2024年全国新高考适应性测试三角函数试题分析及备考建议

作者简介：黄国稳，1983年生，广西天等人，硕士研究生，高级教师，主要研究方向为中学数学教学研究。

摘 要：试题研究的目的是了解试题设计的内容，分析试题命制的特点，从中获取教育教学的启示。课题组从考查目标、命制过程等角度对九省联考试题中三角函数试题进行分析，探究新高考背景下试题的命制特点，提出回归课本抓基础、题组训练升效率和变式训练提素养等三角函数复习建议。

关键词：三角函数；试题分析；复习建议

中图分类号：G63 文献标识码：A 文章编号：0450-9889（2024）08-0078-05

为实现新高考改革的平稳过渡，2024年1月19日—21日，广西、江西、安徽、黑龙江、甘肃、吉林和贵州等第四批高考综合改革省份（自治区）联合举行高考改革适应性演练测试，即九省联考。九省联考数学学科考试题目由教育部教育考试院命制（以下统称联考数学题），试题严格遵循我国高考评价体系的有关规定，注重对考生必备知识和关键能力的考查，全面体现了高考的核心功能。联考数学题计算量与以往全国卷相比有所减少，但数学思维考查力度加大，试题设计追求创新，打破固有思维，有利于服务人才选拔的导向功能。

一、联考数学题分析

（一）试题的总体分析

由于本次联考试题结构变化比较大，无论是题量还是分值的分布都与以往有很大不同，因此各个板块的考查分值也有所变化。对三角函数的考查，以往都是1个小题和1个解答题，或是3个小题，分值在15分左右，其中解三角形的正弦定理、余弦定理为必考内容。本次联考关于三角函数的考查分值减少到11分，且只考查给值求值、三角函数图象和性质两个方面，解三角形的正弦定理、余弦定理没有考查。这两道题目充分体现了三角函数在高中数学中的重要地位，有利于提醒学生加强对三角函数的学习，掌握基本概念、性质和公式，提高解决实际问题的能力。从这两题的设问和解题过程分析看，两题的题干都非常简练，题目难度适中，注重基础知识的考查，同时考查考生运用基础知识解决问题的能力，旨在衡量考生对基础知识的掌握程度。

（二）试题考查目标分析

联考数学试题中涉及三角函数的两道题分别是1道单选题和1道多选题，总分值为11分。其中，单选题是：已知[θ∈3π4，π]，[tan2θ=-4tanθ+π4]，求[1+sin2θ2cos2θ+sin2θ]的值（2024年九省聯考第7题）。此题考查二倍角公式、两角和差公式的运用，考查学生的运算求解能力。多选题是：已知函数f（x）=[sin2x+3π4]+[cos2x+3π4]，讨论奇偶、对称、单调和最值等性质（2024年九省联考第9题）。此题考查两角和差公式的运用，考查学生的逻辑推理、数学运算等能力（如表1所示）。

表1 九省联考三角函数试题考查知识点及核心素养

[题号 题型 分值 知识点 核心素养 7 单选题 5 二倍角公式、同角基本关系、正切两角和公式 数学运算 9 多选题 6 正弦、余弦两角和公式，三角函数的图象和性质 逻辑推理、数学运算 ]

（三）试题解题过程分析

单选题属于给值求值的问题。试题给出了限制在[3π4，π]范围内的[θ]角的二倍角与两角和正切关系式，解题时要将二倍角与两角和转化为单角，利用二倍角的正弦、余弦转化为齐次结构，最后采用弦化切割的思路统一化为正切形式，最终得出答案。多选题属于三角函数图象与性质问题，正弦型函数f（x）=[Asinωx+φ]或余弦型函数f（x）=[Acosωx+φ]是三角函数中的重要知识。本题条件是正弦型函数与余弦型函数之和，解题时要先根据两角和公式进行化简，将余弦型函数化成正弦型函数，然后再用整体的思想，利用正弦函数的性质即可求出答案。

