聚焦数学结构之美 挖掘文化育人价值

龙明旺 王莉 闫华 王晓琴

目前高中各門学科中，数学已经成为高中最难学的学科之一，尤其对于思维偏文的学生.笔者从事高中数学教学已有十余年，发现众多的数学课堂，总有部分学生提不起对数学的兴趣，或者感觉数学枯燥乏味.于是，笔者提出，数学课堂能否也有欢声笑语？能否让数学学习变得轻松简单，更具有可操作性？这需要改变我们的思维方式和教学方式，让难的数学问题通过分解，变成简单的问题，做到复杂问题简单化；而简单的问题需要讲得接地气、贴近生活，让理解数学有困难的学生也能轻松掌握，做到简单问题通俗化.

数学不是枯燥乏味的，数学有代数结构之美，也有几何背景之美.在课堂教学中，教师要引导学生去发现美，寓美育德育于教学之中，学生在享受数学美味的同时，也很可能爱上数学.课堂教学中要引导学生适时发现数学之美，这样，教师越教越乐教，学生越学越乐学.寓教于乐，寓学于乐，其乐无穷.

基于此，本文中将引导学生发现、欣赏数学结构之美，挖掘数学文化价值，发挥数学的育人价值，以飨读者.

1 基本不等式的结构“协调之美”

由a2+b2≥2ab，可得变式“当a>0时，有 b2 a ≥2b－a”，这是一个有用的不等式.该不等式中，左边的分式不小于右边的整式，这样可将分式运算化简为整式的运算.那么，如何记住这个结论呢？学生发现了它的结构之美：左边代数式从上到下依次为“2，b，分数线—，a”，而右边的代数式从左往右写，依次为“2，b，减号—，a”，结构居然完全协调一致，非常漂亮.数学之美在此得到了很好的体现.

理解了基本不等式的结构之美，下面来看一道题：

题1 若实数x，y满足x2+y2+xy=1，则x+y的最大值是＿＿＿＿.

分析：欲求x+y的最大值，说明x+y这个整体需要保留下来，不妨设x+y=t，且要建立关于t的不等式.中华文化讲究取其精华，弃其糟粕.借用可得，x+y=t是精华，需要保留，并且要把精华“萃取”出来，于是构造x+y的代数式也就变得直接.所以就有这样的外在形式，即代数变形，得1=（x+y）2－xy.接下来，部分学生利用均值不等式，可能不等式方向会出现错误.为了让思维更直接，可将精华和常数移到等式一边，糟粕xy移到等式另一边，实现精华与糟粕分离，即变形为t2－1=（x+y）2－1=xy.后面如何处理糟粕，能否变“废”为“宝”，实现废品回收利用？学生就容易想到，利用均值不等式的变式xy≤ （x+y）2 4 ，化糟粕为精华，实现解题的目标.回顾整个教学过程，借助“取其精华，弃其糟粕”这条思想主线，关于均值不等式习题的解题思路变得更加直接，学生的理解和掌握也变得更加容易.

2 圆锥曲线切线的结构“统一之美”

先看下面两个结论：

结论1 设P（x0，y0）是曲线C：x2+y2=r2或 x2 a2 + y2 b2 =1或 x2 a2 － y2 b2 =1或y2=2px上任意一点，则在点P处的切线方程为x0x+y0y=r2或 x0x a2 + y0y b2 =1或 x0x a2 － y0y b2 =1或y2=p（x0+x）.

结论2 设P（x0，y0）是曲线C：x2+y2=r2或 x2 a2 + y2 b2 =1或 x2 a2 － y2 b2 =1或y2=2px外任意一点，过点P作曲线C的两条切线，切点分别为A，B，则直AB的线方程为x0x+y0y=r2或 x0x a2 + y0y b2 =1或 x0x a2 － y0y b2 =1或y2=p（x0+x）.

注意到结论中两个x只有两种关系：x2=x·x，2x=x+x，即积与和的关系.若两个x是乘积关系，可视为两个x相距非常近，非常亲近，是一对恋人关系；若两个x是和的关系，两个x之间有加号，有一定的距离，是普通的同学关系；其中一个x参加某项大型赛事（如运动会、学科竞赛等）获得金牌（x右下角圆圈），回到学校与另一个x继续原来的关系，恋人继续恋人关系，同学关系继续同学关系，这也说明爱情和友情不会随着时间的流逝而改变，所以同学间的纯真感情值得好好珍惜.这两个结论从数学结构上表达了同学间相处的真善美，传递了正能量，也凸显了数学的德育价值.

笔者在课堂实践中，教授学生利用上述方式记忆这两个结论，获得学生雷鸣般的掌声，同时，学生课堂上就记住了这两个有用的结论.高中数学表述方式形式化、符号化，很多结构都非常漂亮，有待大家去发现.

