如何理解新课标初中阶段的“数据分类

李健 秦德生

【摘 要】 为了适应大数据时代，新课标初中阶段增加了“数据分类”内容.数据分类有两种类型，一种是体现判别思想的数据分类，一种是体现聚类思想的数据分类，新课标初中阶段的“数据分类”体现了聚类思想.结合聚类分析的定义、特点等讨论得出，新课标初中阶段的“数据分类”是聚类分析中的最优分割法的一种特殊、简化形式，能够满足为初中生提供入门级的“聚类”学习的基本需求.

【关键词】 新课标；数据分类；聚类分析；大数据

大数据时代背景下，加强基础教育阶段的“数据”学习，成为数学课程设置符合时代发展的必然选择.造就当今之大数据时代的主要因素有三：保存数据能力的增强，生产数据能力的增强，使用数据能力的增强［1］.其中，唯有使用数据能力密切关联到基础教育阶段的数学课程.为了适应大数据时代，《义务教育数学课程标准（2022年版）》（下称《标准》）初中阶段增加了“数据分类”的内容.随之而来的问题是，绝大多数一线教师对这一新增内容并不熟悉，该内容也自然成为教学关注要点.

在《标准》初中阶段关于“数据分类”的教学提示中，明确指出：要引导学生通过对实际问题中数据的分类，了解数据分类的意义和简单的数据分类方法［2］76.那么，《标准》初中阶段的“数据分类”究竟指什么？我们应该如何理解它呢？

1 两种不同思想的“数据分类”

从字面意义来看，“数据分类”是指将数据分成不同的类.那么，一个需要重点关注的问题就是：要将数据分到什么样的类当中？一般而言，“数据分类”有两种形式：第一种是事先知道可以将数据分入哪些类别中，分类的重点是判别不同数据各自属于哪一类；第二种是事先不知道可以将数据分入哪些类别中，分类的重点是基于数据特征构建出不同类别.

第一种分类形式的核心思想是：先确定划分类别，再按准则将数据判别到已知类别中.在日常生活中，这种基于判别思想的数据分类极为常见.例如，某公司招聘员工时，招聘方希望通过笔试考核筛选出部分应聘人员进入面试，为此事先确定了两个类别及相应的分类标准：笔试成绩60分以下为“淘汰”，60分及其以上为“晋级”.按照这一分类准则，就可以将所有参加笔试者按成绩分到“淘汰”与“晋级”两类当中.

第二种分类形式的核心思想是：事先无类别划分，按照“组内亲近，组间疏远”的原则将数据聚成不同类别.例如，在上述利用笔试成绩筛选应聘人员进入面试的例子中，招聘方可以事先不确定进入面试的及格线，也就是不给出具体的类别，而根据应聘者笔试成绩，按照一定的原则（如组内离差平方和最小原则）将所有应聘者按成绩划分为“淘汰”和“晋级”两类.

在多元统计分析中，具有第一种分类思想的分类方法称为判别分析，在此称之为体现判别思想的“数据分类”；具有第二种分类思想的分类方法称为聚类分析，在此称之为体现聚类思想的“数据分类”.

2 聚类与聚类分析

在知晓了两种不同分类思想的“数据分类”后，我们再来看《标准》中的“数据分类”究竟属于哪种类型.《标准》关于“数据分类”的内容要求指出，知道按照组内离差平方和最小的原则对数据进行分类的方法［2］74.由于这种方法需要基于一定的原则确定类别，所以属于体现聚类思想的“数据分类”.因此，《标准》中的“数据分类”，更确切地说，应该称之为“数据聚类”.

为了更好地认识这种体现聚类思想的“数据分类”，有必要了解聚类与聚类分析.聚类的思想自古有之，《周易·系辞上》有言：方以类聚，物以群分，吉凶生矣.意指各种方术因种类相同而聚合，天下万物因类别不同而区分，可以通过聚类洞悉事物的本质特征.聚类的目标在人们心目中是很明确的，聚类可以帮助人们找到特征相似的对象，进而可以将纷繁复杂的对象归类处理.