二、联考数学题命制的特点

高考评价体系着重强调了基础性、综合性、创新性和应用性的“四翼”考查要求。这意味着学生在高中阶段要对数学基本概念与原理有深入的理解，不仅要掌握其表面知识，还要深入了解其背后原理。从对九省联考数学试题的分析可以看出，本次联考三角函数试题注重以下三个方面的考查。

（一）注重基础性考查

本次联考的三角函数试题落实了中国高考评价体系中“四翼”中的“基础性”考查要求。如单选题以简单三角恒等变换公式和同角三角函数关系为载体，考查考生对基础知识的理解、掌握及灵活应用能力。该题题干简洁，注重基础，难度适中，强调灵活应用，问题的设计充分体现了教育改革的理念，注重基础，体现了对学生综合素质和创新能力的培养。这样设计有利于引导学生回归数学本质，在一定程度上有效落实了“双减”政策，体现了新时代我国数学教育发展的需求。

（二）强化知识内在联系考查

知识内在联系指的是知识体系中各个知识点之间的关联性，这些关联性有时是显性的，有时是隐性的。从多选题考查函数的性质可以看出，九省联考数学题更注重考查性质间的联系，以及正弦函数与正弦型函数的关系。通过考查知识内在联系，可以促使学生思考各个知识点之间的联系，从而锻炼其思维的敏捷性、灵活性和创新性。同时，强化知识内在联系的考查，也有助于学生从整体上把握知识体系，提高知识运用能力。

（三）聚焦核心素养考查

核心素养是指个体在面对复杂情境时，运用所学知识、技能、态度和价值观解决问题的能力，包括信息素养、创新素养、批判性思维、沟通与合作、自主学习等五个方面。核心素养考查旨在培养具有全面发展能力的人才，使学生在不断变化的社会环境中具备适应能力、创新能力和终身学习能力。九省联考数学试题聚焦数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算和数据分析等核心素养，如三角函数试题中的给值求值、三角函数图象和性质问题，目的是考查学生的数学运算和逻辑推理核心素养。

三、高考备考建议

（一）回归课本抓基础

在联考数学题中，单选题的题目条件“[θ∈3π4，π]，[tan2θ=-4tanθ+π4]”，与人教版必修1第229页第10题“已知[1-tanθ2+tanθ=1]，求证[tan2θ=-4tanθ+π4]”中的求证部分，内容完全一致。多选题的题目条件“f（x）=[sin2x+3π4]+[cos2x+3π4]”与人教版必修1第229页第12题化简“[24sinπ4-x]+[64cosπ4-x]”的结构相似。在历年真题中，也出现以教材中的例题或习题为基础，进行改造、重组和引申的考题，其目的是考查考生对基础知识、基本方法的深刻理解和灵活应用。这就启发教师在平时教学中要深入回归教材、研究教材、用好教材，要讲清楚基本概念、原理的来龙去脉。高中数学教材是体现和落实课程标准基本理念、目标要求的科学范本，是高考数学命题的重要参考。可是，在平时的教学中，不论是新授课还是复习课，大部分教师更多的是依赖教辅，没有对教材进行深入研读，没有把相关知识按一定的主线串联起来。

在日常教学中，教师该如何做好回归课本抓基础的工作？笔者建议可以从以下两个方面入手：一是从大单元的角度明确板块的主要内容；二是挖掘各知识点的内在联系，按照一定的主线、以问题串的形式进行板块复习，这样才能有效回归课本。下面以三角函数教学为例，谈谈具体做法。

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出，三角函数的主要内容有角与弧度、三角函数概念和性质、同角三角函数的基本关系式、三角函数的应用［1］。所以在复习三角函数时，教师要回归教材，注意以下几点：一是让学生了解三角函数的定义和性质，如正弦、余弦、正切等定理；二是让学生掌握三角函数的诱导公式，如[sinπ+α=][-sinα]，[cosπ2-α]=[sinα]等；三是让学生熟悉三角函数的图象和性质，如正弦函数和余弦函数的周期性、奇偶性和单调性等；四是让学生学会运用三角函数解决实际问题。

