多元复合函数求偏导数的方法

冯媛 刘新红

摘 要：针对多元复合函数求偏导数问题，总结了代入法、链式法则和全微分求解三种方法，并通过具体的例子进行了说明.通过对三种方法进行比较，分析和总结了每种方法的优点和缺点并给出了每种题型应采用的方法建议。这不仅对教师的教学具有积极的指导意义，而且还有助于提高学生的学习效果和数学素养，促进学生科学态度的养成和思维能力的提升.

关键词：多元复合函数；偏导数；链式法则；全微分

中图分类号：O151.2  文献标识码：A

多元复合函数求偏导数［1］是多元函数微分学的一个重要知识点，抽象的多元复合函数求偏导数问题更是高等数学中的一个难点.多元复合函数的复合结构包含以下三种形式：（1）外层函数为多元，内层函数为一元；（2）外层函数为一元，内层函数为多元；（3）外层函数和内层函数均为多元.

下面针对不同情况总结多元复合函数求偏导数的方法，并通过具体题目进行说明.

一、代入法求偏导数

所谓“代入法”就是将内层函数表达式代入外层函数中得到一个新的函数，然后利用求导法则和求导公式对新的函数进行求导.

例1：设z=uv+cost，u=et，v=sint，求dzdt.

分析：此例中的多元复合函数z属于外层函数多元、内层函数一元的类型.将内层函数代入外层函数中即可将z化为一个以t为自变量的一元函数，然后利用一元函数的乘法和加法求导法则以及求导公式进行计算即可.

解：将u，v代入z可得z=etsint+cost，从而：

dzdt=（et）′sint+et（sint）′+（cost）′

=etsint+etcost-sint.

例2：设z=tanu，u=x2+y2，求zx和zy.

分析：此例中的多元復合函数z属于外层函数是一元、内层函数是多元的类型.将内层函数代入外层函数中即可将z化为一个以x和y为自变量的二元函数，然后利用二元函数的求导法则和求导公式进行计算即可.

解：将u代入z可得z=tan（x2+y2），从而：

zx=sec2（x2+y2）·2x=2xsec2（x2+y2），

zy=sec2（x2+y2）·2y=2ysec2（x2+y2）.

例3：设w=ln（u+v），u=xy，v=yz，求wx，wy和wz.

分析：此例中的多元复合函数w是一个外层函数和内层函数均为多元的类型.将内层函数代入外层函数中即可将w化为一个以x，y，z为自变量的三元函数，然后利用三元函数的求导法则和求导公式进行计算即可.

解：将u，v代入w可得w=ln（xy+yz），从而得到：

wx=1xy+yz·（y+0）=yxy+yz，

wy=1xy+yz·（x+z）=x+zxy+yz，

wz=1xy+yz·（0+y）=yxy+yz.

由以上三个例题可以看出，用代入法求偏导数的解题思路非常直接和明确，是学生最容易接受的一种方法.但是这种方法仅适用于内层函数和外层函数均比较简单且形式具体的多元复合函数类型.对于抽象的多元复合函数和复合结构较为复杂的多元复合函数，一般采用链式法则求其偏导数.

二、链式法则求偏导数

抽象的多元复合函数一般指虽然给出了内层函数对自变量的具体表达式，但没有给出外层函数对中间变量的具体表达式.此类多元复合函数在求偏导数时需搞清楚函数的复合结构关系图并利用链式法则进行计算.多元复合函数求偏导数的链式法则是一元复合函数求导法则的推广与发展，但是由于多元复合函数复合结构的复杂性，使得其求偏导数的链式法则有很多种形式.为了便于记忆和应用这个法则，可以借助树图［2］来理清多元复合函数的复合结构关系，并将链式法则公式简记为“分线相加，连线相乘，单路全导，叉路偏导”.

例4：设z=f（xy，xy，x2-y2），其中f具有一阶连续偏导数，求zx和zy.

分析：此例中的z是一个抽象的多元复合函数，其外层函数是一个三元函数，但是没有具体的表达式，内层函数是有具体表达式的二元函数.

