基于GeoGebra软件的矩阵乘法的可视化教学研究

2024-05-19 14:00杨晓丹赵越王煜晶
科技风 2024年11期
关键词:可视化

杨晓丹 赵越 王煜晶

摘 要:在线性代数的教学中,矩阵乘法是一个非常重要的算法,矩阵乘法的一个应用就是旋转变换,本文借助GeoGebra可视化功能,动态展示了旋转变换的效果,使矩阵乘法的本质得到展示,加深学员对矩阵乘法的理解,同時也增加了课堂的活跃性与趣味性,有助于提高教学效果。

关键词:GeoGebra软件;矩阵乘法;可视化

Abstract:In the teaching of linear algebra,matrix multiplication is a very important algorithm.One application of matrix multiplication is selection transformation.In this paper,with the help of GeoGebra's visualization function,the effect of rotation transformation is dynamically displayed,so that the essence of matrix multiplication can be displayed,which can deepen the students' understanding of matrix multiplication,increase the activity and interest of the classroom,and help improve the teaching effect.

Keywords:GeoGebra;Multiplication;Visualization

1 概述

“GeoGebra”动态几何画板是集代数、几何、微积分、概率统计功能为一体的动态数学,是一款免费、开源的数学软件。该软件与大学数学教学中常常使用的Matlab和Mathematica相比,具有操作简单、功能强大、形象直观、可动态展示效果等众多优点。

线性代数内容抽象,计算量大,学员学完只会做题,往往不清楚线性代数有什么用途,觉得就是算来算去的数学人的游戏,因此学生在学习过程中觉得抽象难懂枯燥乏味,对课程渐渐失去学习。比如在线性代数矩阵乘法的教学中,学员对矩阵乘法的意义比较迷惑,因此本文借助Geogebra的动态演示功能,巧妙设计使用指令,动态演示了矩阵乘法的几何意义,帮助学员建立直观的认识,加深对矩阵乘法的理解。

2 矩阵乘法的定义

定义:设A=(aij)是一个m×s矩阵,B=(bij)是一个s×n矩阵,则规定矩阵A和矩阵B的乘积C=AB是一个m×n矩阵C=(cij)m×n,其中

cij=ai1b1j+ai2b2j+…+aisbsj

=∑sk=1aikbkj(i=1,2,…,m;j=1,2…,n)

上述定义表明,乘积矩阵C的第i行第j列元素cij,是A的第i行的s个元素与B的第j列的s个元素一一对应相乘的乘积之和。因此只有当左边矩阵A的列数等于右边矩阵B的行数时,这两个矩阵才可乘,我们称C=AB为A左乘B,或B右乘A,并且乘积矩阵的维数由A=(aij)的行数和B=(bij)的列数决定。当矩阵B=(bij)是一个s×1矩阵时,Am×sBs×1=c11

c21

cm1,可以看出一个矩阵作用在一个向量上,将一个向量变成另一个向量,因此矩阵乘法对应着变换,可以将一个向量转换成另外一个向量,这就是矩阵乘以向量的本质。乘积向量的维数有可能发生变化。

3 矩阵的旋转变换

对于二维平面中的向量OP=xy,与x轴的夹角为θ,OP=r,将向量OP=xy逆时针旋转φ度,得到向量OP1=x1y1,如图1。

此时x1=rcosθ+φ

y1=rsinθ+φ,即:

x1=cosφx-sinφy=rcosφcosθ-rsinφsinθ

y1=sinφx+cosφy=rsinφcosθ+rcosφsinθ

于是x1=cosφx-sinφy,

y1=sinφx+cosφy.写成矩阵乘法的形式则有:

x1

y1=cosφ-sinφ

sinφcosφx

y

令y→=x1

y1,A=cosφ-sinφ

sinφcosφ,x→=x

y,则矩阵A表示的是二维旋转变换,将向量OP=x

y逆时针旋转φ度。

类似地,我们可以写出三维旋转变换矩阵:

A=100

0cosα-sinα

0sinαcosα,则Au=v表示对向量u绕x轴逆时针旋转α角度后得到向量v。

B=cosβ0-sinβ

010

sinβ0cosβ,则Bu=v表示对向量u绕y轴逆时针旋转β角度后得到向量v。

C=cosγsinγ0

-sinγcosγ0

001则Au=v表示对向量u绕z轴逆时针旋转γ角度后得到向量v。

为了更好地理解乘法变换的本质,教学中可使用GeoGebra动态演示功能,展示向量的变化过程。

4 GeoGebra动态演示矩阵乘法的几何意义

现在以3阶旋转变换矩阵为例,解释矩阵乘法的几何意义。设三个三阶矩阵A、B、C分别为如下形式:

A=100

0cosα-sinα

0sinαcosβ,B=cosβ0-sinβ

010

sinβ0cosβ,

C=cosγsinγ0

-sinγcosγ0

001

其中A乘向量的效果是向量绕x轴旋转,B乘向量的效果是向量绕y轴旋转,C乘向量的效果是向量绕z轴旋转。

(1)分别打开绘图区、3D绘图区、代数区、表格区。

(2)分别点击工具栏上的,在绘图区分别建立滑动条a、b、c。

说明:用于控制向量端点位置。

(3)指令栏中输入:点A=(a,b,c)

