只有欧几里得见过赤裸之美

刘钝

中图分类号N09∶O1

文献标识码A

李国伟是中国台湾地区著名的数学家与科普作家，1971年从台湾大学数学系毕业后赴美深造，师从荀菲德（Joseph RShoenfield）教授专攻数理逻辑，1976获得杜克大学博士学位。20世纪80—90年代，曾先后担任台湾“中研院”数学研究所所长与总办事处处长。除了自己的专业数理逻辑与组合数学之外，李国伟的研究兴趣也旁及数学哲学、数学史以及科学传播，著有《一条画不清的界线——李国伟的科文游牧集》《数学，这样看才精采：李国伟的数学文化讲堂》等，译作则有《宇宙的诗篇》《科学迎战文化敌手》《数学教你不犯错》（上、下册）《小学算术教什么，怎么教》等。最近高等教育出版社推出了他的新著《数学文化揽胜集》，分为“人物”“历史”“艺数”“教育”四篇，各自单独成册，可谓洋洋大观，别开生面。

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《人物篇》由11章组成，各章的主角，按照李国伟的说法——“都曾经在当时数学主流之外，蹚出一条清溪，有的日后甚至拓展开恢宏的水域”。因此阿基米德、牛顿、高斯、欧拉、黎曼、庞加莱乃至希尔伯特这些数学殿堂的顶级大神都没有入列，作者选择的12位英雄以及他们各自的特色分别是：“形象由淡入浓的图灵”“被老婆浇冷水而亡的自学成器的布尔”“以逻辑建构神经网络的奇才皮茨”“哈代与李特尔伍德要合作先约法”“笼罩拉马努金的那些道阴影”“推波助澜更待谁的戴森”“园丁之子解码英雄塔特”“从数学到哲学的王浩”“毕达哥拉斯的事迹可信吗”“未获科学史恰当评价的开普勒”“孔多塞说：‘来搞点社会数学吧！”。

今日几乎没有人怀疑机器可以计算、学习甚至思考，但在20世纪的绝大多数时间里情况是截然不同的。1933年，21岁的图灵通过自学怀特海与罗素的《数学原理》开始进军数理逻辑领域，他又在剑桥数学家纽曼（Max Newman）的课上，获知希尔伯特的第三问题相当于问是否存在一种机械程序，可以辨识一个命题在系统里能否得到证明？事实上，哈代早在几年前就断然否定了这种想法，他还说幸亏没有这类东西，否则我们数学家就无事可干了。法国大数学家庞加莱在《科学与方法》一书中，则以嘲讽的口吻把这种想法比喻为从一头送进活猪而在另一头收获火腿与香肠的机器。1935年图灵在长跑休息时，突然萌生了一种通用计算的思想，后来写成《论可计算数及其在可判定性问题上的应用》，这篇论文至少有三项极重要的贡献：（1）创新定义一种抽象的计算机；（2）证明通用计算机的存在性；（3）证明存在任何计算机都不能解决的问题。他所定义的机器后来被称为图灵机，相当于用形式上极为简单的抽象设备代替了哥德尔以通用算术为基础的形式语言。除了在计算机科学与人工智能领域的开拓性工作之外，图灵在密码学、生物形态发生学、非线性动力学与认知科学方面也都做出了重要贡献。1947年他在伦敦数学会的演讲中有一句话特别值得今人回味，他说：“如果期望机器永不犯错，那么它就不可能有智慧。”

