逐层深入，让“深度学习”真正发生

林春斌

深度学习是指在教师的引导下，学生围绕具有一定挑战性的主题，积极参与，充分体验知识的发生发展过程，获得思维有效生长的学习过程.这也是学生深刻掌握核心知识，把握数学本质，形成良好思维品质和积极情感态度与价值观的过程.本文中以一道试题的教学为例，具体谈谈如何逐层深入，让“深度学习”真正发生.

1重基础，通概念，获得理解能力

只有夯實基础，才能筑起高楼大厦.概念是数学的基础，是获得数学知识与技能的核心.但有些教师在高三复习阶段，存在重解题、轻概念的行为，这就造成了概念与解题的脱节，导致学生在解题时漏洞百出.鉴于此，针对复习中的解题教学，教师首先要引导学生分析问题涉及到的知识点、解题方向与考查目标.

原题已知函数f（x）=ex+e－x，e为自然对数的底数，如果正数a满足以下条件：存在x0∈［1，+∞）使f（x0）＜a（－x30+3x0）成立，试比较ae－1与ea－1的大小，并证明.

师：大家都知道函数y=lnxx是由y=lnx与y=x相除而来，我们对它们的图象与性质都比较熟悉，现在请大家将这两个函数的图象画出来（见图1）.大家有没有发现，解题中遇到的函数很大一部分都是由基本初等函数复合或运算后获得的，有时会增加一些参数.

设计意图：给出题目后，不急于让学生解题，而是先带领学生回顾基本初等函数的图象与性质，让学生感知复杂函数的由来，以探寻到学生认知的最近发展区，让学生从基础知识着手，逐层深入，获得知识间的联系.

师：请大家画出y=lnxx的图象，并说说它的性质.

（学生画图，教师投影.）

生1：函数y=lnxx的定义域是（0，+∞）.在x∈（0，e）时，该函数单调递增；在x∈（e，+∞）时，该函数单调递减.在x=e时，函数存在最大值为1e.如图2，根据性质画出函数y=lnxx图象，图象向右、向下分别以x轴、y轴为渐近线.

师：非常好！如果a=ln22，b=ln33，c=ln55，那么a，b，c之间存在怎样的大小关系？

生2：根据a=ln22=ln44，可设函数f（x）=lnxx，由函数在（e，+∞）上单调递减，可知f（3）＞f（4）＞f（5），即b＞a＞c.

设计意图：y=lnxx的性质是解决本题的基础，教师引导学生体验并得出它的单调性，对解题具有举足轻重的影响.这也是研究复杂函数问题的基本过程，教师以小步子、低起点的方式铺设台阶，目的在于让学生深度理解问题的本质，从而达到融会贯通的目的.

通过以上教学引导，学生的思维得以“热身”.此过程，从基础函数逐渐拓展到复杂函数，拾级而上的教学方式，不仅夯实了学生的知识基础，还增强了学生的理解能力，让学生的思维螺旋式上升.

2重过程，通思维，形成迁移能力

解题教学是培养学生思维与能力的过程，就题论题只是将学生局限于知识的某一面，只有注重过程发展的教学，才能让学生从真正意义上获得数学本质.在引导学生回顾知识本源的基础上，可通过问题构造y=lnxx类的函数，来进行知识的迁移，达到通思维、获能力的目的.

师：已知a，b为实数，且b＞a＞e，e是自然对数的底数，求证ab＞ba.

生3：因为b＞a＞e，所以欲证ab＞ba，只需证明lnab＞lnba，也就是证lnaa＞lnbb.构造函数y=lnxx，因为函数在（e，+∞）上单调递减，所以lnaa＞lnbb.

师：太棒了！通过取对数的方法，将指数问题转化成对数的问题来分析，再结合函数y=lnxx的单调性，就轻松解决了问题.现在请大家思考：已知m，n为正整数，1＜m＜n，求证（m+1）n＞（n+1）m.

生4：设m，n为实数，同时2≤m≤n，想要证得（m+1）n＞（n+1）m，只需要证明ln（m+1）n＞ln（n+1）m，也就是证明ln（m+1）m＞ln（n+1）n.考察函数g（x）=ln（x+1）x（x≥2），即要证明g（m）＞g（n）.因为g′（x）=xx+1－ln（x+1）x2，当x≥2时，xx+1＜1，ln（x+1）≥ln3＞1，所以g′（x）＜0，则g（x）在（e，+∞）上单调递减，因而g（m）＞g（n）.

