圆中不规则图形面积解法探析

袁徐丰

在几何中，面积是一个重要的概念，用于量化平面图形所占据的空间大小.对于规则图形，我们可以简单地使用相应的公式计算出其面积，例如长方形的面积等于长度乘宽度，三角形的面积等于底边乘高除以2.然而，当面对不规则图形时，这些简单的公式就无法直接适用.不规则图形指没有明确规则形状的图形，如弯曲的边界线、多边形的组合等.这些图形的面积无法通过简单的公式计算得出，面积的计算变得更为复杂和困难，需要采用特定的方法和技巧来解决.

对于有固定公式的规则图形的面积，例如扇形，圆等，可以直接应用公式求解.

引例  如图1所示，在一个半径为2的圆形纸片中，剪一个圆心角为90°的最大扇形（阴影部分），则这个扇形的面积为；若将此扇形围成一个无底的圆锥（不计接头），则圆锥的底面半径为.

解：如图2所示，连接BC.

由∠BAC＝90°，得BC为⊙O的直径.

所以BC＝22.

在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB＝AC＝2，所以

S扇形ABC＝90π×4360＝π.

弧BPC的长为90π×2180＝π.

设圆锥底面半径为r，则2πr＝π，解得r＝12.

总结：在该题中，扇形是规则图形，其面积有具体的公式可以应用，所以该题可以直接利用公式求解.先通过勾股定理求得扇形的半径，然后根据扇形的面积公式，即可求出阴影部分面积.

下面将介绍几种方法，用于解决圆中不规则图形面积问题.

1 和差法

和差法是一种用于计算不规则图形面积的常用方法.如果一个图形可以分解为若干个简单的图形，如矩形、三角形或者扇形等，那么该图形的面积可以通过计算这些简单图形的面积的和或差来得到.和差法可以分为直接和差法和间接和差法.对于图形构成比较简单的，可以直接应用和差法进行分析求解.对于较为复杂的图形，需要借助辅助线，将复杂图形变为几个简单图形的组合，然后才能运用和差法进行运算.

1.1 直接和差法

不需要借助辅助线，直接利用简单图形进行面积计算.

例1  如图3，点A，B，C在⊙O上，OB=4，∠C=45°，则图中阴影部分的面积是．（结果保留π）

解：由∠C=45°，根据圆周角定理，可得∠AOB=90°.

所以S阴影=S扇形AOB－S△AOB=90×π×42360－12×4×4=4π－8.

总结：对图形进行分析，可以看出该不规则图形可以通过扇形的面积与三角形的面积相减得到，故直接运用和差法S阴影=S扇形AOB－S△AOB进行计算.

1.2 间接和差法

该方法需借助辅助线，对图形进行分析.

例2  如图4，已知⊙O的半径是4，点A，B，C在⊙O上，若四边形OABC为菱形，则图中阴影部分的面积为（  ）.

A.83π－83

B.163π－83

C.163π－43

D.83π－43

解：如图5所示，连接OB和AC，交于点D.

∵圆的半径为4，

∴OB=OA=OC=4.

又四边形OABC是菱形，

∴OB⊥AC，OD=12OB=2.

在Rt△COD中，利用勾股定理，可知CD=42－22=23.

∴AC=2CD=43.

∵sin∠COD=CDOC=32，

∴∠COD=60°，∠AOC=2∠COD=120°.

∴S扇形OAC=120×π×42360=163π.

∴S菱形ABCO=12OB×AC=12×4×43=83.

记图中阴影部分的面积为S，则S=S扇形AOC-S菱形ABCO=

163π－83.

总结：该题需要借助辅助线求解.如果不作辅助线，并不能应用和差法.思路为连接OB，AC，根据菱形和直角三角形的性质，首先求出AC的长和∠AOC的度数，然后求出扇形AOC的面积及菱形ABCO的面积，最后由S扇形AOC-S菱形ABCO即可求得阴影部分的面积.

例3  如图6，∠AOB=90°，∠B=30°，以点O为圆心，OA为半径作弧交AB于点A和点C，交OB于点D，若OA=3，则阴影部分的面积为.

解：连接OC，如图7所示.

∵OA=OC，∠OAB=∠AOB－∠B=90°－30°=60°，

∴△AOC为等边三角形.

∴∠AOC=60°.

∴阴影部分Ⅰ的面积=S扇形OAC－S△AOC=60360×32×π－12×3×3cos 30°=32π－934.

阴影部分Ⅱ的面积=S△BOC－S扇形OCD=12×33×32－30360×32×π=934－34π.

故阴影部分面积=32π-934+934-3π4=3π4.

总结：该题与例3相比，难度较高.多次应用了和差法.

2 割补法

割补法是改变阴影中某一部分图形的位置，将原有的不规则图形重新组合成一个简单图形.计算方法：S阴影=S组成图形.

例4  如图8所示，在⊙O中，直径AB=2，AC切⊙O于点A，BC交⊙O于点D，若∠C=45°，则阴影部分的面积为.

解：如图9，连接AD.

∵∠C=45°，AC切⊙O于点A，

∴∠BAC=90°，△ABC为等腰直角三角形.

又∠ADB=90°，

∴AD=BD.

∴弓形BD的面积=弓形AD的面积.

∴阴影部分的面积=S△ACD.

∵AB=2，

∴CD=AD=BD=2.

∴S△ACD=12CD×AD=12×2×2=1，即阴影部分的面积是1.

总结：在割补法中，选取面积并找出相等面积是重难点，需要学生在平时的学习中充分掌握基本知识.本题考查的是圆的性质及切线和弓形面积的知识.在该题中，充分利用圆的基础知识，运用圆的性质找出与阴影部分相等面积的一部分是关键.

3 平移法

平移法指不改变图形的大小和形状，通过平移、旋转或对称的方式，解决不规则图形面积问题.

例5  如图10，直径为4 cm的圆O1，平移5 cm到圆O2，则图中阴影部分的面积为（  ）.

A.20 cm2

B.10 cm2

C.25 cm2

D.16 cm2

解：通过平移操作，把⊙O2的半圆向左平移至圆O1位置.则此时不规则的阴影面积变成了一个矩形的面积.因此阴影部分的面积=5×4=20（ cm2）.

总结：图形的旋转、对称和平移，都是常用的图形变换方式.利用平移法，可以将不规则的图形变为规则的图形.

求解圆中不规则图形的面积，我们可以运用和差法、割补法以及平移法.在实际解题过程中，具体选取何种方法要从题目本身出发.学生在平时的学习生活中，要充分掌握数学中的几何知识，并不断培养的转化思維和分析思维，才能提高数学解题能力.