布尔的大名是同逻辑代数、电路设计和计算机编程联系在一起的，可以说没有他的工作就没有电子计算机日后的发展，但是很少有人知道他是一名自学成才的数学家，家境贫寒，出身低微，没有上过正式大学，更没有博士学位，即使成名后也没有多少人能够预见他的工作将对人类社会产生多么深远的影响。特别不幸的是天不假年，布尔中年而故，去世时才49岁，而他的意外身亡与爱妻的社会理念及生活态度脱不开干系。1855年已在爱尔兰科克市皇后学院担任数学教授的布尔与玛丽·埃佛勒斯（Mary Everest）喜结连理，女方的父亲是教区会长、叔叔是著名的测绘学家。玛丽自小在法国接受教育，11岁才回到英国，她与布尔相差17岁，家庭背景也不相同，但二人的婚姻十分完美，一共生育了五个女儿。1864年11月24日，布尔像往常一样步行前往学校上课，途中突遇暴雨，但他不愿耽误上课，来不及更衣就直奔教室，结果得了感冒，随后恶化成肺炎。玛丽是个超前的女权主义者和顺势疗法的信奉者，对自己和家人都有严苛的要求，例如洗澡要用冰冷的水，早餐前要长途步行，以及遵守严格的饮食规矩等。据说回到家的布尔被安置在浸湿的床上，被玛丽浇了好几桶冷水，最终生命之火被彻底浇熄。其实玛丽并不是一位无知的村妇，她从小热爱代数，曾参与布尔的微分与差分方程著作的编辑工作。布尔去世后，她成为有名的儿童教育专家，还写过一本名为《引人入胜的代数原理》的科普读物，从一个寓言开始进入历史脉络，以有趣的方式向孩子们讲述代数和逻辑。她独立抚养大的五个女儿，个个都有精彩的人生。在布尔-埃佛勒斯家族的后代中出了很多名人，中国人熟悉的有小说《牛虻》的作者艾杰尔·丽莲·伏尼契（Ethel Lilian Voynich）、1948年来到中国的国际友人寒春（Joan Hinton），以及当代人工智能领域的大咖、2018年图灵奖获得者杰弗瑞·埃佛勒斯·辛顿（Geoffrey Everest Hinton）。

书中还有很多有趣的段子。例如拉马努金由于不习惯英国的阴冷天气又坚守婆罗门的素食传统，导致营养不良和多发性疾病，回到印度后获得妻子的悉心照料。1984年这位贤惠的印度遗孀告诉专门研究拉马努金的访客，丈夫回来后的第一句话就是“真该带你一道去英国的”。再比如谈到了王浩对哲学的兴趣，以及他对英美分析哲学的批判没能得到华人学界的响应，以致即便有吴大猷亟力举荐，最终都未能当选“中研院”院士。

毕达哥拉斯、开普勒、孔多塞、哈代与李特尔伍德、以及戴森的事迹，公众也许通过其他读物有所耳闻。皮茨（Walter Pitts， Jr）和塔特（William Tutte）对于一般读者可能是比较陌生的。前者是美国人，才华横溢的机器神经网络与深度学习的先驱，曾获得维纳、冯·诺依曼等控制论大神的青睐；后者是英国人，二战时破解德军“洛伦兹”密码的幕后英雄，据说解码的困难程度更甚于图灵面临的升级版“恩尼格玛”。

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《历史篇》延续《人物篇》选择的视角，尝试观察评述一些不为主流史家留意的知识现象。按照作者的自述，他无意为错综复杂的历史厘出一条因果分明的线索，而乐于在涉猎数学史的过程里寻觅一些乐趣，感受那种如同在山野之中采撷到奇花异草的欣喜。全篇分为12章，分别是：“‘计算大叙事的简要轮廓”“中国古代对角度的认识”“假如徐光启学通拉丁文”“鸽笼原理其来有自”“迟来报到的素数”“如果0不算偶数，1也曾经不是奇数”“崔锡鼎比欧拉更早造出欧拉方阵”“好难驯服的无穷小”“聆听行星的天籁”“4 523 659 424 929 個符号定义1”“《战争与和平》与微积分”“数学家谱”。

首先令人感兴趣的是此篇中的中国元素。长期以来，世界数学史中几乎找不到中国的位置，除了祖冲之的圆周率数据、宋元算家的数字高次方程和被称为“孙子定理”的同余式算法外，似乎没有什么傲人的东西，然而一旦建立起全球性的叙事，中国古代算学占据的地位就突出了。作者从算法、表征与工具三个方面论述了中国古算的成就，分别以《九章算术》中的辗转相除法、10进位值制记数法、算筹与算盘为代表。书中还分别从技艺、天文与几何学立场论述了中国古代有关角度的概念，认为中国几何的“角”与天文的“度”没有自发地统合到一个整体中乃是一个缺陷。涉及中国的内容还有筹算导出的负数、易数中的奇偶概念、古代笔记中“鸽笼原理”，以及清末李善兰关于素数的研究等。最有意思的是，作者引述哈代“没有一项重要的数学进展是由50岁以上的人所启动的”，而指出华人数学家张益唐在58岁做出孪生素数间隔的开拓性贡献，可以说是哈代偏见的一个反例。