设计意图：本题直接解答，对学生而言难度较大，但这又是高考重点考查内容之一.为此，笔者引导学生通过构造函数来思考，真可谓是柳暗花明.将函数y=lnxx逐渐拓展为y=ln（x+1）x，让学生充分感知处理一类问题的策略，达到举一反三的效果.

经过以上逐层递进的探讨，学生对转化过程已经有了明确的认识，笔者见台阶也铺设得差不多了，遂将学生的思路引到原题的解题上.

生5：要比较ae－1与ea－1的大小，可以考虑用取对数构造函数的方式来处理，但此过程会受a值的影响，因此需根据条件先明确a的范围.

学生经过合作交流，获得a＞e+e－12的结论.

生6：根据a的取值范围，可确定ae－1与ea－1都大于1，因此可取自然对数得（e－1）lna与（a－1）lne，将二者同时除以（e－1）（a－1），可得lnaa－1与lnee－1，再比较这两者的大小即可.

师：思路不错！将问题完美地进行了转化，接下来请另一位同学继续接力.

生7：构造函数h（x）=lnxx－1（x＞1），它的导数则为h′（x）=1－1x－lnx（x－1）2.令m（x）=1－1x－lnx，那么m′（x）=1x2－1x=1－xx2（x＞1），则m（x）在（1，+∞）上单调递减，所以m（x）＜m（1）=0.因此h（x）＜0，则h（x）在（1，+∞）上单调递减.

当a∈e+e－12，e时，根据e＞a可得h（e）＜h（a），也就是ae－1＞ea－1；当a=e时，有h（e）=h（a），也就是ae－1=ea－1；当a∈（e，+∞）时，根据e＜a可得h（e）＞h（a），也就是ae－1＜ea－1.

设计意图：从对基础知识的回顾—初步应用—深入理解—知识迁移，学生逐层深入地体会了知识的融会贯通过程，有效地训练了分析问题与解决问题的能力.

深度学习，并不是将知识传输、平移给学生，而是引导学生感知知识的形成与发展历程，由浅入深地引申问题，以激发学生参与的积极性，让学生自主地进入知识发展的情境中，感知知识的再创造过程，为形成良好的解题能力与核心素养奠定坚实的基础.[HJ1.8mm]

3重总结，通思想，形成解题能力

总结对解题教学来说，具有画龙点睛的作用.好的总结方式，能帮助学生厘清知识的脉络，让学生产生一种豁然开朗的感觉.教学的目的在于培养学生的数学思维，帮助学生获得良好的数学思想与方法，最终形成较好的解题能力与可持续性发展的能力.

师：通过以上过程，大家非常圆满地解决了一道难题，其实本题还可以作进一步的深入研究.请大家回顾以上教学过程，看看有没有什么新的发现？

生8：从以上所构造的函数g（x）=ln（x+1）x与h（x）=lnxx－1来看，函数g（x）的图象可以通过将h（x）的图象向左平移一个单位长度而获得，同时函数h（x）=lnxx－1又可以由y=lnx与y=x－1相除而来，因此问题又回归到最初的两个基本函数“y=lnx与y=x－1”中去了.结合之前的探索方法，可结合图象或导数来获得函数h（x）的单调性.

师：非常好！所有的复杂问题都是由简单的基础问题所构成，当我们遇到棘手的问题时，不要被它的表面难度所吓倒，而应以它的基础问题为研究的着手点，循序渐进地抽丝剥茧，必然能获得问题的本质，从而顺利解决问题.数学家华罗庚认为：“解决数学问题的一个重要诀窍，就是要善于退，一直退到最原始而不失重点的地方为止.”

总之，教育的目的不仅仅是为了升学，更重要的是为了育人.因此，学生在课堂中的收获应是三维立体的，包括知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观等方面.利用启发式的教学，由浅入深、逐层深入地引导学生进行深度学习，是超越生理学、心理学，达到推动人类进步与发展的教学.