高中数学试题的命制与实践过程

本文系2022年龙岩市基础教育教学研究课题“在新教材中渗透经典文化、挖掘数学精神的策略研究”（编号：JKYJX22-036）、2023年龙岩市高级中学教育组团课题“高中数学试题命制的实践研究”的阶段性研究成果.

1  引言

高中数学课程标准明确指出，“学业质量是学生自主学习与评价、教师教学活动与评价、教材编写的指导性要求，也是相应考试命题的依据.”还强调“命题应依据学业质量标准和课程内容，注重对学生数学学科核心素养的考查”“选择合适的问题情境”，还要求“融入数学文化”.因此试题命制要通盘考虑，应预先设置细目表，如知识点的覆盖面、试题情境的创设、多维度切入、思想方法与核心素养的渗透、试题的难易度等.

2  试题命制的依据及原则

《课程标准》和教材是试题命制的重要依据，教材具有典型性、示范性和拓展性，近年高考题是高考的风向标，具有导向性、标准性、普适性、迁移性.根据学情确定考查内容、难度，结合核心素养、思想方法，全卷统筹，设置细目表，创设试题情境，形成初稿，然后打磨、多次修改，最后定稿.试题命制过程中应遵循科学性、严谨性、基础性、梯度性及原创性原则.

3  试题命制的主要途径

（1）改编好题

目前，多数教师直接采用原题组卷，主要原因有命题经验缺乏、精力不足、生怕改编有误等.笔者以为，平时有意识改编试题有助于自身专业成长，在命题专家或优秀教师的指导下，能较快掌握改编试题的技巧，如改编数字、置换情境、变换问题、类比迁移、增加题干长度等，为后续命制原创题做好铺垫.

例如  （2023年高考全国甲卷文科第4题）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（  ）.

A.16    B.13    C.12     D.23

在学习古典概型后，或高三复习时，置换试题情境改编为：某校劳卫部有5名学生，其中高一、高二年级分别有2名、3名．现从这5名学生中随机抽调2名组织校劳动卫生大检查，则这2名学生来自不同年级的概率为.

（2）创设情境

“三新”背景下的数学命题有较大的变化，譬如，课标的修订、文理同卷、教材内容增删、设置多选题与双空题、结构不良问题等，命题者命题时需要考虑不同学生群体的特点，落实核心素养，贯彻立德树人、五育并举，经典文化、美学、科技成就、生活模型、科学研究、劳动生产、跨学科融合等，均可作为试题命制的真实情境.

例如，在考查计数原理时，挖掘中国元素与数学的契合点，结合经典文化作为命题背景，弘扬中国优秀传统文化，增强文化自信，开阔学习视野，提升文化素养和审美意识，可以这样命题：

为弘扬《诗经》的“六义”文化，某校计划在校本选修课中开设“赋”、“比”、“兴”、“风”、“雅”、“颂”六门体验课程，每天开设一门，连续开设6天，则（  ）.

A．从六门课程中选两门的不同选法共有30种

B．课程“雅”不排在第三天的不同排法共有720种

C．课程“风”、“颂”排在不相邻两天的不同排法共有288种

D．课程“赋”、“比”、“兴”排在不都相邻的三天的不同排法共有576种

4  一道试题的命制历程

笔者参与学校2022～2023学年第一学期高二期末市统考命题，对单选题第8题的命制几易其稿，并与命题组成员深入打磨，以下是该题命制历程.

第8题考查内容为数列，处于压轴题位置，既要让优秀学生能够发挥解题实力，又要成为他们的拦路虎，因此命题组确定“难度估计值为0.3、改编题”.笔者经过深思、翻阅和挑选，选中一道原题作为改编题.

原题  记Sn是各项均为正数的数列{an}的前n项和，a1=1，且an=Sn+Sn-1（n≥2）.

（1）求数列{an}的通项公式；（2）证明：当n≥2时，1a1+12a2+13a3+…+1nan<32.

