对一道解析几何试题的探究与拓展

周杭敏 周胜炜

1真题呈现

解析几何在全国新高考卷中分值占比较大，往往以2个客观题、1个解答题的形式出现，是考查的重点，备受关注.下面我们从一道高考真题说起.

已知点A（2，1）在双曲线C：x2a2－y2a2－1=1（a>1）上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0.（1）求l的斜率；（2）若tan∠PAQ=22，求△PAQ的面积.

这是2022年全国数学新高考Ⅰ卷的第21题，主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线与双曲线的位置关系等知识，涉及数形结合、方程思想等.在情境“两直线的斜率之和为0”中融入了简单的“对称关系”，立足常规又超越常规，凸显了新高考基础性、综合性、应用性及创新性的要求.

2一题多解

本题易得双曲线方程为x22－y2=1，下面我们着重研究第（1）问.

2.1立足常规，提升数学运算素养

解法1：线参法一，设直线PQ的方程.

如图1，显然直线l的斜率存在.设l：y=kx+m，P（x1，y1），Q（x2，y2）.

联立直线与双曲线方程，可得

（2k2－1）x2+4kmx+2m2+2=0.

所以x1+x2=－4km2k2－1，

x1x2=2m2+22k2－1.

因此，kAP+kAQ=y1－1x1－2+y2－1x2－2=kx1+m－1x1－2+kx2+m－1x2－2=0.

整理，得

2kx1x2+（m－1－2k）（x1+x2）－4（m－1）=0.

化简，得（k+1）（m+2k－1）=0.

而直线l不过点A，即2k+m≠1，故k=－1.

评注：设直线l：y=kx+m时还需考虑斜率不存在的情况，故还可设l：x=ty+n，避免分类讨论.“设直线方程—联立方程组—消元—韦达定理……”，整个过程展现了利用坐标思想解决几何问题的一般程序，属于通性通法.目标明确，思路清晰，符合大部分学生的思维习惯.运用这种方法学生容易拿到部分过程分，但缺点是计算量大，计算结果易错，所以在平时教学中要注重培养学生的数学运算素养.

解法2：线参法二，设直线AP，AQ的方程.

设直线AP的斜率为k，则直线AP的方程为y－1=k（x－2），与双曲线方程联立，得

（1－2k2）x2+4（2k2－k）x－4+8k－8k2=0.

设P（x1，y1），Q（x2，y2），则2x1=－4+8k－8k21－2k2.

所以x1=－2+4k－4k21－2k2，y1=2k2－4k+11－2k2.

同理，得x2=－2－4k－4k21－2k2，y2=2k2+4k+11－2k2.

所以kPQ=y2－y1x2－x1=－1.

评注：在两条相关联的直线与圆锥曲线交汇生成的问题中，要会灵活运用同构运算，因为解题过程中常常有算理相同的运算.只要认真仔细地算准一个表达式，那么另一个表达式就可以通过同构替代，进而简化运算.例如，本题中根据两条直线斜率之和为0，可用-k代换k，快速得到x2，y2.

另本题也可以不求y1，y2.

因为AQ：y=1－k（x－2），所以

kPQ=y2－y1x2－x1

=1－k（x2－2）－［1+k（x1－2）］x2－x1

=4k－k（x1+x2）x2－x1

=－1.

解法3：直线参数方程法.

设AP，AQ的倾斜角分别为α，π-α，则

直线AP的参数方程为x=2+tcosα，y=1+tsinα（t为参数），代入双曲线方程，可得tP=4（sinα－cosα）cos2α－2sin2α.

同理，得tQ=4（sinα+cosα）cos2α－2sin2α.

所以yP－yQ=（tP－tQ）sinα=－8cosαsinαcos2α－2sin2α，xP－xQ=（tP+tQ）cosα=8cosαsinαcos2α－2sin2α.

故kPQ=yP－yQxP－xQ=－1.

评注：引入参数，利用直线参数方程中参数的几何意义，搭建起题目中量与量之间的关系，建立方程来求解，减少了运算量，这种方法在探究解析几何问题中有独特优势.

解法4：点差法.

设P（x1，y1），Q（x2，y2），由kAP+kAQ=0，得

y1－1x1－2+y2－1x2－2=0.[JY]①

将点A，P的坐标代入双曲线方程，利用点差法得y1－1x1－2·y1+1x1+2=12，将其代入①式得x1+22（y1+1）+y2－1x2－2=0，整理得

2y1y2+x1x2－2（y1－y2）－2（x1－x2）－6=0.[JY]②

同理考虑点A，Q得

2y1y2+x1x2+2（y1－y2）+2（x1－x2）－6=0.[JY]③

③－②，得kPQ=y2－y1x2－x1=－1.

評注：维果茨基提出要在学生的“最近发展区”教学，启发学生思考与交流.“点差法”是解决圆锥曲线问题的一种常用方法，引导学生尝试从数学角度发现和提出问题、分析和解决问题，在层层递进的学习中提炼方法，积累数学活动经验.

