基于结构视域下的高中数学教材的深度理解

王峰 李启梅

当下，大单元教学开展得如火如荼，但教研活动交流表明不少教师对大单元教学认识模糊，做不到對每节课都有大单元理念的渗透，充其量在一章开始时向学生介绍一下本章内容产生的背景、价值以及与其他章节的联系，之后在一节节具体的内容教学时也只能是就事论事了，这样一来，教学的知识点依然是孤零零的，知识之间的联系缺少，这与“大单元教学理念”不一致，显然是“穿新鞋走老路”，那么如何处理教材才能真正落实“大单元教学”呢？我们认为大单元教学理念的“大”的意思是整体把握教材之义，打通这一单元内部知识的内在联系，以盘活知识，达到灵活运用数学知识处理问题的目的.

最近，看到史宁中教授的一篇文章《学数学要大量做题吗？》，文中指出：学习数学最重要的是什么呢？史教授给学生的建议有两个：一个是要有兴趣，你在学习的过程中，特别是克服了困难过程中，你感到乐趣这是很重要的，因为兴趣是学习的最根本动力；还有一个就是学习数学要会思考，尤其是理性思维，这样才适宜学数学.

由此看出，培养学生学习数学的兴趣至关重要，有了兴趣才能做到深入学习并坚持下去，那么学习兴趣如何培养？这也是数学教师需要解决但又感到力不从心的事情，通过多年的教学实践及研究得知，教师只要将数学教材讲得通俗易懂，学生易接受，易入心，这样一来，学生就感到学习数学轻松自如，学习兴趣就会慢慢养成.

最近，高考各科命题考查重点公布，关于数学学科命题有这样一句话：“努力破除复习备考中题海战术和套路训练的影响.”加之，取消考试大纲、能力立意转向为“素养立意”、反对机械刷题.什么是机械刷题？我们认为是考生不注重教材知识的深度理解与掌握，解题时不是靠灵活运用数学知识解题，而是依靠不理解的解题流程而大量盲目地反复做.面对如何理解教育部考试中心的这些做法以及如何引导学生的学习兴趣，作为教师，我们该何去何从，对此，我们认为要想让自己的学生在考场上做到“以不变应万变”，唯有“抓住教材”才是正道，因为教材内容是学科素养之源，数学能力之根，皮之不存，毛将焉附？故重视教材研究是一线教师平时教研的当务之急，不可懈怠！

一、特殊的“规定”也能体现“大单元”

在数学教材中，“规定”比比皆是，对于为何要单独“规定”这些数学规则，教师要做到心知肚明. 随着课程改革的深入，教师们逐渐意识到，对于“规定性内容”的教学，即使让学生接受学习，也要让接受变得“有意义”.这就要求教师要学会创造性地使用教材，将教材中的“规定”那冰冷的美丽变成火热的思考，以让学生感受到数学的丰富内涵，从而激发学生的学习兴趣.

案例1关于规定“零向量方向是任意的”的理解.因为零向量0的始点与终点重合，所以它没有确定的方向，即零向量0是无方向而言的，然而向量是既有大小又有方向的量，

这样它又必须有方向，但其方向客观又不存在，因此有必要人为地规定零向量0的方向.图1究竟为何要规定“零向量0的方向是任意的”？根据向量的加法，知OA+AB=OB，如图1所示，当点A越来越接近点O时，向量OA的方向与向量OB方向一致，一旦点A与点O重合，此时OA=0，可以认为0的方向沿着向量OA的方向，也就说，零向量0的方向可以随着向量OA的方向变化而变化，因为向量OA的方向可以任意，故规定零向量0的方向是任意的，不是这主观臆断的结果.”其实，定义零向量0就是为了运算的需要而产生的，而通过向量的加法运算得到零向量0方向的任意性，就将零向量0自然融入到向量的加法运算之中，而不是一个独立的个体，这无形中体现了大单元的“大”思想.正因为如此，规定“零向量0与任意向量平行”就显得显得是多么得自然.这一点也足以说明了“零向量0的方向是任意的”的合理性.

