以问题为导向的初中数学深度学习初探

刘杨

摘要：以问题为导向的初中数学教学是促进学生深度学习的一个重要途径，以问题驱动学生主动参与、具身探究，形成高阶思维、创新能力等综合素养，真正体现了学生学习的主体地位.本文中以“电话计费问题”为例，将以问题为导向的教学策略研究与深度学习有机结合，为初中数学教育教学研究打开新格局.

关键词：初中数学；深度学习；问题；思维

2021年，教育部推动“双减”政策全面落地，如何在“减”量的背景下实现“增”质成为现阶段亟需解决的问题.提高课堂教学质量是落实“双减”政策的必由之路，因此促进每一个学生的深度学习是“双减”背景下课堂教学变革的必然方向.以问题为导向的初中数学教学是促进学生深度学习的一个重要途径，以问题驱动学生主动参与、具身探究，形成高阶思维、创新能力等综合素养，真正体现了学生学习的主体地位，所以将以问题为导向的教学策略研究与深度学习相结合，可以为我们打开初中数学教育教学研究的新格局.本文中以人教版七年级上册3.4节的探究3“电话计费问题”为例，探究如何以问题为导向，在学生已经掌握用一元一次方程解决实际问题基本过程的前提下，促进学生深入学习并思考如何分段计费，帮助学生积累基本的数学活动经验，发展其核心素养.

1 明确核心问题是引发学生深度学习的前提

依据新课程标准和教材内容，对教学资源进行整合分析，从学生已有学情出发确定核心问题是深度教学的前提.对于本节教学内容，《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出：能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程；能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性［1］.从教材来看，要求学生能通过分类讨论将电话计费问题转化为一元一次方程（建立模型）、解一元一次方程（解决数学模型）、利用一元一次方程的解比较不同主叫时间的收费情况，设计最优方案（利用模型结论解释实际问题），在探究的过程中，感受建模思想、分类思想，增强应用意识和应用能力.

根据上述分析，将本节课的核心问题确定为：①培养学生分类讨论的意识，能明确分类界点，对不同收费情况进行分析；②发现并利用等量关系建立方程模型，利用模型结论解释实际问题.因此，明确这两个教学核心问题是引发学生深度学习的基础.

2 找准主线问题是深度学习的基本保障

2.1 “五何”理论概述

华东师范大学祝智庭教授基于问题逻辑的分类方法提出了“五何”问题——“由何”“是何”“为何”“如何”和“若何”.“由何”指问题从何而来，即问题产生的情境，数学问题往往源自于现实生活，因此教师可以创设一个情境，从情境中抛出实际问题；“是何”指是什么，起到陳述事实的作用，通过说明、判断和推理等反映事实性问题，让学生得其表意，索其本意;“为何”指学生要弄清楚事物的构成及相互关联、产生的原理或过程等，以便学生对某种观点或者现象进行合理的解释;“如何”指学生回答如何解决一个问题，即运用所学知识解决实际问题;“若何”指若某种事物和情境发生变化，会产生怎样的结果，通过解决此类问题，学生能灵活运用所学知识，并进行思维迁移.“由何”即是数学教学过程中的情境创设部分，“是何”“为何”“如何”“若何”几个层次的梯度问题，将学生思维的深度不断提升.

2.2 七年级学生的学情分析

七年级学生已经掌握了解一元一次方程的基本步骤，在一些比较典型的数学问题中能够运用方程模型解决实际问题，但对于“电话计费问题”这样开放性的综合问题，还缺乏相关经验，容易无所适从或者片面理解.以学生现有的思维水平，在教学时一般可以感知“计费方法”的选择依赖于“主叫方式”的变化，但缺少根据“主叫时间”分类讨论的意识以及有效的分类方法，即使有分类意识的萌芽，也会出现分类不准确的情形；同时，七年级学生对于电话计费这类生活化的问题，更习惯用生活化的原理和语言进行片面的解读，比如“通话费用增多（减少）、方式一（方式二）增长的快（慢）”等，缺乏将实际问题数学化并利用数学原理来解释实际问题的意识.

基于上述理论和七年级学生的已有学情，结合“电话计费问题”这节课的核心问题，笔者设置了从感性体验到理性分析的问题主线：创设问题情境（“由何”）—理解具体“主叫时间”的收费情况，体会“计费方式”与“主叫时间”的关系，并感知分类讨论的必要性以及明确分类的界点（“是何”）—对于不同的“主叫时间”，用含有字母t的式子表示方式一和方式二的收费情况，利用方程的解比较不同主叫时间收费的情况（“为何”）—设计最优的套餐方案（“如何”）—回顾问题解决的方法（“若何”）.