命题意图：考查an与Sn的递推关系、等差数列的通项公式与求和公式、裂项相消求和等.经解题与研究，抽丝剥茧触本质，优化解题过程与方法，知晓数列{an}是等差数列，可充分考查裂项相消求和、放缩法，让教学与考试达成“出乎意料之外，但在情理之中”，解题思路有迹可循，有法可依，有养可查，对考场发挥与信心提升起着正面作用，于是修改原题的某些数据，不改变解题方法，用数学眼光、数学思维、数学语言命题，形成第一稿.

第一稿：记Sn是各项均为正数的数列{an}的前n项和，a1=4，且an=2（Sn+Sn-1）（n≥2），则下列选项错误的是（  ）.

A．an=8n－4    B．Sn=4n2C．∑nk=11Sk<85    D．∑nk=1ak+1SkSk+1<14

提交命题组长后，组长认为各选项设置基本合理，但是没有亮点，且选项易被验证，提议增加题干长度，适当包装题目，提高选项难度，增设最值问题.于是，笔者引入数列{bn}，置换选项，增加最值选项，形成第二稿.

第二稿：记Sn是各项均为正数的数列{an}的前n項和，a1=4，数列{bn}满足bn=Sn，且an=2（bn+bn－1）（n≥2），则下列选项错误的是（  ）.

A．an=8n－4        B．∑nk=11Sk<4125

C．数列{an（2）bn}的最大项为3  D．∑nk=1ak+1SkSk+1<14

再次磨题，认为：选项B难度较大，涉及高数内容∑+∞n=11n2=π26，稍微降低难度；选项C则过于简单，应该设置到n=6或其之后，或者改变底数，进而增加检验难度或检验过程.于是，与命题组的老师合作探究，对底数多次设置不同数值，逐一验证，最后认为选择79作为底数比较合理，于是形成第三稿.

第三稿：记Sn是各项均为正数的数列{an}的前n项和，a1=4，数列{bn}满足bn=Sn，且an=2（bn+bn－1）（n≥2），则下列错误的是（  ）.

A．an=8n－4    B．∑nk=11Sk<512

C．数列{（79）12bnan}的最大项为6860729

D．∑nk=1ak+1SkSk+1<14

命題组长亲自做了一遍，比较满意选项的设置，但认为选项B可从多种放缩的角度进行裂项相消求和来设置具体数值，∑nk=11Sk<512是从第3项开始放大，难度偏大.命题组长的建议让笔者想起拙文《放缩法失效了？》［2］，在多种放缩方式、哪项开始放缩的角度去斟酌，决定从n2>n2－1、n2>n（n－1）、n2>n2－14三种放缩方式中挑选第1种、且从第2项开始放大来设置，当然第3种方式也可以达成解题目标，这也促成解题的切入点宽.至此形成第四稿，即定稿.

定稿：记Sn是各项均为正数的数列{an}的前n项和，a1=4.数列{bn}满足bn=Sn，且an=2（bn+bn－1）（n≥2），则下列选项错误的是（  ）.

A．an=8n－4    B．∑nk=11Sk<716

C．数列{（79）12bnan}的最大项为6860729

D．∑nk=1ak+1SkSk+1<14

即使考查相同知识点，但在不同位置、不同层次，命题方式肯定也不一样.只有经常磨课标、磨教材、磨题、磨人，查缺补漏，关注热点，推陈出新，以核心素养为导向，培养学生的综合能力，在试题情境设置上，我们才能命制更适合学情的试题，符合“教—学—评”的一致性，这样的试题才更有价值.“核心价值金线”贯穿高考命题和评价的始终，“能力素养银线”成为高考命题和考查的重心，而“情境”作为考查载体，是“金线”和“银线”的串联线，今后的试题情境设计必会越发新颖，因此应加强命题培训，积极开展试题评价，不断提升命题能力，让命题有效助力教学，转化为教学实践.

参考文献

［1］中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［S］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］谢盛富.放缩法失效了？［J］.福建中学数学，2017（5）：46-47.