谈及数学中的“聚类”，一个比较常见的定义是：把一个数据对象的集合划分成若干个子集，使子集内对象彼此相似、子集间对象不相似的过程［3］.尽管这个定义比较形象，但形式化程度不高，在数学上的可操作性不强.接下来，再看一个可操作性稍强的定义：给定n个对象的某种表示，根据某种相似度度量，发现K个簇，使得簇内对象的相似度高，簇间对象的相似度低［4］.簇内对象的相似度越高，簇间对象的相似度越低，则聚类效果越好；反之，则聚类效果越差.在这一定义方式下，找到合适的数学符号表示相似度，就成为“聚类”的关键之一，有助将现实世界中的“聚类活动”转化为数学世界中的“聚类分析”.

3 从聚类分析看“数据分类”

为了进一步理解《标准》中的“数据分类”，有必要进一步从聚类分析的视角审视“数据分类”.

按照聚类分析的定义，为了使聚类具有数学上的可操作性，需要为聚类分析提供一个操作标准，其关键在于定义数据之间的相似度.在聚类分析中，基于聚类对象的不同，又可以将其分为两类.第一类是对数据指标的聚类，数据指标的相似度可以用各种相似系数进行刻画，如相关系数等；第二类是对数据本身（也称为样品）的聚类，数据本身的相似度可以用各种距离进行刻画，如闵可夫斯基距离（其特殊形式为欧氏距离）等［5］.《标准》中的“数据分类”，就属于第二类.

结合《标准》中例85“数据分类的原则”［2］162-163可知，初中生需要掌握的“数据分类”方法为：先将一维数据按大小关系排成一列x1，x2，…，xn，且满足x1＜x2＜…＜xn，再按照不同切割方法将该数列切割为两组x1，…，xi和xi+1，…，xn，其中i=1，2，…，n-1，然后按照組内离差平方和最小原则遴选出最优的分类.实际上，聚类分析兴起于上世纪初期，发展至今，已经形成了诸如系统聚类法、动态聚类法、K-均值聚类法、层次聚类法、模糊聚类法、最优分割法等多种聚类方法.其中，最优分割法是一种处理有序数据聚类问题的有效方法，由于该方法最早由Fisher提出，故也称为Fisher最优分割法.

最优分割法所处理的数据不能变动顺序，例如在确定儿童生长发展阶段时，需要测量不同年龄段儿童的生长发育水平（如身高、智商等），此时需要按时间顺序取样，不能打乱数据的次序.最优分割法首先将有序的n个数据看作一类，然后再分为两类、三类等等，直至分成n类（每个数据各自成为一类）为止，而其分类步骤涉及计算类的直径、确定分类损失函数、确定分类个数、确定最优分类等［6］.其中，分类损失函数是确定分类方法的评判标准，其原理与组内离差平方和最小原则相似，即每次分类后产生的组内离差平方和的增量最小［7］.

对于《标准》中的“数据分类”，由于需要先将所有数据按大小关系排序，以及需要按组内离差平方和最小原则处理数据，所以可将其视为一种“神似”最优分割法的数据分类方法.尽管两者非常相似，但也应注意到它们的一些差异.首先，最优分割法只要求数据有固定的顺序，并不要求其一定按大小关系排序，但《标准》中的“数据分类”需要先将原始数据按大小关系顺序排列.其次，由于《标准》中的“数据分类”实例仅要求将排序后的数据聚为两类，所以也就无需像最优分割法那样按照分类损失函数逐次聚类.

综上所述，《标准》中的“数据分类”是聚类分析中的最优分割法的一种特殊、简化形式.但与此同时也应看到，《标准》中的“数据分类”体现了基本的聚类思想，能够满足为初中生提供入门级的“聚类”学习的基本需求.

参考文献

［1］涂子沛.数据之巅：大数据革命，历史、现实与未来［M］.北京：中信出版社，2019：313.

［2］中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准：2022年版［M］.北京：北京师范大学出版社，2022.

［3］Han J.， Kamber M.， Pei J. Date Mining：Concepts and Techniques（3rd edition）［M］. Burlington：Morgan Kaufmann， 2012：444.

［4］张宪超.数据聚类［M］.北京：科学出版社，2017：1.

［5］袁志发，宋世德.多元统计分析［M］.2版.北京：科学出版社，2009：278-280.

［6］朱建平.应用多元统计分析［M］.4版.北京：科学出版社，2021：86-87.

［7］罗良清.统计建模技术Ⅰ：多元统计建模与时间序列建模［M］.北京：科学出版社，2021：94.

作者简介 李健（1988—），男，重庆人，博士;主要从事数学课程与教学论研究.

秦德生（1974—），男，内蒙古通辽人，博士;主要从事数学课程与教学论研究.