3 细化问题链是激发学生深度学习的途径

3.1 问题链的基本类型及功能

问题链，通常是指教师为了实现一定的教学目标，根据学生已有的知识和经验，针对学习过程中将要产生或可能产生的困惑，将教材知识转化为层次鲜明、环环相扣、具有系统性的一连串教学问题［2］.问题链可以分为引入性问题链、差异性问题链、递进性问题链、探究性问题链、迁移性问题链、弹性化问题链、总结性问题链这七种类型.引入性问题链，一般通过创设情境暗示数学与实际生活密切相关，同时也能激发学生的学习兴趣，培养学生善于发现问题、提出问题的能力；差异性问题链，可以引发学生产生元认知冲突，促进学生对知识的充分理解，让知识横向关联、纵向生长、多元建构；递进式问题链则是通过设计促进学生思维深度和广度逐次递进的问题串，推动学生高阶思维的发展;探究性问题链主要是为培养学生的探索精神和创新能力而设计的具有思考性的问题;迁移性问题链主要是通过设置同质问题，培养学生举一反三的学习能力;而总结性问题链则是通过问题串，促使学生将分散的、孤立的知识整合，形成一个系统化、结构化的网络.问题链的价值体现在学生的整个学习过程中，它代表的不仅是数学知识之间的联系.更是学生思维着力点之间的联系.只有当问题能够促进学生的思维不断产生冲突，并在冲突中逐渐深入的时候，才能有效保障深度学习的发生，才能够彰显出其促进学生深度学习的意义.

3.2 依据主线问题，细化问题链

根据本节课的教学内容和教学环节，教师在创设情境后，为突破本节课的主线问题，将其拆解成一连串具有逻辑性、关联性和层次性的问题链形式，问题链的具体设计如表1所示.

①培养学生分类讨论的意识，能明确分类界点，对不同收费情况进行分析；②发现并利用等量关系建立方程模型，利用模型结论解释实际问题.

由何：

创设问题情境.

问题情境：最近听说电信公司出了许多资费套餐，根据平常的拨打时长情况，老师认为月使用费58元和88元两种套餐较适合我，但具体哪一种对我来讲更划算呢？

引入性问题

是何：

表格中的数据是什么意思？

①月使用费58元，主叫限定时间150 min，是什么意思？主叫超时费0.25元/min又该如何理解？

②如果通话时长为150 min，按方式一该如何收费？

③如果通话时长为100 min呢？400 min呢？递进性问题链

④月使用费88元，它的主叫限定时间和主叫超时费又该如何理解？

⑤如果通话时长为350 min，按方式二该如何收费？100 min呢？400 min呢？

⑥当通话时长为350 min时，如果按方式一该如何收费？同样，当通话时间长为150 min时，按方式二又该如何收费？

迁移性问题链

⑦以上四种不同的主叫时间，观察两种计费结果，你发现了什么？

⑧哪段主叫时间区间你可以优先确定较省钱的方式？

⑨当主叫通话时间超过150 min、不足350 min的时候，哪种收费方式更便宜呢？

⑩例举跑步的例子，开始你领先，后来我领先，那么中间是不是会有某一时刻，让这两个人……

递进性问题链

为何：

设一个月内移动电话主叫时间为t min（t是正整数），当t在不同时间范围内取值时，按方式一和方式二如何计费？

①通话费用主要取决于主叫时间，而主叫时间是一个变量，我们应该如何表示这个主叫时间？

②当t≤150，150＜t＜350，t≥350时，应该如何表示这两种方式的收费情况？请填写表格.

③请你解释表格中每一类费用的计算方法.

递进性

问题链

④你能根据不用主叫时间选择省钱的计费方式吗？

⑤当150＜t＜350时，如何比较哪种计费方式更省钱？

⑥当150＜t＜270，270＜t＜350时，分别选择哪种计费方式更省钱？

⑦当t≥350时，你是怎样判断哪种收费方式更便宜的？

探究性

问题链

如何：

你能根据主叫时间的不同，选择省钱的计费方式吗？

①根据上述分析，请你帮老师设计最优的资费套餐.

