基于“三新”背景，高考备考建议

柳环

摘要： 在“三新”背景下，高考命题倡导改革与创新，关注考生的“四基”与关键能力等，这就给高考复习与备考提出更高的要求.以“三角函数”为例，合理回归概念，巧妙突出重点，借助“一题多解”，坚持错题整理等，有效落实复习内容，强化解题思维，拓展技巧方法，提升复习备考的质量.

关键词：新教材；新课程；新高考；备考；三角函数

在新教材、新课程、新高考的“三新”背景下，高考复习与备考显得更加重要，成为复习阶段最为重要的一项基本工作.要在充分研读“课标”的基础上，合理分析近年来的高考试题，研究考点寻找规律，从而从细节入手，结合各相应的知识模块加以有针对性的复习，是决定高考复习备考成败的关键.本文以“三角函数”为例，阐述高考复习备考中的几点建议，抛砖引玉.

1 回归概念，落实“双基”

三角函数作为一种基本初等函数，首先要将它纳入到函数的体系中，因而在高考复习备考时，能够把研究函数方式与方法等迁移到三角函数的研究之中，这样就不会孤立地看待它了，也使得三角函数有了很好的归属.

例1 （2019年全国卷Ⅱ）已知α∈ 0， π 2  ，2sin 2α=cos 2α+1，则sin α=（  ）.

A. 1 5

B.  5  5

C.  3  3

D. 2 5  5

解析：由2sin 2α=cos 2α+1可知，点（cos 2α，sin 2α）是单位圆x2+y2=1与直线x－2y+1=0的交点，如图1所示.

因为α∈ 0， π 2  ，所以该交点为图1中的点P.

由于|OA|=|OP|=1，则知α为直线AP：x－2y+1=0的倾斜角，可得k=tan α= 1 2 .综合同角三角函数关系式，可得

sin2α= sin2α sin2α+cos2α = tan2α tan2α+1 = 1 5 .

结合α∈ 0， π 2  ，解得sin α=  5  5 .故选：B.

点评：涉及三角函数的基本应用问题，如概念、求值、判断等问题中，经常要合理回归三角函数的定义、三角函数的图象以及三角函数的基本公式，借助概念与图象的直观，以及公式的合理变形，巧妙转化与应用，是数学基础的落脚点之一.合理回归概念，巧妙落实“双基”，夯实数学基础，也是高考对数学教学与学习的基本要求.

三角函数是研究现实世界中周期变化现象的最富有表现力的函数.三角函数的单位圆定义，使三角函数线与三角函数定义有了直接的联系，从而能用数形结合思想方法研究三角函数的定义域、值域、函数值符号的变化规律、同角函数的基本关系、诱导公式、周期性、单调性、最值等.因此，三角函数的概念是我们所研究图象和性质的本源，在复习中应该重视.

那么基本概念等基础知识怎么复习呢？理解概念知识，回归定义的本源，重点知识多强调，让学生知识要串成串，形成网络，这样学生解题能力的提升更快.

2 突出重点，适度综合

高考对数学基础知识的考查，既要全面又要突出重点，对于支撑学科知识体系的重点内容，要重点考查，注重学科的内在联系和知识的综合性，不刻意追求知识覆盖面.在三角函数模块中哪些是重点内容，哪些是高考热点？我们必须有一个清醒的认识.

例2 在△ABC中，已知C为钝角，sin（A+B）= 3 5 ，sin（A－B）= 1 5 .

（1）求证：tan A=2tan B；

（2）设AB=6，求AB边上的高.

（1）证明：依题意，得sin（A+B）=sin Acos B+cos Asin B= 3 5 ，sin（A－B）=sin Acos B－cos Asin B= 1 5 ，

以上两式变形并整理可得

sin Acos B=2cos Asin B，

两边同时除以cos Acos B，可得tan A=2tan B.

（2）解：由（1）知tan A=2tan B.

利用平方关系，可得

cos（A+B）= 1－sin2（A+B） = 4 5 .

