“相交线与平行线”要点精析

杨文金

要学好“相交线与平行线”，就 要掌握住其要点.请看杨老师给我 们带来的要点精析。

要点一：垂线

如果两条相交直线所成的四个角中的任意一个角是直角，那么这两条直线互相垂直.其中一条直线叫作另一条直线的垂线，交点叫作垂足.

注意事项：（1）两线段垂直，两射线垂直，线段与射线垂直，均是指它们所在的直线互相垂直.

（2）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

（3）两条直线互相垂直，则它们所形成的四个角均为直角.

（4）在同一平面内，如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么这条直线也与另一条直线垂直.

（5）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.

（6）垂线是一条直线，而垂线段是一条线段.

例1（2023年雅安）如图1，AB//CD，AC丄BC于点C.若∠1=65°，则∠2的大小为（  ）

A.65°

B.25°

C.35°

D.45°

分析：先根据“两直线平行，同旁内角 互补”可得∠ACD的度数，再根据垂直的定义可得∠ACB=90°，然后根据∠2=LCD-∠ACB即可得出答案.

解：因为AB∥CD，L1=65°，所以人ACD= 180°-65°=115°.

因为AC丄BC，所以°ACB=90°，2=∠ACD-∠ACB=115 -90° =25°。故选B.

点评：本题考查了平行线的性质以及垂 线的定义，熟知“两直线平行，同旁内角互 补”是解本题的关键.

要点二：相交线形成的角

两个角有一条公共边，它们的另一边互 为反向延长线，具有这种位置关系的两个 角，互为邻补角.两个角有一个公共顶点，并 且一个角的两边分别是另一个角的两边的 反向延长线，具有这种位置关系的两个角， 互为对顶角.

两条直线被第三条直线所截，构成八个 角，我们看那些没有公共顶点的两个角的关 系.两个角在截线的同旁，且分别在被截两 条直线同侧，具有这种位置关系的一对角 叫作同位角.如下页图2中的∠1和∠5.

两个角分别在截线的两 侧，且夹在两条被截直线之 间，具有这种位置关系的一对 角叫作内错角.如图2中的∠3 和∠5.

两个角在截线的同旁，且在两条被截直 线之间，具有这种位置关系的一对角叫作同 旁内角.如图2中的人3和人6.

注意事项：

（1）对顶角是成对出现的，对顶角是具 有特殊位置关系的两个角.

（2）如果人a与人β是对顶角，那么一定 有∠a=∠β；如果∠a=∠β，那么∠a与∠β不一定是对顶角.

（3）如果人a与人β互为邻补角，那么一 定有∠a+∠β=180°；如果∠a+∠β=180°，那么∠a与∠β不一定是邻补角.

（4）两直线相交形成的四个角中，每一 个角的邻补角有两个，其对顶角只有一个.

（5）两条直线被第三条直线所截而形成 的八个角中，有四对同位角，两对内错角，两 对同旁内角.

例2（2023年湘西） 已知直线a∥b，将一块直 角三角尺按如图3所示的 方式摆放.若∠1=40°，则 ∠2的大小是（  ）.

A.40°

B.50°

C.14°

D.15°

分析：由a/∥b，人1=40°，得3=40°，进 而得到∠2的大小.

解：因为a∥b，人1=40°，所以人3=人1= 40°.因为人3+人2=180°，所以人2=180-40°=140°.故选C.

点评：本题主要考查平行线的性质和邻 补角的性质，掌握平行线的性质是解题的关键.

要点三：平行線

在同一平面内，不重合且不相交的两条 直线叫作平行线，平行用符号“∥”表示.

判断同一平面内两条直线的位置关系 时，可以根据它们的公共点的个数来确定：

①有且只有一个公共点，两条直线相交； ②无公共点，两条直线平行；

③有两个或两个以上公共点，两条直线 重合.

注意事项：

（1）经过直线外一点，有且只有一条直 线与这条直线平行.

（2）如果两条直线都与第三条直线平 行，那么这两条直线也互相平行.

（3）两直线平行，同位角相等，内错角相 等，同旁内角互补.

（4）两条直线被第三条直线所截，如果 同位角相等，那么这两条直线平行；两条直 线被第三条直线所截，如果内错角相等，那 么这两条直线平行；两条直线被第三条直线 所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.

例3（2023年烟台）一杆古秤在称物时的 状态如图4所示，已知 ∠1=102°，则∠2的大小为________

分析：根据“两直线平行，内错角相 等”即可求解.

解：如图4所示，依题意，知AB∥DC，故∠2=∠BCD。因为∠BCD+∠1=180°，∠1=102°，所以∠BCD=180-∠1=78°，故∠2=78°.

故应填“78°”.

点评：本题考查了平行线的性质，熟练 掌握平行线的性质是解题的关键.