反比例函数图象中的一个基本图形的应用

贾文

1 基本图形与结论展示

如图1，反比例函数y＝kx的图象上有两点A，B，过A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为C，D，那么S△AOB＝S梯形ACDB.

证明：四边形OABD的面积S＝S△AOC＋S梯形ACDB.

从另一角度，四边形OABD的面积S＝S△AOB＋S△BOD，而S△AOC＝S△BOD，所以S△AOB＝S梯形ACDB.

2 运用结论，简洁明快

2.1 与矩形结合，求点的坐标再运用

例1  （巴中中考改编）如图2，在平面直角坐标系中，已知四边形DOBC是矩形，且D（0，4），B（6，0），且反比例函数y＝k1x（x＞0）的图象过线段OC的中点A，交DC于点E，交BC于点F，设直线EF的解析式为y＝k2x＋b，求△OEF的面积.

分析：先求出点A的坐标，再求出反比例函数的解析式，那么，点E，F的坐标均可求出，问题便迎刃而解.

解：由D（0，4），B（6，0），知点C的坐标为（6，4）.如图3，过点A作AH⊥OB于点H.

易知△OAH∽△OCB，那么AHCB=OHOB=OAOC=12.

而CB＝4，OB＝6，易求得AH＝2，OH＝3，因此A（3，2）.

所以k1＝xy＝3×2＝6，则反比函数解析式为y＝6x.

又xF＝6，那么yF＝1，因此F（6，1）.

同理，得E32，4.

由本文的基本结论，得S△OEF＝12（BF＋yE）＼5（OB－DE）＝12（1＋4）6－32＝454.

点评：解决本题的关键在于如何求出点A的坐标，本例运用几何法作平行线并利用三角形相似求出.如果直接用中点公式求点A坐标，则解法更简捷，但初中课本未明确给出，部分学生对中点公式比较陌生.

2.2 与平行四边形联姻，构造相似运用

例2  （重庆中考模拟）如图4，四边形OABC是平行四边形，点A在x轴的正半轴上，反比例函数y＝kx在第一象限内的图象经过点C，与AB交于点D，若D为BA中点，且△COD的面积为6，则k的值为.

分析：平行四边形的对边相等且平行，利用C，D两点都在反比例函数的图象上，从点C，D作x轴的垂线，会产生相似三角形，并且可用含有k的式子表示其坐标，再利用本文的基本图形解决.

解：如图5，从点C，D分别作x轴的垂线，垂足分别为E，F.

因为OC∥DA，所以∠COE＝∠DAF，∠CEO＝∠DFA.

所以△OCE∽△ADF，那么OEAF=CEDF=OCAD=2.

设点C的坐标为a，ka，则DF＝12CE＝k2a，所以点D的坐标为2a，k2a.

由本文基本结论，知S△OCD＝S梯形CEFD＝12（DF＋CE）·EF＝12k2a＋ka·（2a－a）＝6，解得k＝8.

点评：本题运用平行四边形和中点的条件构造直角三角形相似，用含有参数的式子表示C，D两点的坐标，根据△COD的面积为6，再利用本文的结论，问题得以快速解决.

2.3 与几何最值相联

例3  （山东临沂）如图6，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝kx（x＞0）的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N两点，△OMN的面积为10，若动点P在x轴上，则PM＋PN的最小值是（  ）.

A.62

B.10

C.226

D.229

分析：观察题目的图形，可利用本文的基本结论和已知条件，求出M，N两点的坐标，那么就转化为“两定一动”型问题，根据“将军饮马”图形作其中一个定点的对称点，转化为“两点之间，线段最短”来解决.

解：由正方形边长是6，知点N的纵坐标是6，点M的横坐标是6.又y＝kx，所以Nk6，6，M6，k6.如图7所示，过点N作NH⊥OA于点H.

由本文的基本结论，知S△OMN＝S梯形NHAM＝12k6＋66－k6＝10，解得k＝24（负值舍去）.

所以N（4，6），M（6，4）.

作点M关于x轴的对称点E，连接NE交x轴于点P，由对称性知PM＝PE，则NP＋MP＝NP＋PE＝NE.

由“两点之间，线段最短”，知NE的长即是PM＋PN的最小值.

由AE＝AM＝4，得BE＝BA+AE=10.又NB=2.

所以，在Rt△NBE中，NE＝NB2+BE2＝22+102＝226.故选：C.

点评：本题的图形与“基本结论”中的图形高度吻合，因此运用基本结论会得心应手.当然，本题的另一解法是分割法，由△OMN的面积等于正方形OCBA的面积减去3个直角三角形（△OCN，△NBM，△OMA）的面积之差，再综合运用其他条件和所学知识解题.

2.4 与一次函数贯通

例4  （黄石一模）如图8，直线y＝3x，y＝13x与双曲线y＝kx在第一象限内分别交于A，B两点，S△ABO＝8，则k＝（  ）.

A.6

B.8

C.4

D.6.5

分析：根据已知条件，只要能求出点A、点B的坐标，再利用本文的基本图形，则问题获解.

解：由直线y＝3x和y＝13x，设点A（a，3a）.Bb，13b，又点A，B在曲线y＝kx上，

所以a·3a＝b·13b＝k，解得b＝±3a.

又點A，B都在第一象限，那么b＝3a，则B（3a，a）.

如图9，过点A作AC垂直x轴于点C，过点B作BD垂直x轴于点D.由本文的基本结论，可知S梯形ACDB＝S△AOB＝8.

所以12（a＋3a）（3a－a）＝8，解得a2＝2，则

k＝3a2＝6.

故选：A.

点评：本题根据点A、点B在一次函数和反比例函数的图象上的特点，运用k的不变性建立方程，求得点的横纵坐标的关系，再运用本文结论解决问题.

2.5 与全等三角形携手

例5  （孝感改编）如图10，在平面直角坐标系中，OA＝AB，∠OAB＝90°，反比例函数y＝kx（x＞0）的图象经过A，B两点，若点A的坐标为（n，1），则S△OAB＝.

分析：要求△OAB的面积，结合本文基本图形，求出点A、点B的坐标是解题的关键.结合等腰直角三角形的条件，构造“一线三垂直”的全等图形，得出相等的线段，再将点A，B坐标用字母n表示出来，运用反比例函数系数k值的不变性建立方程即可.

解答：略.

在平时的解题基础上，我们要立足题目的解答，深度思考，挖掘出简单图形的丰富内涵，进而借题发挥，通过建立各种图形与知识的联系，起到将综合问题分解、简化的作用.关注核心知识，关注基本图形，加强思维引导，将方法、技能落到实处.