解：设u=xy，v=xy，w=x2-y2，则多元复合函数z各变量之间的关系可以用图1表示.

由链式法则可得：

zx=zu·ux+zv·vx+zw·wx

=f1′·y+f2′·1y+f3′·2x

=yf1′+f2′y+2xf3′，

zy=zu·uy+zv·vy+zw·wy

=f1′·x+f2′·-xy2+f3′·（-2y）

=xf1′-xf2′y2-2yf3′.

例5：设z=f（x2y2，3x，4y），其中f具有一阶连续偏导数，求zx和zy.

分析：此例中的z是一个抽象的多元复合函数，其外层函数是一个没有具体表达式的三元函数，但是内层函数是有具体表达式的二元函数和一元函数.书写时要注意一元函数的求导符号和多元函数偏导符号的区别.

解：设u=x2y2，v=3x，w=4y，则多元复合函数z各变量之间的关系可以用图2表示.

由链式法则可得：

zx=zu·ux+zv·dvdx=f1′·2xy2+f2′·3=2xy2f1′+3f2′，

zy=zu·uy+zw·dwdy=f1′·2x2y+f3′·4=2x2yf1′+4f3′.

在求抽象的多元复合函数的高阶偏导数时，一定要注意到f1′，f2′，f3′是与抽象的多元复合函数f结构相同的多元复合函数，即原自变量仍是自变量，原中间变量仍是中间变量.

例6：设z=f（exy，x+y），其中f具有二阶连续偏导数，求2zx2和2zy2.

分析：此例中的z是一个抽象的多元复合函数，其外层函数和内层函数均为二元函数，需要注意的是exy求偏导数时是复合函数求偏导.

解：设u=exy，v=x+y，则多元复合函数z各变量之间的关系可以用图3表示.

由链式法则可得：

zx=zu·ux+zv·vx=f1′·exy·y+f2′·1=yexyf1′+f2′，

zy=zu·uy+zv·vy=f1′·exy·x+f2′·1=xexyf1′+f2′.

从而二阶导数为：

2zx2=xzx=yexyf1′+f2′x=（yexyf1′）x+f2′x=（yexy）x·f1′+yexy·f1′x+f2′x，

2zy2=yzy=（xexyf1′+f2′）y=（xexyf1′）y+f2′y=（xexy）y·f1′+xexy·f1′y+f2′y.

注意到f1′，f2′是与f结构相同的多元复合函数，故：

f1′x=f1′uux+f1′vvx=f11″·exy·y+f12″·1=yexyf11″+f12″，

f2′x=f1′uux+f1′vvx=f21″·exy·y+f22″·1=yexyf21″+f22″，

f1′y=f1′uuy+f1′vvy=f11″·exy·x+f12″·1=xexyf11″+f12″，

f2′y=f2′uuy+f2′vvy=f21″·exy·x+f22″·1=xexyf21″+f22″.

由于f具有二阶连续偏导数，所以f12″=f21″，从而化简可得：

2zx2=（yexy）x·f1′+yexy·（yexyf11″+f12″）+（yexyf21″+f22″）=y2exyf1′+y2e2xyf11″+2yexyf12″+f22″，

2zy2=（xexy）y·f1′+xexy·（xexyf11″+f12″）+（xexyf21″+f22″）=x2exyf1′+x2e2xyf11″+2xexyf12″+f22″.

链式法则除了在计算抽象的多元复合函数的偏导数上具有优势外，在计算较为复杂的具体形式的多元复合函数时同样具有优势.

例7：设z=（x2+y2）xy，求zx和zy.

分析：此例中的z是一个具体形式的多元复合函数，但其形式是幂指函数的类型，直接计算偏导数较为困难，故可以利用链式法则进行计算.

解：设u=x2+y2，v=xy，則z=uv，从而多元复合函数z各变量之间的关系可以用图4表示.

