基于数学核心素养的“勾股定理”教学实践研究

尚秀清

摘要：学生经历探索和证明勾股定理的过程，发展抽象、几何直观素养；通过归纳、猜想、验证培养逻辑推理能力；通过动手操作画图、拼图等活动培养直观想象能力、创新思维，落实数学核心素养培养.

关键词：数学核心素养；勾股定理；课堂教学

培养初中学生的数学核心素养，就是要培养学生会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界.在义务教育阶段，数学眼光主要表现为抽象能力（数感、量感、符号意识）、几何直观、空间观念和创新意识；数学思维主要表现为运算能力、推理意识或推理能力；数学语言主要表现为数据意识、数据观念、模型观念、应用意识.课堂作为培养学生核心素养的主阵地，为发展学生的核心素养提供可持续的支撑.勾股定理的应用中蕴含着数学抽象、逻辑推理、几何直观素养.

1 勾股定理的应用中所蕴含的数学学科核心素养分析

1.1 从文字描述到符号表达：勾股定理中的数学抽象

史宁中认为，数学基本思想是数学发展所依赖、所依靠的思想，是研究数学学科不可缺少的思想，也是学习数学.理解和掌握数学所应追求和达成的目标.数学发展所依赖的思想本质上包含抽象、推理、模型，其中抽象是基础.把现实生活中的具体情境通过抽象转化成数学问题，经过推理得到数学结论，再经过模型构建数学与其他的关联.

勾股定理描述了直角三角形三边的数量关系，为全等三角形的判定、相似三角形、三角函数等后续相关数学内容的学习奠定了基础.在传统的数学教学中，受到应试机制的影响，教学更多聚焦于勾股定理在解题中的应用，因而忽视了其自身的教育价值，导致学生对勾股定理的理解流于表面，知其然而不知其所以然，没有经历勾股定理的抽象过程.数学抽象的本质在于摒弃一切物理属性而获得数量与数量关系、图形与图形关系的本质属性.在“勾股定理”的教学中，可以通过创设情境，引导学生经历勾股定理的抽象过程.例如，可以给出一些三角形，其中包括锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，然后由学生来发现这些三角形边长的数量关系，确定哪类三角形的边长的数量关系是稳定的，完成文字表述，进而形成符号语言，这本身就是数学抽象的过程.

1.2 从图形关系到数量关系：勾股定理中的几何直观

在研究几何图形的数量关系时，要结合图形直观地去探索和研究，不能凭空思考；反之，几何图形中又蕴含了与其紧密联系的数量关系.勾股定理描述了直角三角形三边的特殊关系，它架起了几何与代数的桥梁，在初中数学课程结构中，贯穿于不同内容不同问题中，把边之间的关系转化为数的关系.华罗庚教授曾指出“数缺形时少直观，形少数时难入微”.数形结合作为一种常见的数学思想方法，是培养学生几何直观、推理能力和应用意识等素养的重要载体.勾股定理是数形结合的经典内容，主题思想是用代数方法解决几何问题.例如，嘉嘉要将一根竹竿带进电梯，电梯的长、宽、高分别是2 m，1 m，3 m，那么嘉嘉放到电梯内的竹竿最大长度是多少呢？要解决这个问题，需要抽象出长方体模型，进而将问题转化为长方体内线段最长的问题.学生通过分类讨论及对图形的观察、比较，探究出电梯斜对角之间的线段最长，探究过程中培养了学生的几何直观素养.

1.3 从经验感知到论证推演：勾股定理中的逻辑推理

数学的主要功能之一就是培养学生的逻辑推理能力.《义务教育数学课程标准（2022年版）》在课程总体目标中做了如下要求：经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理和演绎推理能力.能有条理地、清晰地表述自己的观点.勾股定理的探究过程“创设情境—观察、分析、归纳—获得猜想—操作、验证和证明猜想”是合情推理、演绎推理课堂教学模式.如在探究勾股定理时，先从特殊情况入手，在网格纸上画格点等腰直角三角形，以三边为边向外作正方形，利用面积法探究出等腰直角三角形三边关系，然后继续探究特殊直角三角形三邊关系，最后探究一般直角三角形三边关系，这个过程是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳.

2 数学核心素养在勾股定理应用中的渗透

学生数学学科核心素养的落实，不是指传授具体的数学知识与数学技能，也不是培养一般意义上的数学能力，它基于数学知识技能，又高于具体的数学知识技能，凌驾于数学思想与数学方法之上.下面谈谈数学核心素养在勾股定理应用中的渗透.

2.1 创设数学情境，发展数学抽象素养

教育家陶行知先生提出了“教学生活化”的教育思想，即从学生熟悉的生活情境出发，打破教材，从学教材变为用教材，把社会生活中的有效资源与课本知识融会贯通.教师要充分挖掘生活中的素材，引领学生经历观察、领悟抽象、建立模型过程，进而发展数学抽象与直观想象素养.数学从生活中来，又应用于生活中.如从毕达哥拉斯到朋友家做客发现朋友家地砖铺成的图案，反映了直角三角形三边的某种数量关系.从实际生活引入，通过对一系列等腰直角三角形、一般直角三角形三边数量关系的探究，学生发现这些边的数量关系中有稳定关系，用数形结合思想，发展学生的数学抽象素养.

