“三叉戟”模型在解析几何中的深度应用

陈淑红 朱奕帆

摘要： 在研究高考试题时，发现平移齐次法是解决圆锥曲线综合问题的好方法，但是平移齐次常见的应用是解决两直线斜率和（或积）为定值的问题，且不知道怎样的试题适合利用平移齐次法.本文中归纳了一个模型——“三叉戟”模型，只要是过定点的两条直线与圆锥曲线有两个交点，这三点构成三角形，都可以运用平移齐次；总结了怎样代入构造齐次式的方法，并且首次利用平移齐次法解决了2022年浙江高考题中求弦长的最值问题及2023年全国乙卷理科试题中线段过定点的问题，绝无雷同.有利于读者快速识别模型，选择平移齐次化，减少大量的运算.

关键词：三叉戟模型；平移齐次；斜率之和（或积）；韦达定理

平移齐次法是近几年网上非常流行的解决圆锥曲线综合问题的方法.处理方法是先平移坐标系，将给定的点平移至坐标原点，转化为两直线过原点的类型，齐次化后两直线的斜率之和（或积）为常数，可以解决与斜率之和（或积）有关的定点、定值或轨迹等问题.过定点的两条直线与圆锥曲线有两个交点，定点和两个交点构成三角形，由于三角形形状类似三叉戟，因此我们把这种模型称为“三叉戟”模型.

例1 （2022年全国新高考Ⅰ卷第21题节选）已知点A（2，1）在双曲线C： x2 2 －y2=1上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ斜率之和为0，

求直线l的斜率.

分析：△APQ由定点A和两个交点P，Q构成，符合“三叉戟”模型，可以采用平移齐次法，将双曲线向左平移2个单位长度，向下平移1个单位长度，消去常数项，与PQ平移后的直线P′Q′联立，运用韦达定理得到直线OP′，OQ′的斜率之和为0.

解：将A（2，1）平移至O（0，0），C： x2 2 －y2=1平移至C′： （x+2）2 2 －（y+1）2=1.

将C′的方程化简，得 x2 2 －y2+2x－2y=0.

设直线P′Q′：mx+ny=2，将C′的方程

齐次化为 x2 2 －y2+（x－y）（mx+ny）=0，

即

－（n+1）y2+（n－m）xy+  1 2 +m x2=0.

上式两边同除以x2，得

－（n+1）  y x  2+（n－m） y x + 1 2 +m=0.

因为kOP′+kOQ′=0，所以 n－m n+1 =0，

则n=m，即kP′Q′=-1.

因为平移前后两直线的斜率不会发生改变，所以直线l的斜率为-1.

例2 （2018年新课标全国卷Ⅰ第21题）设椭圆C： x2 2 +y2=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）.

（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；

（2）设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB.

分析：本题第（2）问实质是要证明kOA+kOB=0，应用“三叉戟”模型，利用韦达定理表示斜率的和与积，但是因为点M不在椭圆上，平移后椭圆的方程中既包含x，y的二次项和x，y的一次项，还包含常数项，对运算求解能力提出了更高的要求.

解：（1）解答略.

（2）将M（2，0）平移至O′（0，0），点F（1，0）平移至F′（-1，0），C： x2 2 +y2=1平移至C′：+y2=1.

将C′的方程化简，得+2x+1+y2=0.

将直线AB平移至A′B′：x=my-1，

即1=my-x.

将C′的方程齐次化，得

+2x（my-x）+（my-x）2+y2=0，

整理，得（1+m2）y2-=0.

上式两边同除以x2，得（1+m2） =0.

所以kO′A′+kO′B′=0，即∠OMA=∠OMB.

将直线方程以“1”的形式代入圆锥曲线，可以直接乘在一次式上，也可以平方后乘在常数项上，凑成齐次式.

例3 （2023年全国乙卷理数第20题）已知椭圆C： y2 a2 + x2 b2 =1（a>b>0）的离心率为  5  3 ，A（－2，0）在椭圆上.

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点B（－2，3）的直线交椭圆于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，

证明：线段MN的中点为定点．

分析：平移坐标系后，线段MN的中点为定点等价于直线OP′，OQ′與x=2交点的中点为定点.

解：（1）由题意可得椭圆C： y2 9 + x2 4 =1.（过程略.）

（2）将A（－2，0）平移至O（0，0），

点P，Q平移至P′，Q′，

C： y2 9 + x2 4 =1平移至C′： y2 9 + （x－2）2 4 =1.

将C′的方程化简，得 y2 9 + x2 4 －x=0.

由题意知，直线P′Q′的斜率存在.

设P′Q′：y=kx+3，即 y－kx 3 =1，将C′的方程齐次化为 y2 9 + x2 4 －x  y－kx 3  =0，即 y2 9 +  1 4 + k 3  x2－ xy 3 =0，两边同除以x2，得 y2 9x2 － y 3x + 1 4 + k 3 =0，则kOP′+kOQ′=3.

设OP′：y=k1x，OQ′：y=k2x，分别与x=2

联立得到yM′=2k1，yN′=2k2.

所以=k1+k2=kOP′+kOQ′=3.

因为平移前后中点的位置相对不变，所以线段MN的中点为定点（0，3）.

例4 （2022年高考浙江卷第21题节选）已知椭圆C： x2 12 +y2=1．设A，B是椭圆上异于P（0，1）的两点，且点Q 0， 1 2  在线段AB上，直线PA，PB分别交直线y=－ 1 2 x+3于C，D两点，

求|CD|的最小值.

分析：按传统方法求解，直线PA，PB与直线CD的交点坐标计算量大，平移后，转化为过原点的两条直线与另一条直线的交点，交点坐标均用斜率来表示.

解：将点P（0，1）平移至O′（0，0），

Q 0， 1 2  平移至Q′ 0，－ 1 2  ，

C： x2 12 +y2=1平移至

C′： x2 12 +（y+1）2=1.

将C′的方程化简，得 x2 12 +y2+2y=0.

直线AB过点Q，平移至直线A′B′过点Q′，即将

CD：y=－ 1 2 x+3平移至C′D′：y=－ 1 2 x+2.

设直线A′B′：y=kx－ 1 2 ，即1=2kx－2y，将C′的方程齐次化为

x2 12 +y2+2y（2kx－2y）=0.

整理得 x2 12 －3y2+4kxy=0，两边同除以x2，得

3 2－4k5 y x － 1 12 =0.

令kO′A′=k1，kO′B′=k2，则

k1k2=－ 1 36 ，k1+k2= 4k 3 .

设直线A′O′：y=k1x，直线B′O′：y=k2x，分别与直线C′D′方程联立，得xC′= 2 k1+ 1 2  ，xD′= 2 k2+ 1 2  .

所以|C′D′|= 1+  1 2  2 |xC′－xD′|=  5  2 × 2（k2－k1）  k1+ 1 2   k2+ 1 2   [JB）|]

= 3 5  2 ×  16k2+1  |3k+1| = 6 5  5 ×  16k2+1   9 16 +1  |3k+1| ≥ 6 5  5 ×   4k× 3 4 +1×1 2  |3k+1| = 6 5  5 ，

當且仅当k= 3 16 时，等号成立.

故|CD|的最小值为 6 5  5 .

对于圆锥曲线中的双斜率问题，常规方法是联立方程，结合韦达定理求解，若题目中出现了过定点的“三叉戟”模型，可以选择平移齐次法减少运算.平移齐次法的本质是用过原点的两条直线的斜率表示相关元素，符合解方程组联立代入的思想，是解析几何运算思路的拓展和引申.