由一道高考模拟题探究圆锥曲线恒过定点问题

张瑞雪 房元霞 徐茂林

由于圆锥曲线作为坐标平面内点的运动轨迹，蕴含着运动变化过程中保持的某种“规律性”或“不变性”［1］，而这种“规律性”或“不变性”就是圆锥曲线的性质.本文以2023年某市高三二模第21题为例，利用GeoGebra软件探究圆锥曲线的定点问题.

一、题目

已知双曲线C：x2a2－y2b2=1（a>0，b>0）的离心率为3，C的右焦点F到其渐近线的距离为6.

（1）求该双曲线C的方程；（2）若直线l与双曲线C在第一象限交于A，B两点，直线x=3交线段AB于点Q，且SΔFAQ：SΔFBQ=|FA|：|FB|，证明：直线l过定点.

本题以双曲线为载体，考察转化和联立方程的计算能力，第（2）问更是蕴含了圆锥曲线一般性结论.我们设直线l与双曲线C交于任意两点A，B，直线x=3推广至垂直于坐标轴的直线x=t（或y=t），然后利用GeoGebra软件探究得到如下情形与结论.

二、推广到一般

定理1设双曲线C：x2a2－y2b2=1（a>0，b>0），若直線l与双曲线C交于A，B两点（如图 1），直线x=t（或y=t）交线段AB于点Q，交x（或y）轴于点F，且SΔFAQ：SΔFBQ=|FA|：|FB|，则直线l过定点（a2t，0）（或过定点（0，－b2t））.若C为焦点在y轴上的双曲线y2a2－x2b2=1（a>0，b>0），则直线l过定点（－b2t，0）（或过定点（0，a2t））.

注：本文仅以焦点在x轴上的圆锥曲线为例进行证明，焦点在y轴上的证明不再累述.

证明：由已知有，直线x=t交线段AB于点Q，交x轴于点F.

由SΔFAQSΔFBQ=12|AF||FQ|sin∠AFQ12|BF||FQ|sin∠BFQ=AFBF，得sin∠AFQ=sin∠BFQ，所以直线AF与直线BF的倾斜角互补，kAF+kBF=0.设直线l的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）.

联立y=kx+m，

x2a2－y2b2=1 得（b2－a2k2）x2－2kma2x－a2m2－a2b2=0，所以x1+x2=2a2kmb2－a2k2，x1x2=－a2m2+a2b2b2－a2k2，因为kAF+kBF=0，即kx1+mx1－t+kx2+mx2－t=0，化简整理得2kx1x2+（m－tk）（x1+x2）－2tm=0.代入x1+x2、x1x2，化简得ka2+mt=0，即m=－a2kt，所以直线l的方程为y=kx－a2kt=k（x－a2t），恒过（a2t，0）点.

注：原题中易得双曲线C：x23－y26=1，直线为x=3，代入a2，t得定点为（1，0）.

定理2设椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>0，b>0），若直线l与椭圆C交于A，B两点（如图 2），直线x=t（或y=t）交线段AB于点Q，交x（或y）轴于点F，且SΔFAQ：SΔFBQ=|FA|：|FB|，则直线l过定点（a2t，0）（或过定点（0，b2t））.若C为焦点在y轴上的双曲线y2a2+x2b2=1（a>0，b>0），则直线l过定点（b2t，0）（或过定点（0，a2t））.

定理3设抛物线C：y2=2px，若直线l与抛物线C交于A，B两点（如图 3），直线x=t交线段AB于点Q，交x轴于点F，且SΔFAQ：SΔFBQ=|FA|：|FB|，则直线l过定点（－t，0）.

定理4设抛物线C：x2=2py，若直线l与抛物线C

交于A，B两点（如图 4），直线y=t交线段AB于点

图4Q，交x轴于点F，且SΔFAQ：SΔFBQ=|FA|：|FB|，则

直线l过定点（0，－t）.

注：针对抛物线y2=2px直线y=t的情形，由于证明过程中m与k存在反比例关系，即无法证明定点与变量k无关，所以此种情况抛物线不过定点，类似的，抛物线x2=2py直线x=t的情况同样不过定点.

上述，我们从双曲线出发，通过类比、猜想、实验、证明等数学思想方法的指引，得出了椭圆、双曲线、抛物线三种圆锥曲线一般性的结论，“对圆锥曲线进行一般化推广，变的是曲线，不变的是方法，将问题进行一般化的推广，有助于学生进一步认识圆锥曲线的性质.”［2］启发学生做一道题，要学会解一类题，拓展自己的解题空间，培养数学思维的广阔性、灵活性和深刻性，进而发展创造性.

参考文献

［1］陆明明.解题还需寻“根”发“芽”——有关圆锥曲线定点定值问题的一点思考［J］.数学通报，2014，53（08）：38-42.

［2］李刚.在问题探究中构建知识的整体关联——以“圆锥曲线中一类定点定值问题”为例［J］.数学通报，2023，62（02）：16-21.