数形结合思想在初中数学课堂教学中的渗透

尹金凤

（山东省东营市胜利第一初级中学，山东东营 257000）

数学是一门抽象而又实用的学科，对于初中阶段的学生来说，数学学习是他们学习生涯中的重要组成部分。然而，对于一些学生来说，数学学习可能是一个难以逾越的障碍。为了帮助学生更好地理解和掌握初中数学知识，教师需不断探索新的教学方法和技巧。其中，数形结合思想被认为是一种非常有效的教学方法［1］。数形结合思想将数学和几何图形相结合，通过绘制图形和应用数学公式的方法，帮助学生更加直观地理解和掌握数学知识。文章以山东教育出版社的五四年制初中数学课本为例，来体现数学教学中的数形结合思想。

一、数形结合思想的定义和基本原理

初中数学的一个重要思想方法是“数形结合”，它基于数与形之间的一一对应关系，将抽象的数学语言和数量关系与直观的几何图形和位置关系相结合。通过“以形助数”或“以数解形”的方式，将抽象的问题转化为具体的形象问题，使复杂问题变得简单化，并优化解题的途径。这种思想方法融合了抽象思维和形象思维，深化学生对数学知识的理解和掌握，使抽象的问题变得更具体、更易于理解。

古代数学家赵爽最先在《周髀算经》的注释中提出了“弦图”，他利用几何图形的截、割、拼、补等方式证明了代数式之间的恒等关系。赵爽独具匠心的“弦图”证明体现了“数形结合”的思想。这种思想方法在华罗庚先生于1964 年1 月所撰写的科普小册子《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》中被正式提出并命名为“数形结合”。现代初中数学教材中，例如完全平方公式、平方差等公式的推导都采用了几何图形验证的方式，这是将代数问题几何化的典型示范。数形结合思想的优点是可以使数学教学更加生动、形象，同时可以提高学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。此外，数形结合思想也有利于激发学生的学习兴趣和培养学生的数学创新精神。

在初中数学教学中，数形结合思想应用广泛，例如在几何学习中，可以通过绘制图形和应用勾股定理、正弦、余弦、正切定理等方法，帮助学生更好地理解直角三角形和三角函数的性质和变化规律。在代数学习中，可以通过绘制函数图像来帮助学生更好地理解函数的性质和变化规律，以及函数之间的关系和作用；在应用题中，可以通过绘制图形来表示问题，然后运用数学知识进行分析和计算，可以更加直观和易于理解［2］。总之，数形结合思想是一种非常有效的教学方法，可以提高学生的数学学习效果和数学思维能力，具有广泛的应用价值和实践意义。

二、数形结合思想在数学教学中的作用

（一）数形结合思想在平行线证明中的作用

在平行线证明中，数形结合思想可以渗透到教学中，帮助学生更好地理解和证明平行线的性质和定理。下面是数形结合思想在平行线证明中的具体作用。

1.图形的性质和关系：通过观察平行线与其他线段的交角关系，引导学生发现其中的数学关系。例如，学生可以观察两条平行线被一条横切线所截产生的对应角，通过观察这些角的特点，引导学生理解同位角、内错角等概念，并运用这些概念进行证明。

2.图形的分类和比较：通过对平行线的性质进行分类和比较，帮助学生发现平行线的共性和差异。例如，学生可以比较平行线的定义和垂直线的定义，引导他们理解平行线的性质，如平行线的斜率相等。

3.可视化和图形表示：通过绘制图形和使用几何工具，帮助学生可视化平行线的性质和证明过程。例如，学生可以利用尺规作图工具来绘制平行线和相关角度，通过观察图形的形状和特征，帮助他们理解平行线的概念和性质，并进行相应的证明。

在平行线证明的教学中，数形结合思想的应用可以帮助学生更加直观地理解平行线的性质和定理，并培养他们的几何直观和推理能力。通过将抽象的数学概念与具体的几何图形相结合，学生可以更加深入地理解平行线的性质，并能够运用数形思想进行证明和解决问题。这种数形结合的教学方法可以增强学生的学习兴趣，提高他们的数学思维能力，并培养他们的证明能力和问题解决能力［3］。

（二）数形结合思想在三角形证明中的作用

在初中数学中，三角形的性质和证明是一个重要的知识点，而数形结合思想则可以在三角形证明中发挥重要作用，帮助学生更好地理解和掌握证明方法和技巧。首先，数形结合思想可以帮助学生理解三角形的性质和特征，从而为三角形证明打下基础。例如，通过画图和推理，可以证明三角形三个内角的和为180°，这个证明过程就可以通过数形结合的方式来呈现。其次，利用数形结合思想可以帮助学生分析和解决三角形证明中的复杂问题。例如，在证明两个三角形相似或全等时，可以通过构造辅助线和利用相似三角形或全等三角形的性质等方式，将证明过程化繁为简。最后，利用数形结合思想还可以帮助学生提高证明思维和创新能力。通过数学建模和实际问题的应用，可以帮助学生更好地理解和运用三角形证明的方法和技巧，提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。

因此，教师在三角形证明教学中应该充分发挥数形结合思想的作用，引导学生通过画图和推理来掌握证明方法和技巧，同时也要注重培养学生的证明思维和创新能力，让学生能够在实际问题中应用所学知识。除了利用数形结合思想证明三角形的性质，数形结合思想还可以在三角形的计算中应用。例如，在计算三角形面积时，可以利用数形结合思想，通过将三角形拆分成更简单的几何图形来求解。具体来说，我们可以将三角形划分成三个小三角形，并用这些小三角形拼凑成一个长方形或平行四边形，然后利用长方形或平行四边形的面积公式来计算三角形的面积。这种方法被称为三角形的“割补法”。