由链式法则可得：

zx=zu·ux+zv·vx=v·uv-1·2x+uvlnu·y=（x2+y2）xy2x2yx2+y2+yln（x2+y2），

zy=zu·uy+zv·vy=v·uv-1·2y+uvlnu·x=（x2+y2）xy2xy2x2+y2+xln（x2+y2）.

综上所述，当多元复合函数的复合结构较为复杂或者复合结构中含有抽象函数时，利用链式法则求其偏导数较前面的代入法具有明显的优越性。值得注意的是，在利用链式法则求偏导数时一定要首先分析其复合结构并作出其结构图，再利用公式进行计算，否则可能会导致解题困难或计算错误.

三、全微分求偏导数

除了代入法和链式法则，微分叠加原理［1，3］也为多元复合函数求偏导数的问题提供了一种有效的处理方法.微分叠加原理是指多元函数的全微分等于它的偏微分之和.例如，二元函数z=f（x，y）和三元函数u=f（x，y，z）的全微分为：dz=zxdx+zydy，du=uxdx+uydy+uzdz.

由此可以看出，只要求出多元函数的全微分，就可以得到它的偏导数.需要指出的是利用微分叠加原理计算偏导数这一方法需要一个必不可少的工具——全微分形式不变性［1］.

为了便于对比，下面利用全微分计算前面的例3和例4.

例3：设w=ln（u+v），u=xy，v=yz，求wx，wy和wz.

解：利用全微分形式不变性可得：

dw=dln（u+v）=1u+vd（u+v）=du+dvu+v=d（xy）+d（yz）xy+yz=ydx+xdy+zdy+ydzxy+yz=yxy+yzdx+x+zxy+yzdy+yxy+yzdz.

从而由微分叠加原理知：

wx=yxy+yz，wy=x+zxy+yz，wz=yxy+yz.

例4：设z=f（xy，xy，x2-y2），其中f具有一阶连续偏导数，求zx和zy.

解：利用全微分形式不变性可得：

dz=df（xy，xy，x2-y2）

=f1′d（xy）+f2′d（xy）+f3′d（x2-y2）

=f1′（ydx+xdy）+f2′ydx-xdyy2+f3′（2xdx-2ydy）

=（yf1′+f2′y+2xf3′）dx+（xf1′-xf2′y2-2yf3′）dy.

从而由微分叠加原理知：

zx=yf1′+f2′y+2xf3′，zy=xf1′-xf2′y2-2yf3′.

由以上两个例题可以看出，利用全微分求偏导数可以同时求出多元复合函数的全部偏导数，这是其他两种方法所不具备的优势.

结语

通过前面具体的例子可以看出，求多元复合函数偏导数的代入法、链式法则和全微分三种方法各有千秋.对于复合结构简单且形式具体的多元复合函数，代入法求偏导数最为简洁，而抽象的多元复合函数最有效的求偏导数手段是链式法则.如果多元复合函数的自变量个数较多且复合结构较为复杂，那么利用全微分求其偏导数就会有明显的优势.此外，还可以利用对称性简化多元复合函数求偏导数的计算步骤，如前面的例2、例6和例7中给出的函数都具有对称性.在求此类函数的偏导数时，只需求出函数关于某个变量的偏导数，而后便可利用函数形式的对称性直接写出函数关于其他变量的偏导数.

綜上所述，在多元复合函数求偏导数这一教学过程中，教师应精心设计教学内容，在保障学生掌握具有广泛迁移价值的理论知识和解题方法的同时，进一步引导学生进行深层次的思考，从而才能使得数学的“教”更具亲和力，数学的“学”更有温度.

参考文献：

［1］同济大学数学系.高等数学（下册）第七版［M］.北京：高等教育出版社，2014：7884.

［2］高大鹏，冯世强，冯小高，等.求多元复合函数偏导数的树型法则［J］.高等数学研究，2014，17（04）：9495.

［3］王红军，杨有龙.微分叠加原理在多元复合函数求导中的应用［J］.大学数学，2015，31（06）：8082.

作者简介：冯媛（1976— ），女，汉族，湖南澧县人，硕士研究生，讲师，研究方向：应用数学、数学教学方法。