如，让学生从系统的角度理解三角函数诱导公式。在诱导公式复习中，教师从同一三角形函数的值相同则角的终边相同出发，引申出以下四个问题：①同一三角形函数在终边不相同角的值能相同吗？②关于X轴、Y轴和原点对称的角的同一三角函数值是否相等？③上述三角函数值从终边关于X轴、Y轴和原点对称的关系，除了上述三个对称，是否存在其他对称关系？④如果两个角的终边不对称，那么这两个角的三角函数的值还相等吗？在这些问题中，问题①和问题②主要引出函数名不变、符号看象限的诱导公式；问题③主要是引出函数名改变、符号看象限的诱导公式，这些问题是研究涉及特殊角与任意角α的三角函数和（或差）及其与任意角α的三角函数的恒定等关系。问题④是针对特殊角替换为任意角β的三角函数和（或差）及其与α、β的三角函数的关联性进行探讨。

教师还可以根据下面的问题链，对三角函数图象的知识进行板块化复习。①回忆画函数图象的方法，能否用这些方法画出正弦函数的图象？②正弦函数的定义域为R，能否先研究函数的部分图象？先研究哪部分？为什么？③确定函数图象的形状时，应把握哪些要点？④是否可以用画正弦函数图象的方法画出余弦函数图象？⑤探究正弦函数和余弦函数的关系，能否将正弦函数图象通过平移得到余弦函数图象？⑥根据前面的经验，你认为怎样研究正切函数的图象和性质？⑦是否可以利用正切函数的性质研究图象？以这样的问题链，引导学生在充分回顾研究函数性质的方法的同时，学会利用三角函数特殊的周期性简化研究过程。在研究正切函数中，教师有意识地设计“先研究性质，再研究图象”的过程，能让学生知道可以利用性质研究图象，也可以通过图象研究性质，让学生体会函数图象和性质研究方法的多样性。

在回归教材抓基础时，教师还要注重深挖教材中的典型试题，注重一题多解、一题多变，注重拓展和归纳，从而不断开阔学生分析问题、解决问题的思路，培养学生良好的数学思维品质，培育学生的数学关键能力和发展学生的学科核心素养。

（二）题组训练升效率

联考数学题的多选题为“已知函数f（x）=[sin2x+3π4]+[cos2x+3π4]，讨论奇偶、对称、单调和最值等性质”。往年的适应性测试中也有类似的题目，如2021年四省联考适应性测试第12题：设函数f（x）=[cos2x2+sinxcosx]，则（ ）。（A. f（x）=f（x+[π]）；B. f（x）的最大值为[12]；C. f（x）在[-π4，0]单调递增；D. f（x）在[0，π4]单调递减）。又如，2023年四省联考适应性测试第18题：已知函数f（x）=[sinωx+φ]在区间[π6，π2]单调，其中[ω]为正整数，[φ]＜[π2]，且[fπ2=][f2π3]。（1）求y= f（x）图象的一条对称轴；（2）若[fπ6=32]，求[φ]。

这几道题的共同特点是给定函数的解析式，讨论函数的单调、最值和对称等问题。在平时教学中，教师要注重对学生进行同类题的训练。精选同类题目进行训练可以帮助学生准确掌握知识点，巩固基本功，提高解题能力。在进行题组训练时，教师要注意以下三个方面。

一是明确研究问题。教师要依据课程标准和高考评价体系，把握学科的重点和难点，有针对性地选择题目。关于三角函数主要涉及以下三大类问题：一是化简求值的问题，主要考查同角基本关系式、诱导公式、两角和差公式、两倍角公式以及恒等变换；二是三角函数图象和性质的问题，根据课程标准和高考评價体系，把握学科的重点和难点，主要考查函数图象平移、给函数图象求解析式、给解析式研究函数性质；三是解三角形的问题，主要考查三角形中的边、角、周长和面积的取值和范围。