“计算”大叙事是作者在《历史篇》首章提出来的一个纲领性意见，要点有四：（1）人类文化早期就有计算活动，数千年来构成数学知识的一部分，但计算终将从数学中分离出来并形成独立的发展轨迹；（2）应该建立一个立足于多元文化基础的“计算”演化观，其中特别需要矫正以欧洲文明为中心的偏见；（3）在这种全球性的、整合性的大叙事中，自然不能忽视中国文明的贡献；（4）应该强调文化史的视角，要关注“计算”与社会的互动，对于关键性人物应予重新评价或深化认识。

书中关于奇偶数的文字令人忍俊不禁。话说新冠病毒流行之际，口罩在台湾地区市面上一度紧缺，民众须凭全民健康保险卡前往特约的药局才能买到，并且还要根据身份证末位码来区分购买的时间，奇数码者限每周一、三、五，偶数码者限每周二、四、六，周日则不限奇偶都能购买。对此台南的陈志金医生在脸书上发文讽刺，称这一举措最大的贡献之一，“就是能够在一夕之间让大众具体知道‘奇数和‘偶数的差别，还让至少230万人知道‘零是偶数！（按台湾地区计有2300万人口，陈医生在这里取1/10为身份证末位码为0者的约数）”0是不是偶数？这是常常令小学算术老师感到棘手的一个问题，如果按照能够被2整除或奇偶相邻排列这两条原则来看，0确实是偶数。因此陈医生又说，这是“数学教育史上的一大突破”，是“跨部会合作的典范”。

书中还有更多好玩的东西，例如懷特海与罗素在《数学原理》中用冗长的篇幅证明1+1=2；布尔巴基学派引入7个基本符号将数学形式化，定义1则需用4万5千亿以上的基本符号叠加（还不算1万多亿个辅助阅读符号）；再如托尔斯泰《战争与和平》中有关“无穷小”“微分”“积分”的文字等。最有意思的还是设在美国的克雷数学研究所关于数学家谱系的一项资助计划，作者借助网络绘出了自己的学术谱系树，笑称“原来我是莱布尼茨与达朗贝尔的后裔”。

英国数学家哈代在其名著《一个数学家的辩白》中写道：“数学家像是画家或诗人，都是模式的创造者，如果说数学家的模式比较有永久性，那是因为它们是由理念所构成的。”模式，原文用的是patterns，按照某些科学哲学家的意见：数学科学不再只是对数量关系与空间形式进行研究，而已经成为关于模式的科学，其理论建立在模式之间的关系以及从模式和观察之间的契合中得出的应用之上；而在艺术领域，patterns最直接的指向是花纹与图案，往往又与旋转、反射、投影、分形等数学概念密切相关，说到底也是理念（idea）的产物。

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“艺数”是近年来台湾地区数学教育与普及领域常见的一个新名词，反映了人们在数学普及活动中与艺术沟通的努力，眼下正呈现越来越热闹的景象。李国伟特别强调“艺数不会是异数”，按照他的见解，艺数至少包含以下三方面：（1）以艺术手法展示数学内容；（2）受数学思想或成果启发的艺术；（3）数学家创作的艺术。

《艺数篇》共有15章，各章的名目分别是：“数学美美的”“艺数不会是异数”“国际上的数学展览”“以艺术展示数学及其启示”“默比乌斯把纸带转了几圈”“充满数学色彩的埃舍尔艺术”“一张纸折出了乾坤”“榫卯咬合益智玩具”“数学模型将风华再现”“旅行售货员跑出数学艺术”“王浩花砖铺出美妙天地”“张拉整体结构艺术的开端”“均质不倒翁冈布茨”“联结数学、艺术与教育的桥梁”“焦点透视看敦煌壁画”。在这万花筒般千奇百妙的迷人图景中，我只能选取自己最有感触的若干场景与读者分享。