由于高中数学概念的定义不仅要讲究形式，还要突出其本质，这就使得有些概念中的特殊对象极易拒之门外，从而造成反映数学概念本质属性的定义带有片面性.但数学讲究体系结构的和谐性、完整性以及运算法则的封闭性，此时有必要对特殊情况作一单独规定，以对定义的不足作一补充和完善，所以数学中的规定并不是无病的呻吟，而是一种强烈的呼唤，它不仅是必要的，而且是合理的，它对数学的和谐发展具有重要的作用.当然，“规定”的内容绝对不能套用相关概念等本质内涵标准去衡量.因为规定的内容肯定不符合概念的一般性定义的理解，否则怎么还需要作特殊规定呢？其实这些“规定性内容”就是数学概念中的特殊对象的定义，它们仍属概念的定义范畴，是不可或缺的，理应受到重视.

二、抛出的“定义”也能体现大单元

受教材知识体系的约束，有些数学概念的定义产生过程教材不能一时向学生展示出来，故教材往往直接抛出的，教师如果不加以认真研究，就不清楚这个概念定义的真实原因，只好照本宣科，弄得学生迷惑不解，只好死记硬背，虽然能机械套用定义解题，但学生心里上往往不爽，特别是善于思考的学生，会纠结原因的，当问及教师时，教师可能也不清楚原因，就会搪塞学生：“前人规定好的，有什么好理解的，记住会应用即可.”教师的如此回答，虽然也能打发走学生，但学生内心却不一定完全接受，显然，教师没有从根本上解决学生的问题，怎能激其学生的兴趣？实际上，数学中的每一个概念并不是孤立存在的，而是在大单元下与其他知识和谐共生的结果，是系统化的结果，有了这个意识，就不难发现数学的每个概念的定义产生就能找到其如此定义的原因，也许这个原因在后续学习中，虽然暂时不能向学生介绍，但这个话要点到，让学生明白定义是可以理解的，等到学了后续知识之后，教师再做补偿性说明，这体现了前后连贯的逻辑性，学生就豁然开朗了，解除了心中的疑团，明白了，自然就有了兴趣，同时也就感受到大单元理念的“大”.

案例2在平面向量的“减法定义”的学习中，人教版第11页定义如下：“向量加上的相反向量，叫做与的差，即－=+（－），求两个向量差的运算叫做向量的减法.”关于向量减法的定义，教学中不少教师运用类比实数的减法去理解，那么总感觉不能解释明白，别说学生不能接受，作为教师能接受吗？毕竟向量运算与实数运算是两类不同的事物，怎能作一个简单类比呢？那么，该如何解释此定义的合理性呢？如果直接告诉学生，机械记住，大单元教学理念体现在何处呢？为此，笔者经过深思细悟，发现这个定义也是有道理的，并不是不可理喻的.不过，合理性还需从后续知识中加以验证，教师至少要知道这一点，以后再向学生说明，这样一来，学生就明白了知识的前后联系.譬如说，在数量积的运算中，由数量积的分配律与数乘运算的结合律知，·［+（－）］=·+·（－）=·+［－1（·）］，根据实数的减法法则：加上一个负数，等于减去一个正数，于是得·［+（－）］=·－（·），受次启发，如果将·［+（－）］改写为·（－），直接运用数量积的分配律，得到·（－）=·－（·），多么简洁！又如，平面向量减法运算的坐标表示，设=x1+y1，=x2+y2，则－=－x2+（－y2），+（－）=（x1+y1）+［－x2+（－y2）］=［x1+（－x2）］+［y1+（－y2）］，根据实数的减法法则：加上一个负数，等于减去一个正数，知［x1+（－x2）］+［y1+（－y2）］=（x1－x2）+（y1－y2），受此启发，将+（－）改写为－，则+（－）=－=（x1+y1）－（x2+y2）=（x1－x2）+（y1－y2），从而，又一次验证了向量减法的合理性.

