复习中聚焦本质意义关联中建构模型意识

赵云平

“分数、比、百分数乘除法实际问题”是数学人教版教材六年级上册中第一、三、四、六单元简单的分数（比、百分数）乘除法解决问题和稍复杂的分数（比、百分数）乘除法解决问题。对于简单的分数乘除法解决问题，教材是安排在分数乘除法计算后进行教学的，稍复杂的分数除法解决问题是安排在百分数单元里进行教学的。这几种题型联系紧密，但涉及四个单元，且教学时间跨度比较长，对部分学生达到综合掌握是比较困难的问题。本文以第三学段数学人教版教材六年级上册分数（比、百分数）乘除法解决问题的复习课为例，将知识点进行关联、对比和融合，使学生进一步理解分数乘法和除法的意义，对如何在解决问题复习课中引入“数学建模”策略进行探讨。让学生进一步掌握分数乘除法解决问题的结构特点和数量关系，提高解决问题的能力。

一、数形结合，准确分析数量关系

旧知识的呈现、延伸、生长是一节复习课的重要环节，复习课的作用不仅仅是对已学知识的巩固，更多的是通过整理串联形成整体的知识网络体系，激活学生思维的功能。分数（比、百分数）解决问题最大的特点在于描述两个量的关系，在开课时出示线段图，寻找两个量之间的关系，以关键句作为复习的引领，引发学生观察并积极思考，通过数形结合，充分调动学生思维的积极性和主动性，可以帮助学生厘清数量关系，找到复习课的生长点。

师：果园里有60棵苹果树和45棵梨树，根据线段图，你能用什么方式表示出苹果树和梨树之间的关系？

生1：梨树是苹果树的。

生2：苹果树是梨树的。

生3：苹果树比梨树多。

……

二、联系对比，聚焦数量本质意义

1.横向对比，延伸本质

引导学生观察比较，以线段图演示数形结合，进一步明晰分数乘除法问题中数量之间的本质联系，通过单位“1”的辨别与确定，让学生在观察中总结出“对应量与单位‘1的量互换位置，分率互为倒数”。同时以每一段量为标准，进行可视化比较，归纳总结出“同一个量在不同的单位‘1中所占的分率不同”。通过这两种实际问题的认识对比，理解其本质意义，有利于学生沟通知识之间的联系，形成良好的认知结构，促进学习迁移和知识的融会贯通以及解决问题方法策略的提高。

师：同学们观察很仔细，通过线段图找出了很多两者之间的关系，这节课我们来分类整理归纳苹果树与梨树的关系。

师：梨树是苹果树的，把谁的棵数看作单位“1”？

生：把苹果树的棵数看作单位“1”。

师：你是怎么理解“梨树是苹果树的”？

生：就是把60棵苹果树看作单位“1”，平均分成4份，梨树棵数占这样的三份，所以说梨树是苹果树的。

师：“苹果树是梨树的”你又是怎样理解的？

生：就是把45棵梨树看作单位“1”，平均分成3份，苹果树棵数占这样的四份，所以说苹果树是梨树的。

师：你有什么发现？

生：梨树和苹果树的量交换位置时，它们所占分率就互为倒数。

师：所以，确定谁是单位“1”至关重要。对应量与单位“1”的量互换位置，分率互为倒数。

师：谁能举例说一说“对应量与单位‘1的量互换位置，分率互为倒数”？

生1：我们班男生人数是女生的，女生人數是男生的。

生2：桃树棵数是梨树的，梨树棵数是桃树的。

生3：甲数是乙数的，乙数是甲数的。

……

师：请同学们观察，为什么梨树和苹果树相差15棵，所占分率却不同呢？

生1：因为梨树比苹果树少，是把苹果树看作单位“1”;苹果树比梨树多，是把梨树看作单位“1”，单位“1”不同。

生2：也就是同一个量在不同的单位“1”中，分率是不一样的。

师：谁能举例说一说对“同一个量在不同的单位‘1中所占的分率不同”的理解吗？

生1：比如说，鸡的只数比兔的只数多，则兔的只数比鸡的只数少。

生2：甲数比乙数少，则乙数比甲数多。

……

2.渗透归一，总结提升

“求一个数的几分之几是多少？”和“求比一个数多或少几分之几的数是多少？”在本质意义上是不同的，前者是用单位“1”的量乘对应分率，后者有两种思路：一种是用单位“1”的量乘相差分率求出相差量，再用单位“1”的量与相差量进行加减，求出未知量;第二种是先求出对应分率，再用单位“1”的量乘对应分率。本环节将数形结合思想深入渗透其中，让学生通过上述两类题型本质意义的理解，通过线段图、解题思路和解题方法的综合应用，发现“求一个数的几分之几是多少？”和“求比一个数多或少几分之几的数是多少？”结构不一样，但解题方法是一样的。从而建构分数乘除法不同意义、相同解法的“类”的模型，初步建构数学模型意识，锻炼学生解决问题方法的应用意识和能力。