[JP4]于是tan（A+B）= sin（A+B） cos（A+B） = 3 4 ，即tan（A+B）= tan A+tan B 1－tan Atan B = 3 4 ，

結合tan A=2tan B，整理可得2tan2B+4tan B－1=0，解得tan B= －2+ 6  2 （负值舍去）.所以tan A=2tan B= 6 －2.

设AB边上的高为CD，则有AB=AD+DB= CD tan A + CD tan B = 3CD  6 －2 =6，解得CD=2 6 －4.

所以AB边上的高为2 6 －4.

点评：三角函数与平面几何、解三角形以及平面向量等知识的交汇与融合是高考命题中比较常见的一种基本题型.合理突出三角函数的应用背景，以平面几何为场景，通过解三角形或平面向量的关系式的给出，回归三角函数的基本应用，能够更好地突出三角函数模块知识的重点与应用.

图象作为函数的一种表示方法，具有直观性的表现形式，是数形结合的良好载体之一.因此，三角函数的图象在三角函数内容中占据着重要地位，在高考中主要以客观题形式出现，重点考查圖象变换、作图、根据图象确定参数、根据图象研究性质（单调性、周期性、对称性、奇偶性、最值、定义域、值域）等.因此，一定要熟悉正弦、余弦型函数简图的“五点作图法”，理解原理，掌握规律，这样才能以不变应万变.近年高考试题中，三角函数还与其他初等函数复合或者四则运算构成新函数，再研究其性质，对学生的能力有较高的要求.

对于三角恒等变换，主要考查学生的逻辑推理与运算求解能力，但是变换一般不复杂，更没有技巧性强的变换，主要公式有和差角公式、二倍角公式，同时对于同角关系、诱导公式也要求学生熟练运用，要求学生掌握切化弦、齐次式、辅助角公式、降幂公式的灵活运用，考查学生的化归与转化思想等.

3 一题多解，发散思维

由于每位学生思维的角度、方式、水平等方面的差异，因而学生的解答往往呈多样化，这时教师就必须充分挖掘利用，并通过反思加以提炼，培养学生思维的发散性.而“一题多解”是培养思维多样性的一种重要途径，采用多种解题方法解决同一个实际问题的教学方法，它有利于培养学生辨证思维能力，通过不同种解法的展开、比较、反思，能促进知识迁移，并达到举一反三、触类旁通的效果，从而提高了高三学生的复习效率和运用知识的能力.

特别是三角函数模块知识的“一题多解”，往往可以有效联系三角函数章节的基本概念、基本公式等，以及借助不同的公式来分析与解决相应的三角函数问题，对于更加有效系统地理解与掌握相应的三角函数知识，以及发散学生的数学思维等方面都有益处.

4 错题整理，针对训练

对于有些问题，老师讲明白了，学生听明白了，不等于学生会做了，所以要想提高复习的时效性，重在知识的落实，这就需要作业的针对性.培养学生题后反思的良好习惯，对错题正确归因，让学生定期对错题进行“再回首”，做一道错题，胜过做10道新题.教师如果也收集班级学生常出错的题目，不定时地当作业布置、甚至考试督促学生复习错题、消灭错题，会更快提升学生数学解题能力.

我们知道，人类的文明发展史就是一部在不断犯错、不断修正的过程中前行而发展起来的历史.数学学科的发展与应用更是如此.[JP+1]借助数学错题的整理，加以合理发现问题、挖掘问题，通过对错误的反思、修正、探究、拓展等，使数学的解题价值得以凸现，数学本质得以更好地认清，数学关键能力得以全面提升，逻辑推理能力更加严谨，创新意识与创新应用得以发展.

总之，高三复习备考阶段，我们既要充分调动学生学习的积极性、主动性与能动性，又要注重学生数学基础知识的落实与基本思想方法的掌握，既要做到夯实基础，又要谋划策略，合理引导学生深度学习与深度复习，挖掘学生的自身的潜能与能力，培养学生的数学能力，尽量让学生做到触类旁通，考试时候达到无师自通.