由此可知，教材中有的数学概念的定义直接抛出，并不等于不讲道理，作为教师应该从数学系统的高度去认识与把握，让学生感受到每一个定义都是大家庭中的一员，并且是有机的整体，不可或缺，只有这样，学生才能做到知识间的融会贯通.

三、冰冷的“数学符号”也能体现大单元

用数学符号呈现数学内容简洁、准确，但抽象，令学生难以理解，给人以冰冷的感觉，于是误认为数学符号都是前人机械规定的结果，没有什么好理解的，其实不然.实际上，数学中每一个数学符号都不是空穴来风，每一个数学符号的背后往往都有一曲曲感人的故事，是前人从数学系统的角度经过反复思考的结果，是数学智慧的结晶，意味深长，不可小视.

案例3平面向量数量积的概念，教材利用力做功直接引出数量积定义“·=||||cos<，>”.在此定义中，运算符号“·”具有乘法的意义吗？显然不具有实数乘法运算的意义，那么为什么这个概念定义时用运算法则“·”呢？对此，教学时，教师需要向学生讲清楚其来龙去脉，但无论在中数期刊上，还是公开课上，关于数量积运算符号“·”的引入，几乎都是照本宣科，让人觉得这个定义的无理，而没有真正感受到使用“·”的真正意图.对此，笔者深感困惑，经过一段时间的思考，终于弄清楚了原因，实际上由力与位移通过某种运算法则产生的标量功W，我们不妨记为W=⊕=||||cosθ，其中θ为矢量力与位移的夹角，按照这个定义受启发，得到⊕=||||cosθ不难可得到运算律：⊕=⊕，（λ）⊕=λ（⊕），⊕（⊕）=⊕⊕⊕，显然关于⊕=||||cosθ的运算律与实数乘法的运算律类似，况且⊕=||||cosθ中等号右边的三部分式子之间都是实数乘法运算，基于此认识我们不妨借用实数的乘法运算符号“·”可表达⊕=||||cosθ中的运算法则，即·=||||cosθ，这样一来，就减少了数学符号，体现数学的整体把握与简洁美.教学中，笔者采用“倒序的手法”介绍数量积的运算符号形成过程，彰显了数学中一个小小的数学符号可能蕴含着数学的整体化思想，而不仅仅是一个孤零零的符号，所以教学时要透过现象看本质，让学生感受到教材的内在力量.

四、简单的“运算法则”也能体现大单元

大单元教学的内容更强调宏观，更加注重教学内容之间的联系，这样有助于学生建立知识体系，有助于学生对教学内容进行结构化的掌握.数学运算是数学学习的“重头戏”，提升运算素养的关键就是弄清楚运算法则的原理及来龙去脉，特别是一些运算法则之间存在内在逻辑联系，因为它们这种关系是隐形的，不容易被大家觉察到，所以教学时就公式讲公式现象普遍，没有体现大单元的教学理念，运算也只能机械套用公式操作，数学运算素养也就无从谈起.

案例4新教材第二册第一章内容是平面向量，教材在学习完平面向量知识之后，接著谈谈平面向量的应用，其中余弦定理的证明就是平面向量应用的一个方面，当然，运用平面向量知识推导出余弦定理并不难，难的是如何想到了去运用平面向量去切入推导余弦定理的，对此，大家可能思考的少，因为这需要深度思考才能明白其中的缘由，否则，只能照本宣科了.笔者认为，余弦定理是反映三角形边角之间关系的一个定理，教学设计应该使余弦定理来得自然而不生硬，所以教学时可以引导学生回忆三角形边角有哪些关系？学生回答的结果无非是如下几个方面：三角形三边任何两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；三角形的内角和是180°；直角三角形的勾股定理以及锐角三角函数.接着教师可追问：一般三角形的边角之间的关系存在等量关系吗？教学表明，请学生回答的结果是没有的，于是，教师继续追问：刚刚学过的平面向量中有吗？学生可能还回答没有，此时，看来该是教师该出手的时候了，于是笔者写到：在ΔABC中，有AB+BC=AC这个结论吧？针对向量等式“AB+BC=AC”，不少教师认为这仅仅是三角形加法法则而已，而没有认识到其背后隐藏的丰富内涵——三角形边角关系，其实，它是三角形边角关系的向量表示，教学时，我们要透过现象看出本质，因为平面向量的“三角形加法法则”的运算符号“+”并不是实数中加法运算符号的意义，而是这种运算法则运算律与实数的加法运算律一致，故将平面向量中的这种“首尾相连”的运算用“+”表示，由此看出，平面向量的加法法则符号“+”的含义不仅有“模长”的运算，还有“向量方向夹角”的运算，而“向量方向夹角”的表示实际上就是“三角形角的大小”表示问题，故在ΔABC中，等式AB+BC=AC就是反应三角形边角的等量关系式，明白了这一点，从AB+BC=AC入手，将其两边平方，就不能得到b2=a2+c2－2accosB，显然，这样获取的余弦定理，学生感到亲切自然，深深感受到平面向量的价值非凡.