师：如果我们把60棵苹果树棵数看作单位“1”，观察线段图，怎样解答？你是怎么想的？

生1：我们把60棵苹果树棵数看作单位“1”，梨树是苹果树的四分之三，求梨树有多少棵？

生2：也就是求苹果树棵数的是多少？列式为：60×=45（棵）。

师：同样我们把60棵苹果树棵数看作单位“1”，“梨树比苹果树少”又应该怎样解答？

生1：我们把60棵苹果树棵数看作单位“1”，梨树比苹果树少，求梨树有多少棵？

生2：梨树比苹果树少，说明梨树占苹果树的（1-），列式为：60×（1-）=45（棵）。

师：观察两幅线段图，刚才我们解答的两个问题是相同问题，还是不同问题？

生1：这是不同问题，一个是求一个数的几分之几是多少，另一个是求比一个数少几分之几是多少。

生2：我不同意你的理解，我认为是相同问题。

生3：梨树比苹果树少，说明梨树占苹果树的（1-）=，最后还是求一个数的几分之几是多少。

师：虽然表面上看是求比一个数少几分之几是多少，其实也是求一个数的几分之几是多少。因为（1-）=，它们最终都是求60的是多少？也就是：60（单位“1”的量）×（对应分率）=（分率对应量）。

3.举一反三，类比建构

在分数解决问题中，首要关键是确定单位“1”。已知单位“1”就是求“一个数的几分之几是多少（求对应量）”。未知单位“1”：首先，分率对应量和对应分率都已知，求单位“1”的量，也就是“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”，直接用对应量除以对应分率;其次，已知对应量和相差分率，求单位“1”的量是多少？有两种思路：一种按照已知单位“1”的量和相差分率，求对应量;第二种思路是先求出对应分率，再用对应量除以对应分率来解答。

在学生已经掌握已知单位“1”，求对应量的基础上，深入掌握对应量、对应分率和单位“1”的量三者关系时，通过举一反三，建构数学模型意识解决分数除法的相关问题，求单位“1”的量。举一反三的方法能帮助学生对各数量之间的关系深入理解和记忆。所以，当我们理解掌握分数的乘法解决问题思路和方法后，就可以将其运用到除法中，反之亦然。举一反三，我们可以通过类比和对比的方法来加深对分数乘除法解题思路的理解和应用。

师：“苹果树是梨树的”是把梨树看作单位“1”，梨树棵数是未知的应该怎样解答？你有什么发现？

生1：60÷=45（棵）。

生2：梨树的等于苹果树，也就是梨树的棵数乘等于60，两个因数的积等于60，求其中一个因数等于积除以另一个因数。

师：“苹果树比梨树多”怎样解答？你是怎样想的？

生1：60÷（1+）=45（棵）。

生2：梨树的（1+）等于苹果树，也就是梨树的棵数乘（1+）等于60，两个因数的积等于60，求其中一个因数等于积除以另一个因数，所以是45棵。

师：这两题是相同的问题，还是不同的问题？

生：苹果树比梨树多，说明苹果树占梨树的（1+）=，最后还是已知一个数的几分之几是多少，求这个数。

师：虽然表面上看是已知比一个数多几分之几是多少，其实也是已知一个数的几分之几是多少，求这个数，因为（1+）=，他们最终都是求一个数的是60，这个数就等于60÷。

师：你们有什么发现？

生：未知单位“1”的量——用除法解决，用60（分率对应量）÷（对应分率）=（单位“1”的量）。

师：看来同学都很善于观察并总结，通过比较，解决分数乘法除法问题的关键是什么？

生1：找准单位“1”的量。

生2：还要知道单位“1”的量是已知，还是未知？

三、总结延伸，关联中建构模型意识

分数、比和百分数之间的联系主要体现在它们都可以用来表示两个量之间的关系，即它们都可以表示一个数是另一个数的几分之几或百分之几的问题。它们在意义、表示方式上存在区别，但解题思路是相同相通的，学生在学习分数乘法除法、比、百分数各单元知识时，掌握的知识是单一零碎的，达不到深入融合的梯度，难以建立同类知识网络体系，并形成综合应用整体知识的能力。只有对各单元知识进行整合分析，将零散的知识串联，对各类知识点进行归类对比，引导学生形成新的综合认知结构，在应用相关知识解决实际问题的基础上，进一步培养学生分析、比较、抽象、概括、归纳、推理的能力，增强数感，发展数学思维，建构数学模型意识和应用意识。

师：如果把刚才两类问题中的分率变成百分数，怎样解答？

生1：解决的方法一样的。

生2：都是求一个数的几分之几（百分之几）是多少？另外一种是已知一个数的几分之几（百分之几）是多少，求这个数。唯一区别是一种是分数形式表示，另一种是用百分数形式表示。

师：把刚才的问题用比的形式表述，解题思路还一样吗？

生：一样，他们还是表示一个数的几分之几是多少。

四、深入探索，关联中融会贯通

为了帮助学生透彻理解知识点间的关系，发展思维，建构模型意识和实际问题解决的应用意识，练习中设计了三组信息，两组条件和一组问题，学生根据复习内容，自选条件的问题，自编问题，创造更多问题并解决，帮助学生根据分数解决问题的模型丰富外延，内化模型，融会贯通。通过这个完整层层递进的建模过程，让学生紧紧抓住知识的关键特征，沟通联系，从而完善、更新数学认知体系。

师：同学们能根据老师出示的条件和问题，自编题目吗？

生1：我编的题目是——我们班男生有20人，男生人数是女生的，女生有多少人？女生人数是单位“1”，这题也就是已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法，即20÷=25（人）。

生2：我編的题目是——全班有45人，男生人数占全班人数的，男生有多少人？列式计算：45×=20（人）。

……

小结：在解决分数、比、百分数解决问题时，找单位“1”是关键。已知单位“1”的量时就用“单位‘1的量×对应分率=分率对应量”;当未知单位“1”的量时就用“分率对应量÷对应分率=单位‘1的量”。