挖掘“数学广角”中的数学思想方法——以“植树问题”为例

文| 高惠珠

一、背景

新课标强调数学教学的内容要能反映现实需要，凸显数学学科特点。“数学广角”中涉及的数学知识，与学生前几个单元所学的数学内容紧密相关，而其中问题解决的方法又蕴含多重数学思想。所以用好数学广角，重视思想方法挖掘，可促进学生知识理解与思想方法应用融会贯通，是提高数学育人效果的重要一环。

植树问题作为数学教材中的经典问题，可演化为多种问题形式，其中还蕴含了数形结合、转化思想、数学建模等多元思维方法。用好数学广角，将数学知识与思想方法有机结合，是培养学生学习创新意识，推动学生实践创新，加强学以致用的重要一环。现以植树问题为例，探索“数学广角”中蕴含的丰富思想方法，激发学生体会数学与现实之间的紧密关联性。

二、目标分析

“数学广角”作为数学教材中的一个特色模块，不以知识传授为主要目标，重在启发学生感悟思想精髓，推进实践应用。“数学广角”的内容灵活度高，是需要让学生自主探究、合作对话、实践应用有效掌握的特色模块。植树问题在生活中的应用非常广泛，与学生日常生活紧密相关，如花盆的摆放、广场上插红旗问题以及路灯问题都属于植树问题的一些生活化演变。结合植树问题，让学生有效探究，要对棵树和间隔数建立模型意识。对应每一个问题，都要构建直观化的数学模型，并应用类比、转化、数形结合、模型等思想方法，实现问题的针对性解答。学习植树问题，重在让学生构建数学模型，在准确理解植树规律的前提下解决一些实际性问题。

三、教法研究

植树问题是数学中的经典问题，其中蕴含了丰富的数学思想方法，教师要以问题提出为明线，以数学思想方法探究为暗线，让学生获得丰富的学习体验，把握数学思想方法的精髓。教师可以先带领学生从简单的问题入手，通过模型转化，由易到难实现一些复杂问题的针对性引导，提高教学效率。在问题呈现的同时，教师要引导学生数形结合，突破知识重难点，使学生的思维更加敏捷。同时，教师要引导学生不断比较，发现其中的相同点和差异点。通过数形互补，助力学生理解数学思维规律。结合一些综合问题，有效构建模型抽象，提炼求解模型，结果验证，从而实现对植树类问题的综合性解决，助力学生理解数学思维本质，领悟数学思想方法，实现对植树问题的深度理解。

四、教学过程

植树问题蕴含的内容丰富多元，要想让学生深度领悟数学思维本质，教师要在课堂上穿针引线，为学生提供任务指引。还以植树活动为例，将一些典型问题，让学生合作探究，参悟其中的精髓。所以，整个教学过程以问题为主导，以学生探究为主线，教师对各个环节整体把控。

◆第一步，情境创设，引出新课

结合教材中出现的植树插图，教师可以与学生一起回顾植树节期间，学校组织的植树活动，让学生说一说，自己在植树节种了几棵树，它们是如何排列的，植树有哪些意义，以讨论的方式引出话题，让学生回顾自己真实的植树经验，接着画面切换展示一个具体问题，让学生探索应如何用数学的思维方法解答。

问题一：一条全长100 米的小路，每隔5 米栽一棵树，两端都要栽，一共需要多少棵树苗？

结合这一问题，引导学生先圈画关键信息：“全长100 米”“间隔5 米”“两端都要栽”。然后让学生想一想，这些词语分别是什么意思？“间隔”应该怎么解释？“两端都要栽”是强调的哪个部分？教师可进一步结合“香蕉、苹果、香蕉、苹果、香蕉、苹果”的排列方式，让学生理解间隔的意义。如果已知有20 个水果，让学生试着说一说香蕉有几个，苹果有几个，进而对间隔排列有更直观的理解。