二是选准典型题型，以一题带多题，注意题目的典型性和代表性，提高学生的解题能力。如①（人教版高中数学必修第一册第222页的例题6）在[△ABC]中，[cosA=45]，tanB=2，求tan（2A+2B）的值；②（人教版高中数学必修第一册第228页习题5-5第2题）已知[α]，[β]都是锐角，[cosα=17]，[cosα+β=-1114]，求[cosβ]的值；③（人教版高中数学必修第一册第229页习题5-5第5题）已知[tanα+β=3]，[tanα-β=5]，求[tan2α]和[tan2β]的值［2］。以上三道题都可以用多种方法解决，但解决这几道题需要完成一个步骤，就是要仔细观察所求的角和题目条件中的角的关系。如第①题的2A+2B=2（A+B），第②题的[β=（α+β）-α]，以及第③题的[2α=（α+β）]+[（α-β）]、[2β=（α+β）]-[（α-β）]。指出这些共性，可以让学生从这些题中归纳出处理这类问题的一般思路。在此基础上，教师还要适当做引申。如，2023年新课标全国Ⅰ卷第8题：已知[sin（α-β）=13]，[cosαsinβ=16]，则求[cos（2α+2β）]的值。此题的处理思路同样是观察角与角的关系，不一样的是这道题中角的关系不是直接关系，而是间接关系。又如，2021年新高考Ⅰ卷第6题：若[tanθ=-2]，求[sinθ（1+sinθ）sinθ+cosθ]的值。解决此题是利用主要公式把函数名进行统一，即所谓的“弦化切割、切割化弦”的思想，也是处理给值求值这类题型的典例。

三是延伸拓展题目。教师要适度调整题目难度，兼顾基础知识和拓展知识，使学习更具挑战性。如，教师可以将2019全国Ⅰ卷的题目“关于函数f（x）=[sinx]+[sinx]有下述四个结论：①f（x）是偶函数；②f（x）的最大值为2；③f（x）在[-π，π]有4个零点；④f（x）在区间[π2，π]单调递减。其中所有正确结论的编号是（ ）”，拓展改编为“设函数f（x）=[cos2x]+[sinx]，下述四个结论：①f（x）是偶函数；②f（x）的最小正周期为[π]；③f（x）的最小值为0；④f（x）在[0，2π]上有3个零点。其中所有正确结论的编号是（ ）”。這样拓展改编更具有挑战性。

在实际教学中，教师还需要做好以下三方面的工作：一是根据教学内容和学生的实际需求，设计具有针对性的题组训练题目，注重知识点的融合和拓展；二是设置合理的训练时间，让学生在有限的时间内完成一定数量的题目，提高学生的做题速度和准确率；三是鼓励学生进行小组讨论和交流，充分发挥团队协作的优势，共同解决问题，有助于提高学生的思维能力和团队协作精神。

（三）变式训练提素养

本次九省联考中关于给值求值、三角函数图象和性质的问题，主要考查学生的数学运算和逻辑推理等核心素养。变式训练是一种针对个人素养提升的训练方法，它通过不断调整训练内容和方式，使受训者在各个方面得到全面提升，有助于培养学生的创新思维、拓展学生的知识面。在平时教学过程中，如何选择题目作为变式源题，如何进行变式，这些都是值得思考的问题。笔者建议，教师可以根据教材中一些经典题目，或是高考题、模拟试题作为源题，通过将题目中的条件和结论互换、将条件弱化或强化、将结论进行改装等方式进行变式，就是通过类比联想、特殊联想、逆向联想、引申联想等思维方式对相关题目进行改编。

