找准问题方向 挖掘问题本质

钱云华

1 教学背景

1.1 教学分析

在本课教学前，学生已经学习了用尺规作线段、作角的基本方法，具备一定的操作经验.不过以上基本作图的方法分散于不同的章节，影响知识的系统化建构，使得学生综合运用知识的能力还比较欠缺.另外，因受“讲授式”教学模式的影响，学生作图时大多依赖于模仿，对“为什么这样做”的理解还不够深入.在本节课中，教师从学生已有经验出发，带领学生深度挖掘问题的本质，让学生在掌握尺规作图基本方法的同时，明晰尺规作图的原理，初步建立尺规作图的知识体系，逐渐将感性认识上升至理性认识.

1.2 教学目标

（1）会用尺规作已知角的平分线，并证明作法的正确性；

（2）会用尺规过一点作已知直线的垂线，并证明作法的正确性；

（3）通过比较探索不同作图方法，掌握知识与方法的联系和本质，优化认知结构，培养创新能力.

1.3 教学重难点

理解并掌握作已知角的平分线和过一点作已知直线的垂线的方法及原理，并能证明其正确性.

2 教学设计

2.1 回顾旧知，明晰原理

问题1  回忆利用尺规作角、作线段的过程，回答以下问题：

（1）作图中，直尺和圆规各起到什么作用？

（2）按照以上方法操作，为什么所作的两个角相等呢？

（3）你还能用其他方法作一个角与已知角相等吗？

师生活动：教师预留时间让学生通过动手操作，回顾作一条线段与已知线段相等及一个角与已知角相等的基本步骤，并结合以上操作过程理解尺规作图的本质.对于问题（1），通过分析易于发现用直尺可以作直线、线段、射线，其作图原理为两点确定一条直线；用圆规可以作圆弧，其作图原理为半径相等.通过分析直尺和圆规的功能，为接下来自主探究作图方法奠基.在探索问题（2）时，教师让学生口述作图过程，并展示图1，根据三边相等易证△MON≌△PEQ，从而得到∠E=∠O.充分思考与交流之后，教师引导学生对问题进行归纳总结，从而明晰作一个角等于已知角的基本思路是构造全等三角形，可以通过截取相等線段来实现.

在探索问题（3）时，教师引导学生思考：如何用一副三角板作与已知角相等的角？让学生得出如图2所示的图形，由此得到作与已知角相等的角的又一方法，即通过平行得到角相等的信息，如作DE∥AB，DF∥AC，可得∠D=∠A.

教学说明：教师结合教学内容精心设计问题，通过对知识的再分析帮助学生跳出浅层的认知，让学生不仅知道怎么做，还知道为什么这么做，明晰知识背后的方法和原理，从而为接下来自主探究活动的开展奠定基础.

2.2 自主探究，拓宽思路

问题2  如何作已知角的平分线？

（1）结合已有知识和经验，自主探索作已知角的平分线的方法.

（2）作任意角的平分线，并加以证明.

（3）合作交流，探索其他作已知角的平分线的方法.

师生活动：教学中，教师首先预留时间让学生自主探究，然后进行师生互动交流.结合作线段的原理不难发现，只要用尺规确定一点，即可作出角平分线.在探索过程中，教师引导学生反向思考.如图3，

图3

设OP是∠AOB的角平分线，即∠AOP=∠BOP，结合“作一个角等于已知角”的经验，尝试构造全等三角形.基于此，只要利用圆规截相等的线段OC=OD，然后作线段PC=PD，即可找到点P.可见，结合“作一个角等于已知角”的经验及“作一条线段等于已知线段”的方法，即可作出已知角的平分线.结合探索问题（1）的经验，学生易于理解和掌握作已知角的平分线的方法（如图4）.

