一道高考不等式选考题的探究

李亚文 江玉文

1  试题呈现

题目  已知a，b，c，且a32+b32+c32=1，证明：（1）abc≤19； （2）ab+c+ba+c+ca+b≤12abc.（2022年高考全国乙卷理科23题）

2  解法分析

本试题可以采用高中常用的三种基本的不等式证法：三元均值不等式、幂平均不等式、构造函数切线法进行证明.

证明：（1）（证法1）因为a，b，c，为正数，由三元均值不等式得a32+b32+c32≥33a32b32c32=3abc，所以3abc≤1，即abc≤19，当且仅当a=b=c=3－23时取等号.

（证法2）由三元AM-GM不等式得abc=（3a32b32c32）2≤（a32+b32+c323）2=19.

（证法3）由幂平均不等式得3abc≤（a32+b32+c323）23，所以3abc≤（13）23.于是abc≤19，当且仅当a=b=c=3－23时取等号.

（证法4）欲证abc≤19，即证lna+lnb+lnc≤－2ln3， 即证lna32+lnb32+lnc32≤－3ln3，令f（x）=lnx，由f″（x）<0得f（x）是上凸函数.由琴生不等式得f（a32）+f（b32）+f（c32）≤3f（a32+b32+c323）=3f（13）=－3ln3，当且仅当a=b=c=3－23时取等号.

（2）（证法1）由二元AM-GM不等式得ab+c+ba+c+ca+b≤a2bc+b2ca+c2ab=12abc·（a32+b32+c32）=12abc，当且仅当a=b=c=3－23时取等号.

（证法2）欲证ab+c+ba+c+ca+b≤12abc成立，只需证a32bcb+c+b32aca+c+c32aba+b≤12，又因为b+c≥2bc，a+c≥2ac，a+b≥2ab，所以a32bcb+c+b32aca+c+c32aba+b≤a32bc2bc+b32ac2ac+c32ab2ab=a32+b32+c322=12，当且仅当a=b=c=3－23时取等号.

3  考题背景探究

本题的背景是著名的Nesbitt不等式：设x，y，z是正实数，则xy+z+yz+x+zx+y≥32 ①.

将不等式①适当变形即可得到2022年高考全国乙卷理科23题，具体过程如下：

由不等式①可得

x2yz+y2xz+z2xy≥xy+z+yz+x+zx+y≥32 ②.

于是得x2yz+y2xz+z2xy≥32，（x2yz+y2xz+z2xy）·2xyz≥32×2xyz，（x32+y32+z32）≥3xyz，（x32+y32+z32）2≥9xyz，xyz≤19（x32+y32+z32）2 ③.

所以由③式得到考题第（1）问.

由②式得xy+z+yz+x+zx+y≤x2yz+y2xz+z2xy，xy+z+yz+x+zx+y≤12xyz·（x32+y32+z32） ④.所以由④式得到考题第（2）问.

4  Nesbitt不等式的变式

笔者由Nesbitt不等式进行变式，得到：

变式1  设a，b，c是正实数，且11+a+11+b+11+c=2，则有a+b+c≥32.

變式2  设a，b，c是正实数，且a+b+c+2=abc，则有a2+b2+c22≥ab+bc+ca.

变式3  设a，b，c是正实数，且a+b+c+abc=4，则有abc+bca+cab≥a+b+c.

变式4  设a，b，c是正实数，且a+b+c=1，则有a1－a+b1－b+c1－c≥32.

变式5  设a，b，c是正实数，则有（a－b）2（c+a）（c+b）+（b－c）2（a+b）（a+c）+（c－a）2（b+c）（b+a）≥（a－b）2a2+b2+c2.

变式6  对满足a+b+c=3的非负实数a，b，c，则有a+33a+bc+b+33b+ca+c+33c+ab≥3.

变式7  设a，b，c是正实数，则有2a2b+c+2b2c+a+2c2a+b≥a+b+c.

变式8  设a，b，c是正实数，且abc=1，则有1a3（b+c）+1b3（c+a）+1c3（a+b）≥32.

变式9  设a，b，c是正实数，则有a+bc2+b+ca2+c+ab2≥2（1a+1b+1c）.

5  变式的应用举例

例1  设a，b，c为正实数，求证：a3－2a+2b+c+b3－2b+2c+a+c3－2a+2a+b≥32.

证明：因为a3－2a+2≥3a－2a=a等三式，有a3－2a+2b+c+b3－2b+2c+a+c3－2a+2a+b≥ab+c+bc+a+ca+b≥32.

例2  设a，b，c是正实数，且abc=1，求证：1a2（b+c）+1b2（c+a）+1c2（a+b）≥32.

证明：令a=1x，b=1y，c=1z，则x，y，z>0，且xyz=1，所证等价于x2y+z+y2z+x+z2x+y≥32，由变式7知x2y+z+y2z+x+z2x+y≥12x+y+z≥323xyz=32.

例3   设a，b，c是正实数，且a+b+c=1，求证：11－a+11－b+11－c≥92.

证明：由变式4知11－a+11－b+11－c

=a+b+c1－a+a+b+c1－b+a+b+c1－c

=a1－a+b1－b+c1－c+3≥32+3=92.

例4  设正实数a，b，c满足ab+bc+ca=3，证明：ab+ca+2b2+bc+ab+2c2+ca+bc+2a2≥16.

证明：因为aa+2b+bb+2c+cc+2a=

a2a（a+2b）+b2b（b+2c）+c2c（c+2a） ≥（a+b+c）2a（a+2b）+b（b+2c）+c（c+2a）=1，所以a（b+c）（a+2b）2+b（c+a）（b+2c）2+ca+bc+2a2=aa+2b2ab+c+bb+2c2bc+a+cc+2a2ca+b ≥aa+2b+bb+2c+cc+2a2ab+c+bc+a+ca+b=12ab+bc+ca=16.

参考文献

［1］杨春波.Nesbitt不等式的十七种证明［J］.中学数学杂志，2015（05）：34-36.

［2］邓启龙.由Nesbitt不等式引发的探究［J］.数学通讯，2020（19）：49-52.