的阶段性成果.

本文以一道高三联考试题为例，从不同视角进行解析，探索双曲线中一类与渐近线有关的弦长、线段长度问题的命制背景，對其逆向探究，并尝试将所得结论推广到“相似”圆锥曲线，试图对这类问题的求解策略、命题背景有更深刻的认识.

1  试题呈现

（2023年湖南高三联考）设点F是双曲线C：x2a2-y23=1（a>0）的右焦点，过点F的直线l交双曲线C的右支于点A，B，分别交两条渐近线于点M，N，点A，M在第一象限，当l⊥x轴时，AB=6.

（1）求双曲线C的标准方程;

（2）若AB2=60AM·AN，求直线l的斜率.

2  解法探究

本题考查双曲线的基本性质，直线与双曲线的位置关系，利用韦达定理解决弦长、线段长度问题，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，考查数学运算和逻辑推理核心素养，属较难题.第（1）问较为容易，答案为x2-y23=1，过程略;第（2）问难度较高，下面分享两种解法.

解法1：（学生的“自然”解法）易知F（2，0），设直线l：x=ty+2，与双曲线联立得（3t2-1）y2+12ty+9=0. 因为直线l交双曲线C的右支于点A，B，所以3t2-1≠0，△=36t2+36>0，y1y2<0，解得-33

评注：在处理直线与双曲线关系的问题时，设出直线方程与双曲线联立消元得出韦达定理是常用的方法，容易求出AB，但AM·AN不容易求出，借助y1与t的关系，可将其表示为t的代数式，进而求解即可.此法虽然思维量较小，但对学生的计算能力要求较高，需要学生有较强的代数变形能力.

解法2：（试题的“标准”解法）由解法1知，AB=6（1+t2）1-3t2，MN=1+t2·|y3-y4|=431+t21-3t2.取AB中点P，由y1+y2=y3+y4可知，点P也为MN的中点，所以AM·AN=（PM-PA）·（PN+PA）=PM2-PA2=14（MN2-AB2）.又因为AB2=60AM·AN=15（MN2-AB2），所以16AB2=15MN2，即16×36（1+t2）2（1-3t2）2=15×48（1+t2）（1-3t2）2，解得t=±12，所以直线l的斜率为±2.

评注：先通过计算，发现AB中点与MN中点重合，然后将题设条件AB2=60AM·AN转化为AB和MN的等量关系式，再借助弦长公式分别求出AB和MN，进而求解即可.此法虽然计算量小，但对学生的分析转化能力要求较高，需要学生对双曲线的性质及题目的命制背景有一定研究.

3  背景探究及逆向探究

在原题中，直线AB经过双曲线的右焦点，那么直线AB能否一般化？经过研究，发现下述命题，证明略.

命题1  如图1和图2，设A，B为双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）上的两点，直线AB与双曲线的渐近线相交于C，D两点，则AC=BD.

性质1  双曲线弦中点（垂径定理）：直线l与双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）相交于A，B两点，M为线段AB的中点，若kOM，kAB，均存在，则kOMkAB=b2a2.

性质2  渐近线弦中点（垂径定理）：直线l与双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的两条渐近线相交于A，B两点，M为线段AB的中点，若kOM，kAB，均存在，则kOMkAB=b2a2

命题2  如图1和图2，设A，B为双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）上的两点，直线AB与双曲线的渐近线相交于C，D两点，则

（1）当直线AB定向时，AC·AD为定值.特殊地，当直线AB⊥x轴时，AC·AD=b2;

（2）当直线AB经过双曲线的焦点时，ABAC·AD=2a.

证明：在图1中，当直线AB不与坐标轴垂直时，AB=1+t2·（y1+y2）2-4y1y2=2ab1+t2b2t2-a2+n2a2-b2t2，CD=1+t2·（y3+y4）2-4y3y4=2abn1+t2a2-b2t2，所以AC·AD=12（CD-AB）·12（CD+AB）=14（CD2-AB2）=a2b2（1+t2）a2-b2t2（定值），其中t=1kAB.特殊地，当直线AB⊥x轴时，设直线AB的方程为x=n，此时AB=2bn2-a2a，CD=2bna，则AC·AD=b2（定值）.

当直线AB经过双曲线的右焦点时，显然直线AB不与y轴垂直，设直线AB的方程为x=ty+c，类似可得，AB=2ab2（1+t2）a2-b2t2，CD=2abc1+t2a2-b2t2，所以AC·AD=a2b2（1+t2）a2-b2t2，ABAC·AD=2a（定值）.当直线经过双曲线的左焦点时，同理可证.

在图2中，同法可证上述结论，证明略.由此可见，在原题中，由ABAM·AN=2a=2（定值）及AB2=60AM·AN可知，AB=30为定值.又因为直线AB过双曲线的右焦点（定点），所以直线l的斜率必然为定值.由AB=6（1+t2）1-3t2=30，解得t=±12，所以直线l的斜率为±2.

那么，命题2的逆命题是否成立呢？笔者经过研究，发现下述命题3.

命题3  如图1和图2，设A，B为双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）上的两点，直线AB与双曲线的渐近线相交于C，D两点，则（1）若AC·AD为定值，则直线AB定向.特殊地，若AC·AD=b2，则直线AB⊥x轴;（2）若ABAC·AD为定值且直线AB不与坐标轴垂直，则直线AB过双曲线的焦点且ABAC·AD=2a.