在这个部分，还有一个核心词汇“两端”。如何理解两端，还是以“香蕉、苹果、香蕉、苹果……香蕉”为例，进一步让学生观察，如果两端都是香蕉，那么香蕉和苹果的数量之间有什么关系？学生很容易就能发现：香蕉数量=苹果数量+1。无论这一排有多长，如果两端都是香蕉，那么香蕉一定比苹果多1 个。

回归最开始的植树问题，在这100 米长的小路旁边植树，如果两端都栽，那么树之间间隔的距离就是间距，两端都栽，就代表这条小路的两端都要种树。再让学生用画图的方式呈现植树后的效果：用线段表示间隔，用小点表示一棵树，进而找到问题解决的方案：100÷5=20，然后再加1。也就是在这个问题解答的过程中，两端都栽的数量=间隔数+1。这样转化后，植树问题与前面学生所学的平均分问题比较相似，只需要把握好两端的处理方式即可。

设计思路：在解答数学问题的过程中，读题是关键的一步。读题不是简单的文字阅读，而是要抓取题目中的关键信息，头脑中还要建立初步的模型意识，找到解决问题的关键，并套用已经学习的知识实现问题模型的化繁为简。教师穿针引线，结合对数与形转化规律的分析，帮助学生找到答题的切入点，就能实现一些复杂问题的简单化，学生学习自然事半功倍。

◆第二步，小组合作，规律探索

植树问题涵盖的类型多种多样，教师带领学生探索一个类型后，就可以将学生分成不同的小组，让他们套用引导过程中所采用的方法进行各类不同问题模型的提炼，将数学的语言有效分析，整合提炼为直观模型，进一步探索问题解决的一般规律，并将植树问题适用范围有效扩大，让学生在细致观察的前提下合作探寻，丰富尝试，真正通过提炼、思考、碰壁、探究、合作、解答、验证，深入理解植树问题的本质，对多种不同形式理性区分。教师将需要探究的问题，通过大屏幕呈现，让学生对各种不同情况进行有效探究。

问题二：在一条200 米的公路一边植树，每隔5米栽一棵，如果两端都不栽，总共需要多少棵树苗？

问题三：在一条200 米的小路一边植树，每隔5米栽一棵，如果只有一端栽，另一端不栽，需要多少棵树苗？

问题四：一个湖泊已知周长为100 米，在湖的四周栽树，每隔5 米栽一棵，请问需要多少棵树苗？

问题五：在一条全长100 米的小路两边植树，每隔5 米栽一棵，两端都栽，总共需要多少棵树苗？

这些问题基本囊括了植树问题的所有案例，教师引导学生以小组为单位，一个一个探究、运用、转化，结合模型思想总结发现，将自己所得的结果在小组内部进行有效交流，并引导学生抽象出棵数、间隔数与总长度之间的一般化数学模型，为下一步迁移应用奠定良好的基础。

在小组讨论的前提下，教师还要让各个小组积极汇报自己的学习成果。通过组与组之间的展示交流，发现学生的思维盲点，助力学生对数学模型方法深度掌握。跳出一般的问题性解答，让学生学会根据问题构建模型，对两端都栽、一端栽一端不栽、两端都不栽、两边栽、环形栽等多种情况进行深刻理解。通过合作讨论，学生对棵数与端数之间的关系真正理解，这样学生在遇到一些其他问题时，也会理清模型，探索问题解决的一般方法。

设计思路：数学模型的构建，需要学生对问题进行有效提炼，还可以结合图形的绘制，综合将直线栽树、环形栽树、两边栽树等各种情况进行有效的转化。通过小组合作，学生对比思考，将一些易错问题集中呈现，将数与形之间的对应关系深刻理解，也能通过直观易懂的方式帮助学生突破知识重难点。加上小组竞技，分析展示，还能锻炼学生语言表达能力，让学生尝试将自己头脑中的理解用清晰的语言阐述，防止学生出现理解了，但是不会说、不会用的情况。小组合作，分类探究，尊重学生的主体性价值，可以避免对植树问题的生硬记忆，也能通过一些变式练习，引导学生举一反三，方法迁移。

