凸显统计意义 培养数据意识

谭傲菡

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《新课标》）将百分数从“数与代数”领域调整到“统计与概率”领域，把百分数作为统计量进行教学。百分数是两个数量倍数关系的表达，这两个数量既可来源于确定数据，又可来源于随机数据。前者指百分数的传统数学意义;后者即百分数的统计意义。《新课标》指出：“要结合具体情境，探索百分数的意义”“在简单的实际情境中，应用百分数，形成数据意识和初步的应用意识。”这一新导向的提出，丰富了百分数的意义，同时改变了百分数教学的任务与目标，需要在理解百分数原有算术意义的基础上，更加凸显百分数的统计意义。因此，在百分数的教学中，为了让学生更全面地认识和理解百分数，应该将百分数放到统计背景中去学习。

一、数据分析，体会百分数产生的必要性

教学中，教师创设推选投篮水平高的学生代表班级参赛的情境，让学生在课前分析数据的过程中感受到仅从投篮“命中次数”这一个量无法判断比较，要比较投中次数与投篮总数的关系（命中率）才能进行比较，并借助已有经验，通过计算用小数、分数、百分数来刻画投篮水平的高低。在此基础上，利用前测生成资源，引导学生自主探究，进行小数、分数、百分数互化体会百分数的优越性。

【片段一】

师：上周的投篮活动是为了选拔1名同学参加校级投篮比赛。老师带领大家收集、整理了数据并完成了小组初选。我们先来看看，第三小组的推选情况，谁的投篮水平最高？（出示前测中学生推选结果）

生：邓羽彤。

师：为什么都选他呢？谁能读懂他是怎么想的？

生1：他是用投中次数除以投篮总数，算出得数（小数），比较小数的大小。

生2：他也是用投中次数除以投篮总数，算出得数（分数），通分后比较大小。

生3：他也是用投中次数除以投篮总数，算出得数（百分数），比较大小。

师：小数、分数是我们学过的，那什么是百分数呢？有待我们进一步研究。（出示课题）

师：在同学们的作品中，我们看到了小数、分数、百分数都可以表示投中次数除以投篮总数的商，那它们的大小一样吗？怎么证明？

生板演说明：

师：看来小数、分数和百分数他们之间是有联系的。通常我们是以100为分母作为比较的标准，像这样分母是100的分数可以写成百分数。如果分母不能通分成100时，我们可以先把分数化成小数。

【片段二】

师：刚才我们了解到了第三小组的推选结果，再来看看其他四组的推选结果。（课件出示）谁的投篮水平更胜一筹？好比较吗？

生：不好比较。

师：怎么办？

生：改写成百分数。

（学生四人小组合作将其他几人的命中率都改写成百分数并展示汇报）

师：谁来读一读这些百分数。（各命中率）

在分析数据的过程中，学生感悟到命中率可以刻画投篮水平的高低，学生运用已有知识经验进行小数、分数、百分数互化，经历百分数产生过程从不同形式的表达——相同分母（100）的表达——百分数的表达，感受到以百分数为标准进行比较既简单又方便，从而可以体会百分数产生的必要性。

二、关联经验，多维构建百分数的本质意义

1.从统计角度，初感百分数的意义

创设真实情境，以随机数据“命中率”引入百分数的学习，使学生初步感知百分数是一个相对的数，是两个数之比，可以用来反映某种比例关系，表示“投篮次数”与“命中次数”的倍数关系，来刻画投篮水平。

【片段三】

师：看来，我们可以用小数、分数、百分数表示投中次数除以投篮总数的商来表示投篮水平。那什么是投篮水平呢？

生：投篮水平就是投篮命中率。

师：请你具体解释一下什么是命中率？

生1：投中次数是投篮总数的几分之几。

生2：投中次数在投篮总数中的占比。

总结：其实命中率就是投中次数是投篮总数的几分之几，它可以用来判断投篮水平的高低。

师：请你说一说60%表示什么意思？

生1：把投篮总数看成一百份，投中的占了其中的60份。

生2：也可以说成投中次数是投篮总数的百分之六十。

任选一个百分数，同桌互相說一说。

2.从生活实际理解百分数的意义

为了让学生进一步理解百分数的意义，将百分数与学生生活经验关联，学生自主举例，如：生活中衣服的羊毛含量、果汁中纯果汁的含量、中奖率等，通过解释生活中的百分数的含义，帮助学生理解其中的数量关系，从而抽象出百分数的本质意义。

【片段四】

师：那百分数只能表示命中率吗？生活中哪里还有百分数？

生：举例说意义。

师：看来百分数可以表示的太多了，要怎样描述才能把它表达的意思都包含进去，百分数表示什么呢？

生：表示一个数是另一个数的百分之几。

师：表示的是两个数之间的（关系），这个关系就是我们学过的倍数关系。

在上述的教学片段中，从命中率和学生熟悉的百分数入手，关联多元生活经验打通百分数两种意义的隔断墙，即从统计意义（两个随机数据之间的倍数关系）和算术意义（两个确定数据之间的倍数关系）两个维度构建百分数的本质意义（一个数是另一个数的百分之几），进一步理解百分数两个量之间的倍数关系。数据是学生理解百分数的基础，学生在对数据认识和表达的过程中逐步地形成数据意识。