由此看出，看似一个大家熟知的余弦定理，教学时如何体现大单元的教学理念，需要我们认真备课，整体把握教材，仔细推敲每一个数学知识的本质所在，不能被表面的现象所迷惑，要透过表面的现象看到本质的东西，如本例我们如果从“AB+BC=AC”看到其反映的三角形的边角关系，那么教学时由此引入余弦定理，就能充分体现了大单元的教学思想.

五、熟悉的“数学公式”也蕴含着大单元思想

数学公式是联系题目条件与求解目标的桥梁，它们不仅是数学运算的依据，而且也是能帮助我们把握运算的方向，所以在求解时究竟选用哪个公式进行运算，关键是要清楚每个公式的适用范围和功能，这一点至关重要.当然，一个问题的运算可能有不同的公式运算都可以，但往往有繁简之别，值得注意的是，数学公式之间也存在着千丝万缕的联系，清楚它们的区别与联系也是大单元教学的要求，所以在运算求解时，不是数学公式记忆的问题，而是公式选择的问题，同样一个问题，如果选择恰当的数学公式，运算就事半功倍，否则事半功倍.

案例5在余弦定理的教学中，教材给出了两种形式a2=b2+c2－2bccosA，cosA=b2+c2－a22bc，于是教学中，教师往往就告诉学生利用余弦定理可解决两类问题：知道三角形的两边及其夹角求第三边；知道三角形的三边可求三角形的任意内角.实际上，告诉学生两大功能是不科学的，削弱了余弦定理的求解功能，不妨以a2=b2+c2－2bccosA为例加以说明，这个公式有四个元素：a、b、c、A，显然，根据此公式可“知三求一”，具体来说有四种情况：①知道a，b，c，求A；②知道a，b，C，求c；③知道a，b，A，求c；④知道a，c，A，求b.

其中①②两个类型是教材给出的两大功能，而③④是知道三角形的两边及其中一边的夹角，求第三边的问题，而这类问题是下节课由正弦定理要解决的问题，但在学习余弦定理的时候引导学生发现出来此功能，在学习正弦定理的时候，再解决③④类型的问题，学生就潜意识到正弦定理解决的问题，余弦定理也能解决，反之余弦定理解决的问题，正弦定理也能解决，这样一来，学生在解三角形时就可根据题目条件灵活选择哪个公式解决，同时也说明了正弦定理与余弦定理存在着联系，而不是水火不相容的，教师指出余弦定理与正弦定理可以互证，有兴趣的同学可不妨试一试.

从这个案例可知，虽然教材内容是一节一节的，有先后顺序，但节与节之间可能存在密切的关系，教学时我们可根据实际情况，将不同节之间的知识进行串通，让数学知识真正成为一个单元，而不是孤立存在的.

总之， 大单元教学并不是空洞的理念，而是教学设计中要将教材中每一个数学知识点融入到相应的数学结构体系中去，这样才体现出“大单元”的思想，为此，教师在备课时必须要有深度，事实上，大单元教学就是深度教学的一种有力体现.