◆第三步，当堂学练，巩固提升

如果植树问题只能解决与植树相关的问题，那么就会让学生感觉学习过程非常枯燥，为了给学生带来更多学习挑战感，提高学生思维的缜密性，在学习植树问题的过程中，教师还要同步为学生设计一些衍生问题，进一步提高学生思维的灵活性。

练习1：32 棵树平均栽成4 行，每行能够栽几棵树？

这个问题虽然也属于植树问题，但是它并不属于前面几种探究案例，属于平均分的问题。而且这里不需要考虑一端栽、两端栽的情况，主要考虑在植树过程中数量的分配，主要涉及将总的平均分成几个部分的问题。

练习2：如果将一根木头锯成5 段，每锯下一段需要8 分钟，那么锯完这根木头总共需要多少分钟？

这个问题看似和植树问题毫不相关，但是在这个问题解答的过程中，每次锯的段数，恰好符合栽树过程中的间隔问题，而且锯木头的过程两端都不需要锯，所以这个问题是植树过程中的两端都不栽的情况。学生如果能够结合问题来画出图像，就能快速找到这个问题的解答思路。

练习3：在一条总长度为3000 米的道路两旁，需要架设电线杆，已知相邻两根电线杆之间的距离为200 米。请问这段路总共需要架设多少根电线杆？

这个问题一出现，学生就知道这属于两边都栽的植树问题，而且为了让电线两头不落地，电线杆架设中也需要两端都要架，问题解决的难度显著降低。不过，这里需要考虑两边都需要架设电线杆，所以最后的结果还要乘以2。这也是学生容易忽略的一个易错点。

练习4：元旦期间，需要在一个圆形的广场周边装上路灯照明，已知广场的周长为280 米，如果每隔7 米装一盏路灯，请问广场周围需要安装多少路灯照明？

这个问题属于植树问题中的环形封闭植树问题，结合前期学生所理解的总长度、间隔数和棵数的关系，也能很容易获得这一问题的答案。

五、教法提炼

植树问题作为数学综合实践过程中的典型问题，与实际问题的关联非常紧密，而且植树问题的转化非常灵活。在教学这部分内容时，教师不宜过度为学生进行模型讲解和规律提炼，而是要给予学生充分的探究空间，鼓励学生在理解主题的前提下动手实践，在问题转化中实现有效的模型构建。为了让学生有轻松、乐观的学习心态，教师可探索从以下几个角度增强育人魅力。

首先，引导学生化繁为简，把握问题内涵。解答植树问题，先要让学生进行问题的探究，通过数形结合思想，将复杂的文字转化为简单直观的模型，重点分析这一模型下两端应该如何处理，把握问题的核心内涵后，再进行模型构建，列式解答，一些烦琐问题就能迎刃而解。

其次，在动手实践中，领悟数形结合思想精髓。数学问题的解答不仅需要进行准确的数据运算，还需要构建直观的数据模型，所以在数学问题解答的过程中，教师需要将数形结合思想贯穿其中，通过数与形的有效融合，促进学生理解数量关系，把握答题切入点。在植树问题解答过程中，教师要引导学生对每一个问题都绘制直观图片，提炼问题模型，对间隔数与两端情况进行针对性分析。通过直观图形的呈现，让学生在头脑中构建实物模型，进行植树模拟，验证自身结论。

最后，对比观察，促进学生举一反三。植树问题是小学数学的典型问题，植树问题涵盖的知识点较多，应用过程中也比较灵活。为了防止学生出现眼高手低的问题，在分析植树问题的过程中，教师要让学生进行有效的观察，通过一一对应，有效比对，找到恰当的数学模型。只有学生真正领悟了植树问题的模型，掌握了树苗和间隔之间的对应关系，才能娴熟应用数学思想方法，灵活应对各类变式。