3 指数比较大小的“求同存异之美”

题2 已知a=  3 5  － 1 3 ，b=  3 5  － 1 4 ，c=  2 3  － 1 4 ，则a，b，c的大小关系是（  ）.

A.c

B.a

C.b

D.c

中国人民爱好和平，外交上求同存异，愿同各国发展友好合作关系.其实在数学中，比较大小也是一种“求同存异”思维.先比较有共性的两个数，如a，b底数相同，实现求同，相同则为常数；指数不同，即存异，为变量x.这样，利用指数函数y=  3 5  x来比较大小就显得非常自然.而b，c的指数同，底数异，因此研究y=x－ 1 4 也变得顺理成章.又比如在代数式变形当中，哪几项放在一起，也是“求同存异”，有共性的几项或结构相似的几项放在一起，或提公因式或合并等，便于化简，利于问题的解决.再通俗一点的理解：“酒逢知己千杯少，话不投机半句多.”有共同语言的代数式走在一起，产生数学反应，问题也就能得到解决.

在数学解题中，很多人认为解题要玩不少技巧，对于技巧，学生就会想，老师你怎么这么聪明，我怎么就想不到.结果就是除了对老师的崇拜外，对自己的能力有所怀疑，甚至可能还有几分失落.如果只是教技巧，学生简单模仿，那么面对新的陌生问题时，学生可能就会束手无策，找不到解题的方向.其实，技巧只是解题教学的外在形式，更重要的是内涵，是思想，是如何想到的.

4 单调性、奇偶性的结构“同构之美”

题3 （2022年厦门调考）函数f（x）对任意的a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b）－1，且当x>0时，f（x）>1.求證：f（x）是R上的增函数.

分析：欲证抽象函数f（x）单调递增，只能用定义来证明.联想单调递增函数的定义表述方式，先设x1>x2，然后比较f（x1）和f（x2）的大小.可作差或作商比较.本题条件中没有乘积或商的结构，所以考虑作差比较.接下来就是难点，很多学生不知道如何应用条件.注意到数学是一门符号语言，要处理f（x1）－f（x2），就要构造出类似的作差结构，但条件中是和式的结构，因为和与差是对偶运算，所以可引导学生将和式转化为差式，只需移项，变为f（a+b）－f（a）=f（b）－1，然后两式对照处理，令a+b=x1，a=x2，则b=x1－x2>0，f（x1－x2）>1.当然，有学生设x10时，f（x）>1”，则需构造出大于零的代数式，只需改为作差f（x2）－f（x1），再赋值a+b=x2，a=x1，则b=x2－x1>0，f（x2－x1）>1.本题最难的地方是移项同构，再赋值.这是从代数结构上的教学，是数学维度上的理解.但是，思维偏文的学生还是觉得太抽象，不好理解.笔者考虑，能否再通俗一点？要处理代数式f（x1）－f（x2），就要让已知条件与该代数式长得一模一样，就好比看两个学生是不是双胞胎，如何确认？站在一起，先看身高，再看容貌是否大致相同.这就如同已知条件与代数式f（x1）－f（x2）“高度差不多”，所以想到将已知条件移项，变为差式的结构；“容貌相似”，就只需赋值a+b=x1，b=x2，这样思维过程就变得非常自然，行云流水，也通俗易懂.

题4 （2019年浙江名校联考）已知函数f（x），x∈R，若对于任意实数a，b，都有f（a+b）=f（a）+f（b）.求证：f（x）为奇函数.

分析：欲证f（x）为奇函数，只需证f（－x）=－f（x），即证f（－x）+f（x）=0，和式的结构刚好与已知条件吻合.类似题3比较两个学生是否为双胞胎的方法，赋值也显得很自然.即令a=－x，b=x，得到f（0）=f（－x）+f（x）.与目标式对照，长得非常像，但又不同，所以只需证f（0）=0，后面再令a=b=0，可得f（0）=0，即完成证明.

高中数学的表述符号化，这就要求学生会用数学符号来表达.面对一系列的符号，有些学生非常茫然.那么，如何教学更能贴近学生的最近发展区？比如，抽象函数的单调性和奇偶性对不少学生来说是一个难点，那么，如何教，如何切入，能否让所有的学生觉得简单且通俗易懂？

答案是肯定的，那就是欣赏数学的同构之美.

综上所述，我们在高中数学教学当中，可引导学生去发现数学之美，提升学生对数学的兴趣，挖掘数学的美育和德育价值；课堂教学实践中，适时渗透中华优秀的传统文化，让学生数学思维变得更为直接；具体解题教学中，注重对代数结构的观察，教授贴近生活的理解，适时关注题目背后体现的自然法则，让数学教学变得生动有趣，让学生的学习更具有可操作性，让数学的核心素养在学生身上落地生根.