深研习题 提升素养

马光胜 左效平

习题是同学们巩固数学学习 效果的重要载体，自觉有效研究习 题，既能提高对数学知识的理解能 力，又能培养运用数学知识解决问 题的能力，积累高效解题的基本经 验，继而提升数学核心素养。

1.习题呈现。

某文具店在一周的销售中，盈亏情况如 表1（盈余为正，单位：元）.

表中星期六的盈亏数被墨水涂污了，请 你算出星期六的盈亏数，并说明星期六是盈 还是亏，盈亏是多少.（人教版数学教科书七 年级上册第52页第11题）

2.知识检索。

（1）理解具有相反意义的量.

先要理解何为相反意义，比如本题中的 “盈”与“亏”即为相反意义.然后要理解如何 用正负数表示具有相反意义的量，比如本题 中的-27.8表示亏损27.8元，200表示赢利200元.清楚了这些，就为解题奠定了知识基 础.

（2）清楚判定盈亏的标准.

判定盈亏的标准是盈亏数的正负属性， 若为正，则判定为赢利；反之，则判定为亏 损.本题中欲说明星期六是盈还是亏，则须 知道星期六的盈亏数的正负属性.清楚了这 一点，就清楚了解题的基本方向.

（3）清楚盈亏数的计算方法.

要想知道星期六的盈亏数，就必須理解 表格中各数据之间的关系，星期一、星期二、 星期三、星期四、星期五、星期六、星期日七 天的盈亏数之和等于合计数458，故根据合计及星期一、星期二、星期三、星期四、星期 五、星期日的数据即可推算出星期六的盈亏 数，这就要求我们熟练掌握有理数的加减混 合运算法则.

3.解法探究。

解法1：根据题意，得星期一、星期二、星期 三、星期四、星期五、星期日六天的盈亏数是：

-27.8-70.3+200+138.1-8+188=200+[138.1-（27.8+70.3）]+（188-8） =200+40+180=420.

而合计数是458，故星期六的盈亏数是 458-420=38，38是正数，所以星期六赢利38元.

解法2：设星期六的盈亏数为x，根据题 意，得-27.8-70.3+200+138.1-8+x+188=458.

解得x=38，所以星期六的盈亏数是38， 赢利38元.

4.变式思考。

例某天，某志愿者驾驶汽车在东西走 向的道路上来回地运输防疫物资.约定向东 行驶记为正，已知他从该道路上的A地出发 到运输物资结束的行驶记录如下（单位：千 米）：

+12，-3，+5，-2，-6，-10.

（1）运输物资结束时，汽车停在A地哪一边，距离A地多远？

（2）若汽车的耗油量为每千米0.1升，这 天汽车运输物资共耗油多少升？

分析：（1）运用有理数的加减运算，列 式计算，若结果为正数，则表示汽车停在A 地的东面；若结果为负数，则表示汽车停在 A地的西面.结果的绝对值即为与A地的距 离.

（2）计算汽车行驶的总路程，根据“耗油 量=每千米耗油量×总路程”计算即可.

解：（1）因为12-3+5-2-6-10=-4，所以运 输物资结束时，汽车停在A地的西面.因为|-4|=4，故距离A地4千米.

（2）因为这天汽车行驶的总路程为|+12|+|-3|+5+|-2|+|-6|+|-10|=38，所以 这天汽车运输物资共耗油：38×0.1=3.8（升）.

点评：这是一类常见的有理数加减混合 运算实际应用问题，解答时，把握好三点：

（1）知道每个数据的含义，如本题中约 定向东行驶为正，则数据为正，表示向东行 驶，数据为负，表示向西行驶，数据的绝对值 表示行驶距离.

（2）把原始行驶记录数据求和，结果的正负属性决定汽车运输物资结束时位于初 始出发地的哪一边，结果的绝对值，决定汽 车运输物资结束时与初始出发地的距离.

（3）把原始行驶记录数据取绝对值后求 和，得到的是汽车运输物资行驶的总路程.

试一试

某口罩加工厂计划让每名工人每天生 产300个医用口罩，一周生产2100个医用 口罩.实际每天生产量与计划量相比有出 入，工人小贤9月份第2周周日生产了300 个医用口罩，9月份第3周的生产情况如表 2所示，正号表示产量比相邻前一天增加，负号表示产量比相邻前一天减少.

（1）根据记录的数据可知，小贤9月份 第3周产量最多的一天是星期_________.

（2）根据记录的数据，求出小贤9月份 第3周实际生产的口罩数量.

（3）假设该厂实行每周计件工资制.每生 产一个口罩可得0.8元，若超额完成周计划 工作量，则超过部分每个另外奖励1.2元；若 完不成每周的计划量，则少生产一个扣0.3元.小贤9月份第3周的工资总额是多少元？

（4）假设该厂实行每日计件工资制.每 生产一个口罩可得0.8元，若超额完成每日 计划工作量，则超过部分每个另外奖励1.2元：若完不成每日的计划量，则少生产一个扣0.3元.小贤9月份第3周的工资总额 是多少元？

参考答案：

（1）六（2）2152个.（3）1784元.（4）1784.9元.