同时，通过经历以上自主探究的过程，学生明晰作角平分线的基本思路为构造全等三角形.这样，学生可以轻松地理解“这样作图为什么相等”，使证明变得更加轻松、自然.在探索问题（3）的过程中，教师要充分发挥集体优势，鼓励学生合作探究，以此拓宽学生的视野，帮助学生积累作图经验.在教师的启发与指导下，学生通过合作探究得出了其他三种作图方法.

教学说明：数学学习是一个不断积累、不断发展的过程.教学中，教师不要急于将结果呈现给学生，应预留充足的时间让学生思考与交流，借助已有知识、经验，寻找解决新问题的思路与方法.在探索作已知角的平分线的过程中，教师引导学生利用假设法，逐步分析问题解决所需的条件，发现通过构造全等三角形可以解决问题.对于构造全等三角形，教师并不满足单一方法，而是预留充足的时间让学生思考探索，并交流展示，结合已有的作图经验寻找多种构造方法，以此帮助学生积累丰富的活动经验.同时，通过多角度分析，引导学生摸索解决问题的思路与方法，有利于揭示问题的本质，提升学生的思维品质.教学的目的不是简单地解决问题，而是要引导学生透过问题发现问题的本质，掌握解决问题的方法.在日常教学中，教师要充分发挥其启发者和组织者的作用，通过创设合理的问题情境来激发学生的好奇心和探究欲，引导学生结合已有知识和经验积极尝试，不断开拓，以此成就更多精彩.

2.3 引导思考，归纳创新

问题3  过一点作已知直线的垂线.

（1）在已知直线上任取一点，过该点作已知直线的垂线.

（2）过直线外一点，作已知直线的垂线，并证明其正确性.

（3）尝试运用不同的方法过直线外一点作已知直线的垂线.

师生活动：在探索问题（1）时，教师启发学生将该直线视为一平角，任取一点视为角的顶点，于是问题可以转化为作已知平角的平分线，不过唯一不同的是，角平分线为射线，而垂线为直线.在探索问题（2）时，

过直线外一点作已知直线的平行线，同问题（1）的原理类似，作垂线，也垂直于已知直线.

为了让学生能更加直观、深刻地理解两条直线为什么垂直，教师引导学生在图4的基础上进一步探究，过点C，D作直线l，观察直线l与射线OP的位置关系.结合证明两个三角形全等的经验，易证直线l与射线OP垂直.理清证明思路后，预留时间让学生独立证明，以此深刻理解应用该方法作垂线的正确性.在探索问题（3）时，教师可以引导学生回顾作角、作线段、作垂线的思路，让学生体会数学知识、方法间的联系，领悟问题的本质.学生结合已有经验，给出了两种不同的作图方法.

教学说明：教学中，教师引导学生从特殊情况出发，视直线为一平角，进而将问题转化为作平角的平分线，从而借助已有经验顺利解决问题.接下来，教师引导学生将该思路向一般推广，归纳总结基本方法.在此基础上，教师又引导学生回顾已有的作图方法及相关经验，继续探寻其他作图方案，以此突破原有的思维限制，形成新的解题思路，培养思维的灵活性和变通性.

3 教学思考

在数学教学中，教师应认真研究教材、研究学生，掌握学生的现有水平，进而以学生“最近发展区”为出发点，结合有效的问题为已有认知与新知架桥铺路，让学生通过自主探究与合作交流发现解决问题的有效路径，提高自主学习和合作学习能力.

另外，教师应重视引导学生挖掘问题的本质，让学生获得深层次的理解，以此有效规避简单的模仿与套用，提高数学综合应用能力.在数学教学中，如果仅将学习当作一种技能，学习中势必会出现重复训练，这样很容易固化学生的思维，影响学生自主探究能力和创新能力的提升.因此，教学中要引导学生挖掘问题的本质，抓住解决问题的关键，以此实现知识的融会贯通，提高创新能力.

总之，在数学教学中，教师应预留时间让学生去思考、去操作、去探究，帮助学生厘清问题解决背后的原理与本质，发现解决问题的一般规律与方法，以此提高分析和解决问题的能力.