一是以教材中一些经典的题目为题源。教师要对题目进行一题多解，让学生交流讨论，归纳各种方法的共性，同时引导学生对题目进行相应变式。比如，让学生思考交换条件和结论是否依然成立，改变题目条件由特殊情况联想到一般情况是否适用等，让学生在问题解决的过程中体会变与不变，感悟问题的本质。教师还可以引导学生变式设疑，调动学生的积极思维，引导他们进行深层次的思考。如，人教版高中数学必修第一册第183页的例题6：已知[sinα=-35]，求[cosα]，[tanα]的值。笔者进行如下变换：①条件和问题调换，已知[tanφ=-3]，求[sinφ]，[tanφ]的值；②在前一变换的基础上改变问题，已知[tanα=-13]，求[sinα+2cosα5cosα-sinα]的值；③改变条件和问题，已知[sinα+cosα=2]，求[sinαcosα]与[sin4α+][cos4α]的值。

二是以具有代表性、典型性和拓展性的高考题或模拟试题为题源，运用类比联想、特殊联想、逆向联想、引申联想等思维方式，对题目进行深入思考、挖掘和研究，锻炼学生的数学思维。如，2021年全国高考甲卷：若[α∈0，π2]，[tan2α=][cosα2-sinα]，则[tanα=]（ ）。（A.[1515]；B.[55]；C.[53]；D.[153]）笔者进行如下变式：①基础变式，已知[θ∈π4，π2]，且[sinθ+π4]=[31010]，求[tanθ]的值；②巩固变式，已知[sinα-][cosα=2]，[α∈]（0，π），求[tanα]的值；③提升变式，已知[tan2θ-4tanθ+1=0]，求[cos2θ+π4]的值；④提升变式，若[tanθ=-2]，求[sinθ（1+sin2θ）sinθ+cosθ]的值。

又如，2023年全国甲卷第16题：在[△ABC]中，[∠BAC=60°]，AB=2，BC=[6]，[∠BAC]的角平分线交BC于D，求AD的值。本题需要学生灵活运用正弦、余弦定理进行边角互化，求角平分线的长度，考查学生的数学运算、逻辑推理等数学核心素养，综合性较强。因为本题涉及角平分线问题，所以笔者引申出中线（中点）或是分点等问题：①中点、中线问题，在[△ABC]中，AB=2，BC=[6]，AC=[3+1]，[∠BAC=θ]，AD为BC的中线，求AD2的值；②分点问题，在[△ABC]中，[∠BAC=60°]，AB=2，AC=[3+1]，D为BC靠近点B的三等分点，求AD2的值。

教材中的经典例题、习题和高考真题、模拟试题，既有丰富的数学知识，又隐含着深刻的数学思想方法，为了更好地向学生传授数学知识，教师需要对这些题目进行深入研究。通过对经典题目的深入研究和拓展，教师可以引导学生从以教材为基础的知识学习逐步过渡到以知识为基础的方法学习，最终完成以方法为基础的思想培养，对培养学生学习能力、数学学科核心素养有很大的帮助。总之，深入研究和拓展教材中的经典题目，或是高考真题、模拟试题，将题目进行适当变式，在变的过程中抓住不变的本质，是实现数学教学由知识传授向方法指导转变、提升学生数学学科核心素养的关键。这就是试题研究的意义所在。本文针对九省联考数学试题中的三角函数试题进行分析，发现相关试题总量在减少，其涵盖的知识领域也受到影响，然而其考查的重点仍集中在数学学科核心素养方面。这告诉教师关注基础、注重学科核心素养培养，仍是当前的教学要务，教师要根据学情进行深度研究，探索更为有效的教学方法。

参考文献

［1］中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］.北京：人民教育出版社，2020：21.

［2］普通高中教科书数学必须第一册［M］.北京：人民教育出版社，2022：222-229.

注：本文系南宁市教育科学“十四五”规划2022年度课题“以课本题为生长点的深度学习策略与案例研究”（2022C395）的研究成果。

（责编 蒙秀溪）