2.2转化化归，提升逻辑推理素养

解法5：齐次化简法.

设PQ：m（x－2）+n（y－1）=1，P（x1，y1），Q（x2，y2）.

双曲线方程为x22－y2=1，将其整理为

（x－2）2－2（y－1）2+4（x－2）－4（y－1）=0.

联立，齐次化，得（x－2）2－2（y－1）2+［4（x－2）－4（y－1）］［m（x－2）+n（y－1）］=0.

整理，得（－2－4n）（y－1）2+（－4m+4n）5（x－2）（y－1）+（1+4m）（x－2）2=0，即

（2+4n）y－1x－22+（4m－4n）×y－1x－2－4m－1=0.

易知，kAP，kAQ是上述方程的两个根，所以可得

kAP+kAQ=4n－4m4n+2=0，则

m=n.

所以PQ：m（x－2）+m（y－1）=1.故kPQ=－1.

评注：利用y1－1x1－2+y2－1x2－2=0寻找m，n的关系，所以构造以y1－1x1－2，y2－1x2－2为根的二次方程，进一步构造出关于y-1，x-2的齐次方程.

因此将方程

（x－2）2－2（y－1）2+4（x－2）－4（y－1）=0中的

4（x－2）－4（y－1）进行升次，使得齐次化，这样的思考相对自然、合理，而且减少了计算量.

解法6：坐标平移法.

设P（x1，y1），Q（x2，y2），

令x′=x－2，y′=y－1，则

kPA=y1－1x1－2=y[HT9.]′1x[HT9.]′1，kQA=y2－1x2－2=y[HT9.]′2x[HT9.]′2.

于是双曲线方程C′：（x′+2）2－2（y′+1）2=2，即

x′2－2y′2+4x′－4y′=0.

设l：m（x－2）+n（y－1）=1，即l：mx′+ny′=1，故可得x′2－2y′2+（4x′－4y′）（mx′+ny′）=0.

整理，得1－2y′x′2+4－4y′x′m+ny′x′=0，则

（4n+2）y′x′2+4（m－n）y′x′－（4m+1）=0.

因为kAP，kAQ是该方程的两个根，所以

kAP+kAQ=4（n－m）4n+2=0，则m=n.

故kPQ=－mn=－1.

评注：解法6与解法5本质类似，都是将问题由“繁”到“简”，化“异”为“同”.通过齐次化简，进一步提升转化化归能力，发展学生的逻辑推理素养.

2.3特值探路，提升直观想象素养

解法7：特值探路.

特值1：取点P，Q，使得kAP=1，kAQ=－1，算出点P，Q的坐标，可得结论，但解题速度不一定是最快的.

特值2：极限思想法.如图2所示，借助几何画板，当点P，Q同时趋近于点A的对称点A′时，kAP→+∞，

kAQ→－∞，满足kAP+kAQ=0.故此时直线PQ的斜率即为点A′处切线的斜率，易得kPQ=－1.

评注：波利亚认为解题要注重联想，提出解题需要预测和回忆，上述特值法便是联想.从特殊点或特殊位置入手，大胆猜想结论，从而找到证明目标，是解决这类问题的策略之一.先求得运算结果有助于优化运算方法，提升学习信心;之后再推理证明，从特殊到一般，充分体现解析几何“先用几何眼光观察，再用代数方法证明”的学科思想.这种以自主学习、探索为主的教学模式，与杜威所倡导的“发现问题、提出假设、验证假设、形成结论”教学流程不谋而合.

多角度审视，可以看清问题的本质.一题多解，横纵衔接，有利于不同水平的学生作答，拓展思维，从而触类旁通.但方法越多，也越需要梳理，同时要研究适用对象，把握解析几何的本质，突出理性思维.

综上，研究解析几何试题，主要有“线参”和“点参”两种通法.在具体实践中，解法1与解法2为大多数考生所选用，思路清晰，能拿部分得分，但计算量大；解法3～6对学生思维能力的考查要求较高，内涵丰富，且运算量相对减少，更适合尖子生脱颖而出，而解法7相较更适用于选择题或填空题.正如章建跃博士所说，高考命题的目标是“既要均值，也要方差”，不仅要兼顾基础，让多数学生学有所得，也要加大区分度，便于选拔出拔尖创新人才.

3追本探源

数学家哈尔莫斯说：“Theproblemisthekey.”此时教师及时提出以下问题：

（1）我們能够总结出解这道题的方法吗？

（2）我们能否一起探究出这道试题背后蕴藏的机理？是否有相关性质或结论，便于后期快速解题？

（3）我们是否可以尝试变式，并且运用已学的方法证明？

（4）你是否在其他题目中也用到过这些方法？

3.1试题背景

倾角互补，连线定角：当点P在曲线C上，过点P作两斜率互为相反数的直线，这两条直线与曲线C的两个交点分别为A，B，则直线AB的斜率为定值.

