几何推理常识

张景中

张院士给我们带来了一些几何推理常识，一起去看看吧．

回顾一下我们学过的几何知识，它们常常用一些语句来表达，现在来研究一下这些语句的特点，例如：

1．经过两点有一条，而且只有一条直线．

2．三角形两边之和大于第三边．

3．三角形的面积等于底与高的乘积之半．

4．同一平面内，经过一点有一条而且只有一条直线垂直于已知直线．

5．长方形的面积等于它的长与宽的积．

6．直角三角形的面积等于它的两直角边长乘积之半．

这些语句有一个共同的特点：它们都是判断某一件事情的句子．这种判断某一件事情的语句，叫作命题．

一个命题，可能是正确的，也可能是错误的，正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题．如果一个命题是真的，就说这个命题成立；否则，说它不成立．

命题可真可假，非真即假，不能含糊不清，“2+5 =7”“粉笔都是黑的…‘8比9大”，都是命题．其中有一个是真的，两个是假的．

在数学里，特别是在几何学里，为了突出一些重要的概念和使语言简明，要引进许多专用的术语和记号，对这些术语和记号所作的说明，叫作定义，例如，具有公共端点的两条射线所组成的图形叫作角，就是角的定义．

在用定义说明术语时，又会用到原来已知的术语，例如，定义角时用到射线，原来已知的术语要用更早已知的术语来定义，那么，最早的术语怎么办呢？只好约定一些最基本的、不加定义的术语．对最基本的术语，可以用日常语言描述一下，便于理解．在几何学中，点、直线、点在直线上、直线上的两点之间，都是基本术语．

有些真命题是从人们长期实践中总结出来的规律．从这些规律中选出一些最简单的、易于理解的基本规律，作为研究几何图形性质的出发点，这些基本规律叫作公理．例如，“经过两点有一条，而且只有一条直线”就是公理，

公理都是真命题，

在数学中，特别是在几何学中，以定义和公理为依据，用推理的方法说明其为正确的命题为定理，在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能做出判断，这个推理过程叫作证明．要说一个几何命题是定理，就应当写出证明．

如果一个几何命题，它不是公理或定义，但看上去像是真的，实验也表明它很可能是真的，我们可以说它是一個猜想，只有给出证明，才可以把它叫作定理.