2.2 学习数学新知，发展几何直观素养

史宁中教授说，数学知识的形成依赖于直观，数学知识的确定依赖于推理.换句话说，数学的结果有时可以依靠“观察”得出并不是经过“推理”得到的.所谓“观察”是一种直觉判断，这种直觉判断是学生经过长期有效的观察和思考形成的一种能力.这种能力被称为直观能力，是人本身先天存在的，不需后天培养，但是良好的直观能力的养成却依赖于经验.直观不是“教”出来的，而是自己“悟”出来的，这就需要经验积累.在证明勾股定理的探究中，学生准备边长分别为a，b的两个正方形纸板，一把剪刀，一把直尺.

如图1，把边长为a，b的两个正方形连在一起，它的面积是a2+b2；另一方面，这个图形分可割成四个全等的直角三角形和一个小正方形.

把图1中的两个三角形移到图1（2）中所示的位置，形成以c为边长的正方形（赵爽弦图）.课堂中，学生动手操作、探究，进而发现直角三角形三边的关系，发展了几何直观素养.

2.3 经历勾股定理的探索和证明，发展逻辑推理素养

苏霍姆林斯基曾经说过，学生动手操作是培养学生推理能力有效途径.我国著名教育家陶行知先生提出了“手脑并用”的理论，他提倡让孩子通过自己的口、眼、手，在亲自感知、观察、操作的过程中习得知识.本研究认为，教师在课堂上组织学生观察、动手操作，启发他们思考，指导他们通过观察与分析、领悟与发现，归纳其中的规律，发展学生逻辑推理能力.活动一：让学生画三个直角边长分别为1，2，3的等腰直角三角形，以三边为边向外作正方形，并观察正方形的面积关系.以直角边为边的正方形面积记作SA，SB，以斜边为边的正方形面积记作SC，则SA+SB=SC.活动二：学生在网格纸上画一个直角边长度分别为3，4的直角三角形，得到SA+SB=SC.活动三：猜想一般直角三角形的三边是否也具有这个特征？在这个教学片断中，师生围绕直角三角形的三边关系问题，经历从特殊直角三角形到一般直角三角形，层层深入，得出直角三角形的三边关系.教师在学生的最近发展区设置问题，启发学生思考，引导他们亲历“猜想-验证-结论”的探究过程，发展合情推理能力，体现了数学是思维的体操；培养学生从特殊到一般的逻辑推理能力，“有情理、合理性地思考”，提高学生发现问题、提出问题、解决问题的能力.这种循序渐进、拾阶而上的过程和方法是数学育人的力量所在，是培养学生的理性思维、发展学生的数学学科核心素养的关键载体［1］.

2.4 深度探究、拓展思维，鼓励学生实践创新

新课程要求培养学生的批判意识、质疑精神和创新能力，更重视学生的自主性、主动探究，使学生能够在学习过程中更好地发现问题、提出问题、分析问题、解决问题.在课堂教学中，教师应依据学习目标，精心创设问题情境，鼓励学生积极思考，引导学生探究、交流，促进学生能力得到提升和发展.

探究活动：学生课前准备4个全等的直角三角形，每个直角三角形的直角边长分别为ɑ，b（ɑ＜b），斜边长为c.试着拼一拼，探究勾股定理的证明.

本环节问题的设置具有开放性，有利于促进学生从多方面、多角度（如图2）进行思考，从而使思维向纵深、宽广的方向发展，培养创新思维.

追问：用两个直角三角形能证明勾股定理吗？

学生的思维大门被打开，通过拆分、平移三角形等得到新的证法，如图3所示.

“知识只有当它靠积极的思维得来，而不是靠记忆得来的时候，才是真正的知识.”在课堂教学中，教师要把琢磨、研究的权利还给学生，給学生充分思考、合作交流的时间.这样利于培养学生的逻辑思维能力，引发学生独立思考，利于培养学生质疑、探究能力，利于学生创新思维及学习主动性的培养.

总体来说，数学核心素养包含数学观察、数学思考及数学表达.数学观察即数学抽象能力、几何直观；数学思考即数学推理能力及数学运算能力；数学表达包含数学模型意识及数据观念.勾股定理的学习，注重了知识的来源及其在现实生活中的应用，学生经历观察思考、动手操作、猜想验证，完成了对勾股定理的探索.学生在探究过程中体验数学推理的方法；重视勾股定理的得出过程，注重数学内在的前后逻辑.学生经历抽象、归纳过程，学会用数学思维认识问题，用数学的眼光去观察，落实了数学抽象、几何直观、逻辑推理素养的培养.从学生的认知规律出发，建立研究问题的思路，引导学生从特殊到一般进行探究，发现规律、验证猜想，进而得出结论.用数学的思维思考现实世界，通过小组或同学间的交流，逐渐学会清晰、准确而有逻辑地表达思想，善于倾听他人见解，内化他人思想，达到同学之间相互学习和共同提高［2］.最后，用数学的语言描述现实世界.

参考文献：

［1］明永学.培养逻辑推理能力 发展数学核心素养［J］.高中数学教与学，2018（12）：6-7.

［2］陈春燕.基于问题设计 落实核心素养［J］.中学数学教学参考，2018（17）：5-7.