微元法证明均匀球壳对壳内质点的万有引力为零

摘 要：万有引力普遍存在，但万有引力公式只适用于质点之间，牛顿证明了球状物体之间的万有引力.高中物理熟知“均匀球壳对壳内质点的万有引力为零”这个结论，但教学中通常忽视对它的严格证明，仅仅用微积分的思想作定性说明，缺乏严谨的科学论证.微元法是从微积分降解出来的初等方法，利用微元法从不同的视角证明以上结论，揭示出结论背后隐藏的普遍性规律和深层次物理原理，从根本上反映了平方反比规律具有的必然结论，促进学生科学思维的发展.

关键词：高中物理；初等方法；微元法；万有引力定律；平方反比规律

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2024）04-0111-03

万有引力定律堪称物理学中普适性的经典楷模，赢得了后世无数科学家的赞赏.万有引力普遍存在于自然界中任何两个物体之间，因此是“万有”的，但万有引力公式F＝GMm/r2只适用于两个质点之间，因为只有两个点之间的距离r才能确定.当实际的物体不能看作质点时，如何求解它们之间的万有引力，这在牛顿时代是个不小的难题，然而，牛顿自己发明了微积分把它解决了.即便如此，微积分方法也只能求解质量分布已知的情况，特别是质量分布具有某种对称性的情况.后来数学家高斯创立了一个定理——高斯定理，可以非常简捷地处理具有一定对称性分布的问题[1].

质量分布均匀的球壳具有球对称性（绕球心任意旋转都是相同的），球壳对壳内外质点的万有引力都可以用微积分或高斯定理求解[2]，而球体是一层层同心球壳的叠加，因此只要解决球壳的问题，那么相关的一系列问题都迎刃而解.其中有一个很重要的结论：均匀球壳对壳内质点的万有引力为零.这个结论还可以借助空间“立体角”的概念进行证明，但这些方法都属于高等数学.高中物理通常把这个结论不加证明地告诉学生，尽管不碍于问题的解决，却难免有“强行灌输”之嫌，终究给学生留下“知其然而不知其所以然”的疑惑和缺憾，这不利于学生思维能力的发展.

虽然高中阶段对微积分不作要求，但由它派生出来的微元法属于初等方法，并且非常巧妙地实现了降解.微元法是高中物理处理问题的重要方法，基本思路是“先无限分割，再累积求和”，即先把物体分割成足够小的质量微元，求出它们之间的万有引力，再求力的矢量和就可得到物体之间的万有引力.本文利用微元法从两种不同的视角，证明均匀球壳对壳内质点的万有引力为零.

1 用微元法处理的基本思路

当物体不能看作质点时，物体之间的万有引力如何计算？基本思路是将物体进行分割，当分割得足够細时，每一部分都可以看作质点[3].如图1所示，首先把A、B两个物体分割成很多小块，每一小块的体积都很小，可以看作质量为Δm的质点，A、B物体上任意两个质点间的万有引力为

然后求出B物体上所有质点对Δmai的万有引力，将这些力进行矢量求和，得到B对A上任意质点Δmai的万有引力为

3 结束语

从证明的过程来看，之所以分割的每一对质量微元对球壳内任意质点的万有引力为零，是因为万有引力具有一个很明显的特点，那就是它与距离的平方成反比.换句话说，“均匀球壳对壳内质点的万有引力为零”这个结论并非偶然，而是平方反比规律的必然结果.既然如此，由于库仑定律同样遵循平方反比规律，那么本文的证明方法和结论也同样适用于库仑力，即“电荷分布均匀的球壳对壳内任意位置点电荷的库仑力为零”.只不过带电体产生的静电场容易与物质发生相互作用，引起明显的静电感应现象或电介质极化现象，导致电荷的分布难以保证具有球对称性.

参考文献：［1］ 赵凯华，罗蔚茵.新概念物理教程·力学［M］.第2版.北京：高等教育出版社，2004：338.

［2］ 叶玉琴.为什么质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零：2012年高考全国新课标卷第21题［J］.中学物理，2013，31（04）：73-74.

［3］ 秦建云.高中物理原理与方法·力学［M］.北京：人民教育出版社，2012：194.

［4］ 程稼夫.中学奥林匹克竞赛物理教程·力学篇［M］.第2版.合肥：中国科学技术大学出版社，2013：302-303.

［5］ 周建丽，陈钢.“均匀球壳对壳内物体引力为0”证明问题的探讨［J］.物理教师，2013，34（09）：60-61.

［责任编辑：李 璟］

收稿日期：2023-11-05

作者简介：段石峰（1992-），男，湖南省常宁人，本科，中学二级教师，从事高中物理教学研究.