开展主题教学，提升复习品质

孙芳

主题式教学以“核心议题”为焦点，将教学理论和生活实践有机结合起来，引导学生关注知识间的内在联系，充分发挥学生的主体作用，提升学生的数学应用水平.主题的范围是比较广泛的，它可以是一章或跨几章的内容，也可以是某种能力或者某个素养，还可以是一些章节的重要概念，等等.教师作为课堂教学的组织者，要打破单一知识、单一章节的束缚，着眼于全局，结合教学实际合理设计主题，充分发挥主题式教学的优势，提升复习教学品质.笔者以“圆锥曲线的参数方程复习”为例，谈谈对“主题式”课堂教学的几点认识，若有不足，请指正！

1知识回顾

问题1圆的标准方程及参数方程分别是什么？

根据预设，大多数学生能够轻松地给出圆的标准方程和参数方程，即圆的标准方程为（x－a）2+（y－b）2=r2（r>0），参数方程为x=a+rcosθ，y=b+rsinθ，其中θ为参数.

问题2椭圆的标准方程、参数方程呢？

根据预设，大多数学生能够轻松地给出椭圆的标准方程和参数方程，即椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1（a>b>0），常用的参数方程为x=acosθ，y=bsinθ，其中θ为参数.

思考1它们的参数方程是否唯一？

思考2圆锥曲线的普通方程和参数方程是否可以互相转化？如果可以，如何转化？

设计意图：通过指向明确的问题，引导学生回顾已学的圆与椭圆的标准方程和参数方程，及参数方程和普通方程的互化，检测学生的基本知识掌握情况，唤醒学生的自主学习意识，为接下来进入主题做好充分的准备.

2方法建构

例1已知M是椭圆x29+y24=1上一点，M到x+2y－10=0的距离最小，求点M坐标及最小距离.

例1看似简洁，但是蕴含着丰富的信息，非常具有典型性.教学中，教师先让学生独立思考，然后通过师生互动的方式了解学生基础知识、基本技能的掌握情况，充分挖掘学生的思维漏缺，以便通过及时的修补提升学生的解题技能.从教学反馈上来看，大部分学生还是习惯应用普通方程来求解，但是应用该方法不仅需要较强的分析能力，而且对学生的运算能力也提出了更高的要求，这样学生虽然最终得到了答案，但是却消耗了较多的时间.为了充分展示圆锥曲线参数方程中“坐标法”在解决有关距离问题、交点问题、最值问题等方面的优越性，教师做了如下引导：

师：你认为解题的关键是什么呢？

生1：设点M的坐标，这样可以根据点到直线的距离公式把距离表示出来.

师：点M的坐标如何设呢？如何表示椭圆上的点呢？

（问题给出后，教师刻意放缓速度，让学生思考、交流，最终达成共识.）

生2：设M（3cosθ，2sinθ）.

师：说说你的理由.

生3：点M（3cosθ，2sinθ）中只有一个变量，显然用“坐标法”表示出椭圆上动点M的坐标更高效.

这样确定解题策略后，教师预留时间让学生动手计算，从解题反馈来看，大多学生能够求出点M到椭圆的最小距离，不过部分学生在求点M的坐标时却犯了难，可见学生对三角函数辅助角公式的掌握还有些欠缺，在后续学习中有必要进行进一步的强化.

设计意图：教学中，教师先让学生独立求解，并结合学生解题反馈进行启发和引导，让学生体会应用“坐标法”解题的优越性，强化椭圆参数方程的应用.在以上教学过程中，教师以学生已有认知为出发点，让学生的思维能力在“低起点、小坡度”问题的解决中螺旋上升.

3類比探究

问题3与简单的线性规划相类比，请对例1进行改编.

教师鼓励学生结合已有经验对题目进行改编，教师巡视，并投影学生交流结果：

（1）已知M（x，y）是椭圆x29+y24=1上一动点，求2x+3y的取值范围.

（2）已知M是圆（x－1）2+y2=1上一点，若点M到直线x+2y－10=0的距离最小，求点M坐标及最小距离.