证明：在图1中，当直线AB不与坐标轴垂直时，由命题2的证明过程知，AC·AD=a2b2（1+t2）a2-b2t2.若AC·AD为定值，记为m，则t2=a2（m-b2）b2（m+a2为定值且t≠0，所以直线AB定向且不与坐标轴垂直.特殊地，当AC·AD=b2时，t=0，所以直线AB⊥x轴.

当直线AB不与坐标轴垂直时，由命题2的证明过程知，AB=2ab1+t2t2-a2+n2a2-b2+t2，AC·AD=a2b2（1+t2）a2-b2t2，所以ABAC·AD=2ab·b2t2-a2+n21+t2.若ABAC·AD为定值，则b21=-a2+n21，解得n2=a2+b2=c2，即n=±c，所以直线AB过双曲线的焦点.此时ABAC·AD=2abb2t2-a2+n21+t2=2ab·b=2a（定值）.

在图2中，同法可证上述结论，证明略.

4  应用举例

例1  （2023深圳一模）已知双曲线E：x24-y2=1与直线l：y=kx-3相交于A，B两点，M为线段AB的中点.（1）当k变化时，求点M的轨迹方程;（2）若l与双曲线E的两条渐近线分别相交于C，D两点，问：是否存在实数k，使得A，B是线段CD的两个三等分点？若存在，求出k的值;若不存在，说明理由.

简析：（1）易得M的轨迹方程为x2=4y2+12y（y≤3或y＞13）.

（2）将直线l与双曲线联立得（1-4k2）x2+24kx-40=0.因为A，B是线段CD的两个三等分点，所以A，B一定在双曲线的同支上，所以1-4k2≠0，△=160-64k2>0，-401-4k2>0，解得14

例2  （2023江西鷹潭模考）已知双曲线E：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的离心率为2，右焦点F到渐近线的距离为3，过右焦点F作斜率为正的直线l交双曲线的右支于A，B两点，交两条渐近线于C，D两点，点A，C在第一象限，O为坐标原点.（1）求双曲线E的方程;

（2）设△OAC，△OAD，△OAB的面积分别是S△OAC，S△OAD，S△OAB，若不等式λS△OAC·S△OAD≥S△OAB恒成立，求λ的取值范围.

简析：（1）易得E的方程为x2-y23=1.

（2）设直线l：x=ty+2（0

5  一般化探究

我们注意到双曲线的渐近线可设为x2a2-y2b2=0，不禁让人猜想，若将其改为x2a2-y2b2=λ（λ>0，且λ≠1），是否有类似结论？笔者经过研究，发现“相似”双曲线有下述命题：

命题4  如图3和图4，设A，B为双曲线C1：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）上的两点，直线AB与双曲线C2：x2a2-y2b2=λ（λ＞0，且λ≠1，a>0，b>0）相交于C，D两点，则AC=BD，且有如下结论：

（1）当直线AB定向时，AC·AD为定值.特殊地，当直线AB⊥x轴时，AC·AD=b2|λ-1|;当直线AB⊥y轴时，AC·AD=a2|λ-1|;

（2）当直线AB经过双曲线C1的焦点时，ABAC·AD=2a·1|λ-1|;

（3）若AC·AD为定值，则直线AB定向.特殊地，若AC·AD=b2|λ-1|，则直线AB⊥x轴；若AC·AD=a2|λ-1|，则直线AB⊥y轴;

（4）若ABAC·AD为定值且直线AB不与坐标轴垂直，则直线AB过双曲线C1的焦点且ABAC·AD=2a·1|λ-1|.

类似地，对于“相似”椭圆和“相似”抛物线，有：

命题5  如图5，设A，B为椭圆C1：x2a2+y2b2=1（a>0，b>0）上的两点，直线AB与椭圆C2：x2a2+y2b2=λ（λ>0，且λ≠1，a>b>0）相交于C，D两点，则AC=BD，且有如下结论：

（1）当直线AB定向时，AC·AD为定值.特殊地，当直线AB⊥x轴时，AC·AD=b2|λ-1|;当直线AB⊥y轴时，AC·AD=a2|λ-1|;

（2）当直线AB经过椭圆C1的焦点时，ABAC·AD=2a·1|λ-1|;

（3）若AC·AD为定值，则直线AB定向.特殊地，若AC·AD=b2|λ-1|，则直线AB⊥x轴；若AC·AD=a2|λ-1|，则直线AB⊥y轴;

（4）若ABAC·AD为定值且AB不与坐标轴垂直，则AB过椭圆C1的焦点，且ABAC·AD=2a·1|λ-1|.

命题6  如图6，设A，B为抛物线C1：y2=2px（p>0）上的两点，直线AB与抛物线C2：y2=2p（x-λ）（λ≠0，p>0）相交于C，D两点，则AC=BD，且有如下结论：

（1）当直线AB定向时，AC·AD为定值.特殊地，当直线AB⊥x轴时，AC·AD=2p|λ|;

（2）当直线AB经过抛物线C1的焦点时，ABAC·AD=1|λ|;

（3）若AC·AD为定值，则直线AB定向.特殊地，若AC·AD=2p|λ|，则直线AB⊥x轴;

（4）若ABAC·AD为定值且直线AB不与坐标轴垂直，则直线AB过抛物线C1的焦点且ABAC·AD=1|λ|.

命题4-6的证明与命题1-3的证明类似，证明略.