②既然主叫时间t≤150与150＜t＜270时，都是方式一便宜，能将它们归纳在一起吗？

总结性问题链

③仿照上面的方法，当270＜t＜350与t≥350时，又该如何选择计费方式？

迁移性问题

④你能把刚才几位同学的想法总结一下吗？

总结性问题

若何：

（课堂小结）如果再碰到类似的问题，你该如何解决？请你谈谈解决本题的经验或基本过程.

①为什么要设主叫时间为t？

②为什么要对整个主叫时间分类讨论？

③如何对主叫时间分类讨论？

④当t不同时，如何计算每一类方式的通话费用？

⑤如何比较两种不同的计费方式？

⑥设计最优方案时，应注意哪些问题？

总结性问题链

如表1所示，在研究数据表示的含义时，设置的是递进问题链，方式一中对“月使用费”“主叫限定时间”以及“主叫超时时间”的解读，从通过设置“主叫时间”为150 min时计算通话费用，到设置“主叫时间”为100 min和400 min时计算通话费用，层层递进，让学生自己去感受和发现其中的不同，初步理解数据表示的意义；接着对方式二也用同样的方式来研究，这属于迁移性问题链，引导学生多维度、全方位感知“计费方式”的选择依赖于“主叫时间”；“以上四种不同的主叫时间，观察两种计费结果，你发现了什么？”第一次引发学生的思维冲突，帮助学生明确了分类讨论的研究方式以及分类界点的确定，同时，使学生的学习从“感性认识”逐步过渡到“理性分析”，也为数学模型的建构搭建了良好的基础.之后，从“主叫时间”的表示方式到不同分类方式时通话费用的表示，再到不同分类标准下省钱计费方式的选择，通过层层递进的设问，再次引发学生的思维冲突，促进学生积极思考，通过分类讨论得到“方程模型”，进而利用方程求解关键数据，让学生意识到方程的重要性和价值，增强学生应用模型的意识和能力.教师因势利导，提出“当150＜t＜350时，如何比较哪种计费方式更省钱？”以及“当150＜t＜270，270＜t＜350时，分别选择哪种计费方式省钱？”等问题，接二连三的追问，再次引起学生的认知冲突，在化解矛盾、解决问题的过程中，将学生的思维引向高潮.“当t≥350时，你是怎样判断哪种收费方式更便宜的？”给学生以更多的探索时间和空间，去思考、去体验、去创造、去成长.在设计省钱方案时，运用总结性问题链和迁移性问题链，引导学生利用数学结论解释实际问题，从而完成数学建模的完整过程，发展了学生归纳总结的思维品质.通过课堂小结部分，设置总结性问题链，深入浅出地对解题程序进行归纳、总结、提炼、升华，帮助学生梳理知识脉络、理清问题处理的思路，体会数学建模的魅力，提高应用数学的意识，让学生以后在处理类似问题时思路更清晰、流畅［3］.

在整节课的学习过程中，精细的问题链，不断地引发学生的思维冲突，促进学生的思维水平向纵深发展，有效地保证了深度学习的发生，彰显出学生深度学习的意义.

4 小结

学生的深度学习并不是加深教學的深度与难度，而是在教师的引导下，学生围绕着具有挑战性

的主题进行学习，通过积极参与、体验成功，获得一定发展.在数学课堂中，学起于思，思源于疑，疑始于问.以问题为导向，从“四基”“四能”“三会”建构教学联络点，明确核心问题，设计主线问题，运用“先行组织者”，通过精细化的问题链给学生适当的课堂“留白”，引导学生主动探究，通过发现问题、分析问题，运用逻辑推理解决问题等，让学生的思维从“低级”走向“高级”，从“被动”走向“主动”，从"浅表"走向"深刻".

总而言之，以问题为导向，不仅能促进学生掌握学科的核心知识和技能，获得学科思想方法，还能帮助学生形成积极的内在学习动机和正确的价值观，使其成为一名既具有独立性、批判性、创造性，又具有合作精神、基础扎实的优秀的学习者［4］.以问题为导向，促进学生的深度学习，让学生的学习更加精彩.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［S］.北京：北京师范大学出版社，2022：56.

［2］钱言午.用问题链促进初中数学深度学习的研究［J］.数学教学通讯，2020（8）：61-62.

［3］黄倩，王光明.数学课堂追问的类型及特征——基于顾沛先生对“电话计费问题”课例的点评［J］.教育科学研究，2015（2）：59-64.

［4］罗滨.深度学习：从内容单元到学习单元［J］.北京教育（普教版），2018（7）：26-27.