说明:生成向量的端点A。

(4)点击工具栏上的,在绘图区制作滑动条α、β、γ,在出现的滑动条编辑框中勾选角度,并输入角度的名称,如α,然后在最小后输入角度的最小值0,在最大后输入角度的最大值360,如右图2。

说明:用于控制向量OA分别绕3个坐标转动的角度。

(5)在表格区A1、B1、C1、A2、B2、C2、A3、B3、C3位置上分别输入矩阵A的元素。

(6)在表格区A5、B5、C5、A6、B6、C6、A7、B7、C7位置上分别输入矩阵B的元素。

(7)在表格区A9、B9、C9、A10、B10、C10、A11、B11、C11位置上分别输入矩阵C的元素。

(8)指令栏中输入:列表m_1={{A1,B1,C1},{A2,B2,C2},{A3,B3,C3}}

说明:生成方阵A。

(9)指令栏中输入:列表m_2={{A5,B5,C5},{A6,B6,C6},{A7,B7,C7}}

说明:生成方阵B。

(10)指令栏中输入:列表m_3={{A9,B9,C9},{A10,B10,C10},{A11,B11,C11}}

说明:生成方阵C。

(11)指令栏中输入:u=向量(A)

说明:生成向量OA。

(12)指令栏中输入:u_1=m_1*u

说明:用于表示矩阵A乘以向量u后的向量,即变换后的向量。

(13)指令栏中输入:u_y=m_2*u

说明:用于表示矩阵B乘以向量u后的向量,即变换后的向量。

(14)指令栏中输入:u_z=m_3*u

说明:用于表示矩阵C乘以向量u后的向量,即变换后的向量。

(15)指令栏中输入:点XA=(x(u_1),y(u_1),z(u_1))

说明:用于表示矩阵A乘以向量u后的向量u1的端点。

(16)指令栏中输入:点YA=(x(u_y),y(u_y),z(u_y))

说明:用于表示矩阵C乘以向量u后的向量uy的端点。

(17)指令栏中输入:点ZA=(x(u_z),y(u_z),z(u_z))

说明:用于表示矩阵C乘以向量u后的向量uz的端点。

当我们完成了如上操作,就可以在教学中动态演示旋转变换的结果。比如我们想要观看Au的效果,可以在3D绘图区窗口找到向量u1,点击左键选中,再单击右键选择跟踪轨迹,右键单击滑动条α,选择启动动画,随着滑动条的移动,3D绘图区窗口中的向量u1也随之移动,并且显示出移动的轨迹,如图3、图4所示。

在观察矩阵对应的选择变换时可以在3D绘图区窗口中单击鼠标左键不松手,并进行随意的滑动,可以切换观察者的视角,学生可以从不同的角度动态观察向量的变换过程,即选择变换随角度的变化对向量的作用效果,如图5、图6所示。

我们想要观看Bu的效果,可以在3D绘图区窗口找到向量uy,点击左键选中,再单击右键选择跟踪轨迹,右键单击滑动条β,选择启动动画,随着滑动条的移动,3D绘图区窗口中的向量uy也随之移动,并且显示出移动的轨迹,如图7中右侧部分所显示的。

类似地,我们想要观看Cu的效果,可以在3D绘图区窗口找到向量uz,点击左键选中,再单击右键选择跟踪轨迹,右键单击滑动条γ,选择启动动画,随着滑动条的移动,3D绘图区窗口中的向量uz也随之移动,并且显示出移动的轨迹,如图8中上侧部分所显示的。

另外,我们也可以在绘图区中实验复选框,将某些演示命令设置在复选框中,学员课下可以通过对复选框的勾选,展示相应的动画。

结语

本文通过学科工具GeoGebra动态几何画板的线性代数可视化教学设计,并将其应用到大学线性代数的教学中,这对数字化教育和可视化教学具有实际意义和应用价值的。使用GeoGebra软件进行动态演示,只需在命令区输入方程即可,操作起来简单、方便,产生的图形逼真、形象,使抽象的问题直观化,增加了课堂的活跃度,对培养學员的探究创新能力有很大帮助,也为线性课堂带来更好的教学效果。因此,应当注重GeoGebra软件在课堂教学中的应用以丰富课堂教学信息量,激发学员学习兴趣,为更多的学员带来优化的学习效果。

参考文献:

[1]王贵军.GeoGebra与数学实验[M].北京:清华大学出版社,2017.

[2]同济大学数学系.线性代数[M].第六版.北京:高等教育出版社,2014.

[3]左晓明,田艳丽,贠超.基于GeoGebra的数学教学全过程优化研究[J].数学教育学报,2012(1):99102.

作者简介:杨晓丹(1980— ),女,汉族,黑龙江依兰人,硕士研究生,副教授,研究方向:泛函方向。

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