三、随机现象中感悟百分数的统计意义

1.分析比较，感受百分数的随机性

借助百分数来刻画数据的分布，引导学生清晰准确地把握数据中的关键信息，有助于对随机现象进行判断、做出决策。本案例中选用“投篮命中率”这一现实世界中的随机现象导入百分数，在帮助学生理解百分数统计意义的同时，通过对多组数据的比较体会数据的随机性。

【片段五】

师：现在要在这5个人中推选一名同学代表班级参赛，该派谁去呢？

生1：张致承。

生2：单凭一次的成绩还不能确定，有可能其他选手没发挥好。

师：那该怎么办呢？

生2：可以再比几次。

师：都是这5个人，再多投几次，命中率不应该是一样的吗？

生：不一样，有可能高，有可能低。比如某某同学，他投中的次数可能增加，命中率就会提高;也可能投中次数减少，命中率就会下降。

师：那投篮总数改变，命中率会变化吗？

生：会。

师：来看这是邓羽彤后5次的投篮情况，你发现什么？

生：投中次数在变，投篮总数也在变，命中率也跟着变化。

师：（出示其他4人后5天的数据）好的，再看看其余4人的，每次的命中率都一样吗？

生：不一样。

总结：投中次数和投篮总数的改变，都会让命中率发生改变。由于投中次数是随机的，所以表示投中次数和投篮总数关系的百分数它也是一个随机数据。

2.呈现数据，体会大数据的稳定性

对数据随机性感悟除了知道同样的事情每次收集到的数据可能不同，还应通过多次数据的呈现，让学生感受到有足够的数据就能从中发现规律。

【片段六】

师：现在我们有了5名同学6次的投篮数据，可以选出水平最高的那一个了吗？

生1：看看谁得第一的次数多。（有次数相同的，仍无法判断）

生2：求6次的命中率的平均数。

（明确前6次的命中率并不是一个准确值，求出来的平均数就会与实际的命中率有所偏差）

生3：每人6次投中的总数除以投篮总数算出命中率。

师：（表格出示计算结果）现在我们选谁参赛？为什么第一次的命中率没有做出决定，而现在就能确定了呢？

生：数据多了，算出来的命中率就更接近真实水平。

师：那如果是选拔参加奥运会的运动员，6次的数据够了吗？

生：不够，要成百上千次。

师：是的，当数据越多，稳定性越强，进而就能从中发现规律，为我们做决策提供依据。

学生在理解百分数的意义后，教师通过两次追问引发学生对一次数据做决策的合理性进行思辨，进而让学生亲近数据，唤起对更多数据的需求。通过呈现数据、对比分析、交流讨论，学生感受到“投篮总数”和“投中次数”的不确定性决定了百分数是对随机数据的表达和刻画;统计结果的随机性会引起百分数的变化，随着数据的增多，命中率这个百分数稳定性越强越能代表选手的实际水平，越具参考价值，從而为决策提供依据。进而体会百分数的统计意义，初步感受百分数的统计价值，形成百分数的数据意识。

四、应用实践，深化百分数的统计价值

教师要引导学生在实践中理解百分数，在解决问题中应用百分数，发展数据意识，在实践中深入体会百分数的统计价值。

【片段七】

师：好的，孩子们，学校不仅要举行投篮比赛，还要对六年级学生进行跳绳达标测试。我们从六年级学生中随机抽取100名学生，记录他们1分钟跳绳个数，怎样利用这些数据确定达标线呢？

生：算出全年级平均数作为达标线

追问：以平均数作为达标线，一定会有一半人达标吗？

师：如果我们需要有一半的学生也就是50%的人达标，要怎样确定达标线？

生：可以用成绩排在第50名同学的跳绳个数作为达标线。

师：如果要让75%的学生达标呢？怎样确定达标线？如果以第25名同学的成绩作为达标线，就有多少人达标？多少人不达标？

师：这就是百分数的统计价值，帮助我们做出判断和决策。

结合“确定六年级学生跳绳达标线”实践活动，在解决问题的过程中，学生体会到百分数这3个重要节点对判断事物及决策的作用，进一步感悟百分数的意义，体会百分数的统计价值和应用价值，形成初步的应用意识。

综上所述，《新课标》将百分数调整到“统计与概率”领域，作为统计量来进行教学，主要是为了凸显百分数的统计意义。对于小学生而言，百分数的统计意义是比较抽象的，其对随机数据之间关系的表达和刻画又是以百分数的本质意义为前提。因此，在教学百分数时，可用现实问题中的随机数据为素材引入学习，让学生在理解百分数意义的基础上，打通“统计意义”和“算术意义”的隔断墙，探寻百分数从“数概念”到“统计量”的中间地带，在真实情境的数据分析中体会百分数产生的必要性，在多元经验中理解百分数表示两个数之间倍数关系的本质意义，在随机现象的表达和刻画中感受百分数的统计意义，在解决问题的过程中应用百分数的统计意义，从而体会百分数的统计价值，培养学生的数据意识。