此外，在解决与三角形相关的问题时，也可以通过画图结合计算的方式运用数形结合思想。例如，在解决三角函数相关问题时，可以先画出所涉及的三角形，然后利用三角形的性质和三角函数的定义式进行计算和推导，最终得出答案。

（三）数形结合思想在代数学习中的作用

除了在几何学习中的应用，数形结合思想在代数学习中也有着广泛的应用。在代数学习中，数形结合思想能够帮助学生理解和掌握抽象的代数概念，提高代数思维的能力。

一方面，数形结合思想可以用于解决多项式的因式分解问题。通过将多项式转化为图形形式，可以更加直观地理解多项式的因式分解规律和方法，帮助学生更好地掌握因式分解的技巧和方法。例如，在教学中可以采用“矩形面积法”“三角形面积法”等数形结合思想的方法来解决多项式的因式分解问题。

另一方面，数形结合思想还可以用于解决方程和不等式的问题。通过将方程或不等式转化为图形形式，可以更加清晰地把握方程或不等式的本质和解的性质，从而更加准确地解决问题。例如，在教学中可以利用“平移图形法”“旋转图形法”等数形结合思想的方法来解决方程和不等式的问题。

下面以“矩形面积法”为例，详细叙述如何运用数形结合来解决多项式的因式分解问题。假设有一个多项式y=x2+3x+2，我们希望将其进行因式分解。首先，我们可以将多项式表示为一个矩形的面积，其中矩形的长为x+2，宽为x+1。这个矩形可以被分成两个小矩形和一个正方形。其中，正方形面积为x2，两个矩形面积分别为2x 和x+2。根据这个矩形的面积，我们可以得到一个等式：（x+2）（x+1）=x2+3x+2。这个等式表明，多项式y 可以表示为两个因式的乘积（x+2）（x+1）。这个例子说明了数形结合思想在解决多项式的因式分解问题中的应用。通过将多项式表示为一个矩形的面积，我们可以更加直观地理解因式分解的规律和方法，从而更好地掌握因式分解的技巧和方法。

（四）数形结合思想在应用题中的作用

数形结合思想在应用题中的作用主要体现在将抽象的数学概念与具体的几何图形相结合，帮助学生理解和解决实际问题。

1.图形解析：通过图形解析，将抽象的数学概念转化为具体的几何图形，帮助学生更好地理解和应用数学概念。例如，在计算面积和体积等问题中，通过绘制图形，将复杂的数学问题转化为对几何图形的分析，能使学生更好地理解和解决问题［4］。

2.数据可视化：通过将数据可视化为图形，帮助学生更好地理解数据的含义和关系，并运用数学知识进行分析和预测。例如，在统计分析中，通过绘制图表，将数据可视化为直观的图形，帮助学生分析数据的分布规律和相关性，从而得出正确的结论。

3.几何模型：通过构建几何模型，将抽象的数学概念转化为具体的物理实体，帮助学生更好地理解和应用数学知识。例如，在运动学中，通过构建几何模型，将物理运动转化为几何运动，使学生能够更好地理解和应用速度、加速度等物理概念。

4.视觉推理：通过视觉推理，将抽象的数学概念转化为几何图形，并通过图形的分析和推理得出正确的答案。例如，在解决几何题目时，学生可以通过对几何图形的分析和推理，推导出正确的结论，并运用数学知识进行计算和证明。

通过数形结合思想的应用，教师能够帮助学生更好地理解和应用数学知识，并提高学生解决问题的能力。数形结合思想不仅能够激发学生的数学兴趣，还能够培养他们的几何直观和推理能力，从而提高他们的学习成绩和数学素养。

三、数形结合思想提升初中数学教学水平

（一）教学进程中合理渗透数形结合思想促进学生学习能力

日常生活中，我们常常会看到各种不同的图形。但要将这些图形与数学问题紧密联系起来，就需要我们有意识地培养学生的数形结合思维能力，尽可能地在解题过程中使用图形来说明问题。我们可以利用学生在日常生活中对图形的经验来引导他们将座位视为坐标、将经过路线视为直线等，从而更好地接受这种解题思维模式。此外，我们还应该有针对性地引导学生认真留意生活中出现的各种图形知识，比如刻度尺中的刻度、绳子上的打结、温度计上的刻度等。通过这些具体的例子，合理运用数形结合思想，能引导学生更好地理解教材知识及其内涵原理。

（二）借助数轴引导学生合理理解数学法则

数轴是数形结合中非常重要的工具，它可以帮助学生更好地理解数学问题，使数学知识和图形形象结合起来。在初中数学教学中，我们可以充分利用数轴来帮助学生理解相反意义概念、绝对值、相反数内涵等概念，掌握有理数大小的比较方式，并深入理解有理数的运算意义法则。在使用数轴进行教学时，我们可以通过引导学生进行有理数分类，理解有理数的正负性质，并掌握其大小关系。通过将a、b、c 三个数对应的点在数轴上进行标注，我们可以快速地判断它们之间的大小关系此外，数轴在初中数学中还有很多其他应用，如利用数轴进行解方程、探究正比例函数与反比例函数的图像特征等。因此，教师应在教学中充分利用数轴这一工具引导学生进行数形结合思维，提高解决数学问题的能力。

四、结语

在初中数学课堂中，数形结合思想应用广泛。通过数形结合思想的应用，不仅能够提高学生对数学的兴趣，更能够帮助他们深入理解数学知识，提高数学思维能力和解决问题的能力。因此，在初中数学教学中，教师应该注重培养学生的数形结合思想，引导他们掌握这种思考方式，并且通过不同的教学方法和实例来加深他们对数形结合思想的理解和应用。