探寻本质触类旁通

周建刚 闫伟

1试题呈现

已知双曲线C：x2a2－y2b2=1（a>0，b>0）的右焦点为F（2，0），一条渐近线方程为y=3x.

（1）求双曲线C的方程；（2）在x轴上是否存在与点F不重合的点P，使得当过点F的直线与双曲线的右支交于A、B两点时，AFBF=APBP总成立？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.

本题为2023年山东省枣庄市3月份高三模拟试题第21题，该题目的命题背景平和，内涵深刻，知识层面主要考查双曲线的标准方程、几何性质、直线与双曲线的位置关系、线段比值问题，是解析几何专题中的常规题目；重点考查学生运用坐标法研究圆锥曲线中的存在性问题，侧重考查学生的数学运算、逻辑推理等素养；试题分两问，第一问结合双曲线的焦点坐标和渐近线方程求标准方程，属于基础题，第二问寻找满足线段比值相等的点P，属于圆锥曲线中探索性的问题，思维难度适中，但运算量较大，需要借助角平分线的性质以及根与系数的关系进行变形转化，对学生的能力要求较高，较好地体现了对直线与圆锥曲线的核心内容和基本思想方法的考查［1］.

参考答案：（1）双曲线方程为x2－y23=1；（2）存在点P（12，0）使得AFBF=APBP成立.

2试题推广

注意到点P（12，0）恰好是双曲线的右准线与x轴的交点，这个结果是巧合吗？也就是说，是不是对于任一焦点在x轴上的双曲线，当点P为双曲线的右准线与x轴的交点时，按照题目的表述，都有AFBF=APBP成立？笔者借助GeoGebra软件进行探究，证实了这一结果的正确性，即有：

性质1已知双曲线C：x2a2－y2b2=1（a>0，b>0）的右焦点为F（c，0），过点F的直线l与双曲线的右支交于A、B两点，当点P为右准线x=a2c与x轴的交点，有AFBF=APBP.

将题目中的右焦点F改为x轴上的任意一点，不包含双曲线的顶点和原点，其他条件不变，是否还存在点P满足上述条件？经探究得到：

性质2已知双曲线C：x2a2－y2b2=1（a>0，b>0），F（t，0）（t≠±a且t≠0），过点F的直线l与双曲线交于A、B两点，当点P为直线x=a2t与x轴的交点时，有AFBF=APBP.

显然性质1是性质2的特例，上述命题中将题目中的点F（t，0）（t≠±a且t≠0）改为坐标系内不在双曲线上的任意一点F（x0，y0），将对应的直线x=a2t改为x0xa2－y0yb2=1，其他条件不变，是否还存在点P满足上述等式？经探究得到：

性质3已知双曲线C：x2a2－y2b2=1（a>0，b>0），F（x0，y0）为不在双曲线上的任意一点，过点F的直线l与双曲线交于A、B两点，过点F作直线m：x0xa2－y0yb2=1的垂线，垂足为P，则有AFBF=APBP.

证明：过点A、B分别作直线m的垂线，垂足分别为C，D，如图1所示.设A（x1，y1），B（x2，y2），则AC=x0x1a2－y0y1b2－1（x0a2）2+（y0b2）2，结合x21a2－y21b2=1可得AC=x1（x0－x1）a2－y1（y0－y1）b2（x0a2）2+（y0b2）2；同理可得

BD=x2（x0－x2）a2－y2（y0－y2）b2（x0a2）2+（y0b2）2. 因为直线FP与直线m垂直，且直线m的斜率为b2x0a2y0，所以直線FP的斜率为－a2y0b2x0，从而直线FP的方程为y－y0=－a2x0b2y0（x－x0），即y0xb2+x0ya2－x0y0a2－x0y0b2=1.又因为FP∥AC∥BD，所以点A到直线FP的距离等于CP，即CP=y0（x1－x0）b2+x0（y1－y0）a2（x0a2）2+（y0b2）2，同理可得DP=y0（x2－x0）b2+x0（y2－y0）a2（x0a2）2+（y0b2）2.在RtΔAPC中，tan∠APC=ACCP=x1（x1－x0）a2－y1（y1－y0）b2y0（x1－x0）b2+x0（y1－y0）a2；同理tan∠BPD=BDDP=x2（x2－x0）a2－y2（y2－y0）b2y0（x2－x0）b2+x0（y2－y0）a2.

当直线l与x轴垂直时，即x1=x2=x0，易得tan∠APC=a2y1b2x0，tan∠BPD=a2y2b2x0，由双曲线的对称性有y1=y2，所以tan∠APC=tan∠BPD，即∠APC=∠BPD，因为FP垂直于直线m，于是∠APF=∠BPF，即FP平分∠APB，由角平分线性质不难得到AFBF=APBP.