中国古代建筑普遍使用木结构，论者谓榫卯咬合对应凸凹互补，形象上符合阴阳耦合的思想，实际上反映了古代工匠巧妙的空间构思。不知从什么时候起，有人将榫卯结构应用于益智游戏，发明了被称为孔明锁或鲁班锁的玩具，有民谣唱道：“不用钉连，不用胶合；我中有你，你中有我。阴阳拼插，卯榫成锁；严丝合缝，岂奈我何。”据李国伟称，目前所见最早记载这一玩具的文献是写了《七剑十三侠》的晚清文人唐芸洲，他在1889年出版的《鹅幻汇编》中描述了一件名为“六子联芳”的玩具，所谓“六子”就是六块榫卯咬合并能拆开的木构件，分别以礼、乐、射、御、书、数命名；“鹅幻”则源自南朝文人吴均《续齐谐记》中的一个志怪故事，寓含“变戏法”的意思。后来唐芸洲又在《鹅幻续编》中介绍了名为“桂花球子”的球状鲁班锁。而在大约200年前，法王路易十四的御用画师勒克莱克（Sébastien Leclerc）在一幅版画的右下角，留下了一个“六子联芳”的图像，在西方则被称为“中国十字架”。增加木构件的个数，可以使榫卯咬合玩具的种类愈加繁复，在游戏中体会空间的几何性质并训练逻辑思维的能力，在近代西方和日本都很流行。从一定程度上可以说，鲁班锁是当今流行全球的魔方（Rubiks Cube）的前身。

哈密顿（William Hamilton）是爱尔兰（当时属英国）数学家，他创造的四元数代数是传统复数系在四维实数空间的推广，元素之间可作类似复数的四则运算，但是不满足乘法的交换律，对于近世代数、经典电动力学、狭义相对论和计算机图形学等学科的发展都有很大影响。1856年，哈密顿又发现了另一种只有乘法的代数系统，他察觉到可以用三维空间的正12面体来表达这一系统，乘法运算就对应到棱线间的转换。因为正12面体有20个顶点，所以就把这个系统称为“廿算”（icosian calculus）。由此他又设计出一种正12面体的“廿算”游戏：假如把20个顶点当作20座城市，玩法是从一个城市出发沿着棱线（不需要经过每一条棱）周游各地，要求游遍其他19座城市且每个城市仅允许经过一次，最后回到原地。1857年，哈密顿公开了这款游戏，两年后卖给伦敦的玩具商赚了25英镑。这个商品化之后的游戏叫作“环游世界”，因为玩法单调，卖得并不怎么好。若将正12面体压扁构成一个平面图形，图上则有20个点，每个点联系着3条线段，共有30条线段。如同欧拉的“哥尼斯堡七桥”问题一样，哈密顿的“环游世界”游戏也成了现代图论的滥觞。

《艺数篇》中还有很多令人惊艳的题材，例如印度人鲁生达（Sundara Row）开创的“折纸几何学”，以及冠名为“藤田-羽鸟”的折纸作图公理系统；默比乌斯的生平和公元3世纪罗马遗迹中带有默比乌斯环图样的马赛克镶嵌；伦敦大学神经生物学家泽奇（Semir Zeki）在数学泰斗阿蒂亚（Michael Atiyah）协助下开展的数学美感之神经基础的量化研究；荷兰画家埃舍尔（Maurits Escher）与国际数学家大会，以及他同彭罗斯（Roger Penrose）等数学家的合作；王浩发明的“王氏花砖”（Wang tiles）模型与图灵机“停机问题”的关系，以及这一模型引出的无周期平铺问题对20年后以色列化学家谢赫特曼（Dan Shechtman）发现准晶体的启发，等等。

书中提及法、德、美、英、日等国近年筹办的一些数学展览，如2008年德国“数学年”活动及IMAGINARY巡回展。中国台湾地区的学者们在高雄、台北和嘉义举办了“超越无限·数学印象”展事，旨在沟通数学、艺术与教育的“桥梁研讨会”，无不显示了作者的丰富阅历和对国际数学教育与普及领域最新动态的掌握。