师：对于以上问题，我们可以用什么方法来求解呢？

生齐声答：坐标法.

师：很好，在圆锥曲线中，对于求取值范围、最值、位置关系等问题，都可以用“坐标法”来求解.请大家以小组为单位，给出以上两道题目的解答过程.

教师让学生以小组为单位，共同完成以上问题的解答，通过互动交流进一步强化“坐标法”的理解，感悟“坐标法”的优越性.

设计意图：教师引导学生对例1进行改编，让学生体会知识间的内在联系，帮助学生进行知识的迁移，加深对“坐标法”的理解，领悟问题的本质.在复习教学中，教师要提供机会让学生类比、联想、验证，培养学生勇于联想、乐于探究的良好习惯，提高学生提出问题和解决问题的能力，促进学生学科素养的发展.

4思考探析

例2已知M是C1：x24+y2=1上一点，N是C2：x2+（y－3）2=1上一点，求|MN|的取值范围.

师：例1及其改编题中仅有一个动点，对于例2这种多个动点的问题，我们该如何解决呢？

生4：例2是两个动点，设点M（2cosα，sinα）（α为参数），点N（cosβ，3+sinβ）（β为参数），利用两点间距离公式，可求|MN|的取值范围.

生5：这样又有两个变量，可以尝试将动点M到动点N的距离化为转化为动点M到圆心的距离，求出|OM|，然后加上或者减去半径，即可求得|MN|的取值范围.

师：非常好，在解决多个动点问题时，我们要学会“以静制动”，在变化中寻找不变的量，从而利用化归与转化的思想方法将问题转化，高效解决问题.

设计意图：在复习教学中，教师应该结合教学实际选择典型例题，这样不仅可以帮助学生巩固知识，更重要的是可以让学生掌握知识应用的不变性、灵活性，突出知识体系的完整性和知识间的联系，提高综合应用知识解决问题的能力.多个动点问题是高考的一个重要考点，也是教学难点，为了突出重点、突破难点，教师通过典型例题在学生的“最近发展区”创设冲突，引导学生在“变”与“不变”中体会知识间的横向联系和方法上的差异性，渗透“化归转化”“数形结合”“以静制动”等常用的数学思想方法，突出“坐标法”在解决动点问题中的优越性，发挥参数方程的最大作用，帮助学生积累丰富的解题经验，突出本课主题.

5巩固成果

练习在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为x=3cosθ，y=sinθ（θ为参数），直线l的参数方程为x=a+4t，y=1－t（t为参数）.若C上的点到l距离的最大值为17，求a.

设计意图：练习是课堂的重要一环，其在数学教学中是必不可少的.从教的角度来看，通过练习可以检测课堂教学效果，判断教学目标是否达成；从学的角度来看，学生通过练习可以经历用“坐标法”解题的全过程，充分体会“坐标法”的应用价值，增强解题信心.解题后，教师应鼓励学生对知识、方法等进行归纳总结，让学生更加全面地理解知识，切实提高分析和解决问题的能力.

6结束语

本课以“坐标法”研究为主题，充分展示参数方程的优越性，引导学生学会用代数方法解决几何问题.在本课教学中，教师精心挑选例题，让学生体验利用“坐标法”解决问题的优越性和必要性，让学生学会根据问题的特点选择合适的参数，借助参数为已知与未知架设桥梁，实现快速解题.在此过程中，教师引导学生进行类比改编，实现知识的横向拓展和纵向延伸，帮助学生建构知识网络，提升复习品质.

从教学安排上来看，教师遵循学生的认知发展规律，让学生体会知识的发生、发展过程，发展数学水平，提升思维品质.另外，教学中，教师以发展学生为目标，鼓励学生独立思考与合作交流，让学生在互动交流中形成正确的解题策略，感悟问题的本质，发展自主学习能力.

总之，在高中复习教学中，教师要从整体和全局的视角出发，根据教学实际设计“主题”，充分发挥“主题式”教学的优势，实现知识系统的完善和解题技能的提升，发展学生数学核心素养.