当直线l与x轴不垂直时，其斜率存在，设为k，于是tan∠APC=x1a2－y1（y1－y0）b2（x1－x0）y0b2+x0（y1－y0）a2（x1－x0）=x1a2－ky1b2y0b2+kx0a2，同理可得tan∠BPD=x2a2－ky2b2y0b2+kx0a2，又因为A、B两点在双曲线上，于是x21a2－y21b2=1，x22a2－y22b2=1，两式作差得（x1－x2）（x1+x2）a2－（y1－y2）（y1+y2）b2=0，化简整理得x1+x2a2－k（y1+y2）b2=0，即x1a2－ky1b2=－（x2a2－ky2b2），从而有x1a2－ky1b2=x2a2－ky2b2，所以tan∠APC=tan∠BPD，故∠APC=∠BPD，由FP垂直于直线m可得∠APF=∠BPF，即FP平分∠APB，由角平分线性质不难得到AFBF=APBP. 综上，AFBF=APBP成立.

对于直线l与双曲线交于不同支的两点，该结论同样成立，此处不再赘述，留给感兴趣的读者自行证明. 上述性质中F点的纵坐标为零时，就是性质2的结果，即它是性质3的特殊情况.

3类比探究

将上述性质引申到椭圆和双曲线中，可得到以下性质：

性质4已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），F（x0，y0）为不在椭圆上的任意一点，过点F的直线l与椭圆交于A、B两点，过点F作直线m：x0xa2+y0yb2=1的垂线，垂足为P，则有AFBF=APBP.

性质5已知抛物线C：y2=2px（p>0），F（x0，y0）为不在抛物线上的任意一点，过点F的直线l与抛物线交于A、B两点，过点F作直线m：p（x+x0）－yy0=1的垂线，垂足为P，则有AFBF=APBP.

证明：过点A、B分别作直线m的垂线，垂足分别为C，D，如图2所示，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则AC = p（x0  + x1 ）-y0 y1 p2 + y0 2，又因y1 2 = 2px1 ，

代入上式得AC = y1 （y1 -y0 ）-p（x1 -x0 ）p2 + y0 2，同理有BD = y2 （y2 -y0 ）-p（x2 -x0 ）p2 + y0 2.因为直线FP与直线m垂直，且直线m的斜率为py0，所以直线FP的斜率为－y0p，从而直线FP的方程为y－y0=－y0p（x－x0），即y0x+py－py0－x0y0=0.又因为FP∥AC∥BD，所以点A到直线FP的距离等于CP，即CP = p（y1 -y0 ） + y0 （x1 -x0 ）p2 + y0 2，同理可得DP = p（y2 -y0 ） + y0 （x2 -x0 ）p2 + y0 2.在RtΔAPC中，tan∠APC=ACCP=y1（y1－y0）－p（x1－x0）p（y1－y0）+y0（x1－x0）；同理有tan∠BPD=BDDP=y2（y2－y0）－p（x2－x0）p（y2－y0）+y0（x2－x0）.

当直线l与x轴垂直时，即x1=x2=x0，有tan∠APC=ACCP=y1p，同理有tan∠BPD=y2p，由抛物线的对称性知y1=y2，所以tan∠APC=tan∠BPD，即∠APC=∠BPD，由FP垂直于直线m可得∠APF=∠BPF，即FP平分∠APB，由角平分线性质易得到AFBF=APBP.

当直线l与x轴不垂直时，其斜率存在，设为k，于是tan∠APC=y1·y1－y0x1－x0－pp·y1－y0x1－x0+y0=ky1－pkp+y0，同理可得tan∠BPD=ky2－pkp+y0，又因为A、B两点在抛物线上，于是y1 2 = 2px1 ，y2 2 = 2px2 ，两式作差得（y1－y2）（y1+y2）=2p（x1－x2），化簡整理得k（y1+y2）=2p，即ky1－p=p－ky2，从而ky1－p=p－ky2，所以tan∠APC=tan∠BPD，故有∠APC=∠BPD，由FP垂直于直线m知∠APF=∠BPF，即FP平分∠APB，由角平分线性质易得到AFBF=APBP. 综上所述，AFBF=APBP成立.

上述结论中，直线m实际是点F关于圆锥曲线对应的极线，因而P点本质上是过F点与其对应极线垂直的垂线与极线的交点，因此本文中的性质3-5可以进一步统一概括为：

性质6已知圆锥曲线C，点F是不在曲线上的任意一点，过点F的直线l与曲线交于A、B两点，过点F作其对应的极线m的垂线，垂足为P，则有AFBF=APBP.

极点与极线是解析几何中的一条重要性质，它在圆锥曲线问题的探究中具有十分重要的应用，本文对这一线段比值问题的探究很好地佐证了这一点［2］. 近些年很多高考题和模拟试题都以极点、极线相关结论作为命题的落脚点，在复习备考的过程中，引导学生掌握圆锥曲线的极点极线理论不仅能快速高效地解决与之相关的试题，还能有助于学生更深刻、更全面的把握试题的本质［3］.

参考文献

［1］ 闫伟.解析试题背景 探究数学本质 发展核心素养——2021年福建赛区预赛试题第12题的深度思考［J］.理科考试研究.2022（9）上：7-10.

［2］ 闫伟.运用GeoGebra软件助力可视化探究教学——以圆锥曲线中的一类动点轨迹问题为例［J］.中学数学教学，2021.（3）13-16.

［3］ 闫伟.借助GeoGebra对圆锥曲线中一类定直线问题的探究及拓展［J］.中学数学月刊.2020（9）：41-42.