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《教育篇》更集中反映了作者多年来对数学教育的关注，共有15章，分别是：“证明的流变”“‘不解之解，是解吗”“19世纪英国一场几何教育的纷争”“一生最重要的数学教育——小学数学”“给赢得最高赞誉数学家的陈省身奖”“离散数学走进舞台中央”“人工智能的‘名称政治学”“分进合击的协力数学”“图灵的向日葵”“谁是今日最有影响力的数学家”“百万人数学”“数学能力与孤独症”“数学教育家反击数学家的霸凌”“斯穆里安的逻辑谜题”“分享、责任与欣赏──科普写作与阅读的动机”。

前两章带有强烈的哲学色彩，涉及到什么是真理、如何辨识真理的认识论问题，也是数学教育不能回避的重要议题。在将“证明的流变”梳理一过之后，作者告诉我们，如果要用一句简洁的话来解释证明，那就是一个说服的过程；而一旦以此来审视证明，就可对中国古代数学的意义加以重新诠释，具体的例子可见刘徽对《九章算术》的精辟注解，内容包含丰富的说理方式，他灵活地运用直观、模拟、观察、归纳和类推等手段，充分展现数学知识的生命力，也发扬了知识创造的活性。

欧几里得《几何原本》是一个广为人知的认“真”的样板，但是在中等数学教育中，用什么样的方式、采用什么教材来学习这门功课，自古就有不同意见。19世纪中叶，随着工业化进程对专门性技术人才的需求日增，英国社会上出现了改革几何学教育的声音，一些著名的社会贤达，如达尔文演化论的忠实卫士赫胥黎（Thomas Huxley）、数学家西尔维斯特（James Sylvester）都支持对几何学教材加以改革。另一位年高德劭的数学家德摩根（Augustus De Morgan）对此则大为光火，他没有与西尔维斯特硬刚，而是针对年轻数学教师威尔逊（James Wilson）刚出版的一本初等几何教材大加挞伐。以写作《爱丽丝漫游奇境》等书出名的道奇森（Charles Dodgson，笔名刘易斯·卡洛尔）站在德摩根一边，在1879年出版的《欧几里得与其当代对手》中，强调学习欧几里得《几何原本》就如同接受一种精神洗礼，由此方能进入一个两千多年的文化园地，成为一个有教养的绅士，学习的方式自然要遵循欧几里得安排的路径。

书中有关中国台湾地区小学数学教育的内容很有现实意义。我们常听到这样一种说辞，称美国亚裔儿童的数学成绩普遍高于其他族裔的同龄孩子，但是在台湾地区进行的一项调查表明：台湾地区四年级小学生的数学成绩平均值确实居于世界前列，但是在“不喜欢数学”和“对数学缺乏自信”这两项指标上却高达国际平均值的两倍。造成这一现象的原因，作者认为应该从小学生学習的社会环境去分析，他引述台湾大学数学系翁秉仁的观察：“在台湾，一般家长虽然怕数学，却很喜欢‘干预小学老师的教学。家长多半觉得自己会小学数学，因此可以‘尽一份心。但是他们干预的方式很简单，看到孩子不会做习题，就指导学生怎么算；厉害一点的，更直接把初中方法搬下来，却不做任何解释。问题是，除了数学老师之外的成人，多半觉得数学就是公式和计算，不需要解释（‘反正你这样算就对了！）。他们还会因此据理力争，为小孩向老师争取分数，造成许多教学困扰。”作者接着补充道：除了家长干预以外，很多学生还在补习班承受折磨，后果是抵销了老师正常教学的成效。这种帮倒忙的做法，除了归咎于将背诵公式等同数学学习，更基本的原因是缺乏对儿童心智发展特点的理解。

与此相反，作者也介绍了以色列理工学院教授阿哈罗尼（Ron Aharoni）的见解，此人是离散数学方面的国际知名专家，却愿意付出时间了解小学数学的教育情况。因为具有高深的数学修养和从事创造性研究的经验，能够针对小学数学教育发表常人所不能的真知灼见。他在自己的书《给家长看的算术书》里写道：“我教小学时领悟出来一个道理，就是小学数学一点也不单纯，除了美之外还有深度。”

最后还是交代一下本文的标题，它出自作者序言中引用的美国女诗人米莱（Edna StVincent Millay）1923年写下的诗作《只有欧几里得见过赤裸之美》（Euclid Alone Has Looked on Beauty Bare），诗中不仅赞美欧几里得的数学成就，也彰显了美在数学中的崇高位置。