该结论适用于椭圆、双曲线和抛物线.

3.2二级结论

重现经典问题往往可得出一系列结论，让学生的数学思维走向深刻、走向深入，促进对问题的深度理解.学生独立思考，相互探讨，合作交流.

以椭圆为例，得到了以下4个二级结论：

设P（x0，y0）为椭圆C：=1（a＞b＞0）上的定点，AB是椭圆C的一条动弦.

（1）若kPA+kPB=0，则kAB=b2x0a2y0为定值；

（2）若kPA+kPB=λ（λ≠0），则直线AB过定点

x0-，－2b2x0λa2－y0；

（3）若kPA·kPB=b2a2（x0≠0），则kAB=－y0x0为定值；

（4）若kPA·kPB=λλ≠，则直线AB过定点x0（λa2+b2）λa2－b2，－y0（λa2+b2）λa2－b2.

类比椭圆，双曲线、抛物线也有类似的二级结论，此处不作具体论述.

4一题多变

4.1变式研究

变式1已知点A（2，1）在曲线C：x2a2－y2a2－1=1（a>1）上，斜率为-1的直线l交双曲线C于P，Q两点.求证：直线AP，AQ的倾斜角互补.（当条件和结论互换，仍成立.）

变式2已知点A（2，1）在曲线C：x2a2－y2a2－1=1

（a>1）上，斜率为-1的直线l交双曲线C于P，Q两点.求证：△APQ内切圆的圆心在一条定直线上.（同一个结论的另一种表述，考查学生的转化能力.）

变式3已知点A（2，1）在曲线C：x2a2－y2a2－1=1

（a>1）上，直线l交双曲线C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为-1.求证：直线l过定点.（斜率之和为非零常数，则直线PQ过定点.）

变式4已知点A（2，1）在曲线C：x2a2－y2a2－1=1

（a>1）上，直线l交双曲线C于P，Q两点，直线AP，AQ互相垂直.求证：直线l过定点.（斜率之积为定值，则直线PQ过定点.）

变式5已知双曲线E：x22－y2=1，过点（1，1）作斜率互为相反数的直线AC，BD，分别交双曲线E于点A，C和B，D.求证：A，C，B，D四点共圆.（其逆命题也成立.）

4.2联系真题

真题1（2009年江苏高中数学联赛解答题第2题）

（下转第92页）

（上接第74页）

已知抛物线y2=2x及点P（1，1），过点P且不重合的直线l1，l2与此抛物线分别交于点A，B，C，D，证明：A，B，C，D四点共圆的充要条件是直线l1，l2的倾斜角互补.

真题2（2011年全国高中数学联赛第11题）作斜率为13的直线l交椭圆C：x236+y24=1于A，B两点，且P（32，2）在直线l的左上方.（1）证明：△PAB的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若∠APB=600，求△PAB的面积.

真题3（2017年全国Ⅰ卷理科数学第20题）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），四点P1（1，1），P2（0，1），

P3－1，32，P41，32中恰有三点在椭圆C上.（1）求C的方程；（2）设直线l不经过点P2且与C相交于A，B两点.若直线AP2，BP2的斜率之和为-1，证明：直线l过定点.

真题4（2021年全国新高考I卷第21题）在平面直角坐标系中，已知F1（－17，0），F2（17，0），点M满足|MF1|－|MF2|=2.记M的轨迹为C.

（1）求C的方程；

（2）设点T在直线x=12上，过点T的两条直线分别交C于点A，B和P，Q，且|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，求直线AB，PQ的斜率之和.

5小结反思

纵观近几年全国卷新高考试题，发现全国卷不回避以往的高考題和常用结论.解析几何大题注重基础，很多题目来源于教材或历年高考题，而且都有着内涵丰富的知识背景.从一题多解到一题多变，亦或是多题一解，我们要鼓励学生“多思少算”，打破以往的“模式化”，充分挖掘题目的教学价值，发展创新思维能力和应用数学解决实际问题的能力，提升数学素养.同时，在新高考、新教材的衔接中要主动改革学习方式和育人方式，贯彻立德树人的要求.

2024年1月，教育部教育考试院命制数学科适应性测试卷，并组织了相关省份进行适应性演练.其中第18题解析几何题不仅分值增加，而且更突出对学生思维品质的考查，引起一线教师和专家学者的广泛关注.教师更加深刻地认识到教学中要引导学生回归教材，减少死记硬背和机械刷题，学会融会贯通、灵活应用;鼓励学生夯实基础，多角度思考，深入探究，从而提升思维品质和数学素养.

教学是一门艺术，是一门可以一直追求完美，但不可能完美的艺术.知识、能力与素养都是我们追求的目标.路漫漫其修远兮，只要不停息，一起一步步地继续探索，数学核心素养自然会在学生心里生根发芽，慢慢生长.