基于深度学习的“相似变换运动轨迹”课堂设计

顾桂新 赵毓君

项目信息：广州市教学成果培育项目（Guangzhou teaching achievement cultivation project）“指向深度学习知识可视化原理的初中数学混合式教学的研究与实践”，项目编号为2023128470.

摘要：初中数学深度学习的教学设计重点在于通过精心设计问题情境和学习任务，引发学生认知冲突和深度思考.基于深度学习的“相似变换运动轨迹”课堂设计，引领学生经历问题情境、尝试猜想、问题驱动、迁移应用等探究过程，拓展学生的思维深度，培养学生的数学核心素养.

关键词：深度学习；相似变换；运动轨迹

初中数学深度学习是指在教师引领下，学生围绕具有挑战性的数学学习主题，全身心积极参与、体验成功、获得发展的有意义的数学学习过程［1］.本课堂设计以学生为主体，教师进行引导，并采用探究式和问题式相结合的教学方法实施教学.首先通过尝试猜想的学习经验总结归纳出研究相似变换运动轨迹的一般经验，获得研究特殊图形相似变换特征的方法，从知识层面上升到方法层面；然后以小组为单位，探究新的图形相似变换运动轨迹的特征，引导学生在探究过程中，获得研究相似变换运动轨迹的方法，并深入思考面对不同情况应采取的方案.

1 情境设置，以旧引新

学生已经学习了“三角形”“全等三角形”“轴对称”等知识点，如何从这些旧知识出发，使学生想到相似变换运动轨迹呢？

问题1  如图1，在等腰直角三角形ABC中，D为斜边BC上一点，若△ADE是以DE为斜边的等腰直角三角形，求证：BD=CE.

设计意图：通过证明BD=CE，明确“△ABD≌△ACE”，唤醒学生的知识储备.

问题2  在问题1的基础上，添加条件“D为BC上动点”，求证：BD=CE.

设计意图：通过动态改变点D的位置，点D在BC上运动，△ABD与△ACE总是全等，引导学生得到“当点D在线段BC上移动时，BD=CE”.

2 通过尝试，大胆猜想，导出主题

问题3  在等腰直角三角形ABC中，D为斜边BC上动点，若△DAE为等腰直角三角形（∠DAE为90°），当点D在线段BC上移动，如图2，猜一猜：点E的运动轨迹是什么图形？

设计意图：在问题2的基础上引出本节课主题“相似变换的运动轨迹”，同时通过问题2的知识铺垫，引导学生从“特殊到一般”探究规律的方法，通过观察，尝试归纳点E的运动轨迹形状.

在问题3中，学生通过取几个不同D点，画出相应的点E，再结合几何画板的演示（如图3）和问题2的知识储备，猜想：点E的运动轨迹在直线CE上，且长度等于BC，与BC夹角为90°.接下来就需要证明猜想的正确性.

3 问题驱动，突出思维之道

证明点E的运动轨迹在直线CE上，且长度等于BC，与BC夹角为90°，通常从“运动中的相等线段”的基本图形寻找点D运动时，点E如何运动，而证明线段相等可以运用“全等三角形”解决.若没有现成的“全等三角形”，就需要构造，这是初中数学学习的难点.

问題4  为什么点D在线段BC上运动时，点E运动的轨迹是线段呢？

设计意图：由教师先引导学生构造三角形，证明全等三角形，得到BD=CE，从而得到点D在BC运动时，点E在CE上运动.把证明运动轨迹是线段转化为证明两线段相等.

解法：如图4，连接CE，构造△ACE，证明△ABD≌△ACE.

∵∠BAC=∠DAE=90°，

∴∠1+∠3=90°，

∠2+∠3=90°.

∴∠1=∠2.

∵AB=AC，AD=AE，

∴△ABD≌△ACE（SAS）.

∴BD=CE，∠B=∠ACE=45°.

∴当点D在BC上运动时，点E的运动轨迹在直线CE上，且长度等于BC.

∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°.

上述解法是学生通过猜测、尝试，在教师指导下得出的证明方法.启发学生基于旧有经验，突破思维局限，创新研究思路，完成探索推理，概括获得新知.

问题5  如图5，在等边三角形ABC中，D为BC边上动点，若△ADE为等边三角形，当点D在线段BC上移动，点E的运动轨迹是什么图形？

设计意图：通过对特殊图形的改变，对于每一种图形结论的猜想与证明，引导学生善于发现规律，并体会运动变化中不变的规律.

问题5的结论：因为点D在BC边上运动，且△ADE是等边三角形，所以，点E的运动轨迹在直线CE上，且长度等于BC，与BC夹角为120°.解法与问题4类似，只是在证明∠BAD=∠CAE时，用到60°角.

问题6  如图6，AB=AC，点D在BC上运动，AD=AE，∠BAC=∠DAE，当点D在线段BC上移动，点E的运动轨迹是什么图形？

设计意图：通过由特殊图形到一般图形的变换，对于每一种图形结论的猜想与证明，引导学生善于发现规律，并体会运动变化中不变的规律.对问题4、问题5的解决，由浅入深、逐层递增，学生已经有解题思路，但需要深度加工，抽象出等腰三角形相似变换运动轨迹的规律.同时，变式也促进了学生的深度学习.

4 迁移应用，揭示问题本质规律，触类旁通

通过对等腰三角形相似变换运动轨迹的规律探究，得出规律：点D在线段BC上运动，点E的运动轨迹在直线CE上，且长度等于BC，与BC夹角等于等腰三角形底角的两倍（即2∠C）.

问题7  如图7，已知AB=AC，D是AC上一个动点，E，C位于BD两侧，BD=BE，∠BAC=∠DBE=45°，连接AE.当∠CDB=度时，AE最小.

设计意图：在前面知识学习的基础上设置同类型题目进行练习，加以巩固.但是，问题7是在前面知识的基础上又增加新的情境，从一个具有挑战性的问题出发，运用己有的知识和经验，经历研究等腰三角形相似变换运动轨迹的完整过程，将在学习知识的过程中积累的经验提升到一般的方法层面，整体把握研究相似变换运动轨迹的方法.加强相似变换运动轨迹的学习深度.

解法：如图8，因为D是AC上一个动点，△BDE是等腰三角形，构造等腰三角形BCF，BC=BF，所以点E的运动轨迹在直线FE上，且等于AC的长，∠CFE=135°（证明△BCD≌△BFE），则FE⊥AB.根据垂线段最短，当点E在AB上时，AE最小，此时∠DAE=∠DBE=45°，故∠BDC=90°.

5 结语

基于深度学习理念下的探究，需要从中找准适合学习的问题，创设情境，提升探究成效；逐步引导，激活学生的思维.初中数学深度学习的教学设计，重点在于通过精心设计问题情境和学习任务，引发学生认知冲突和深度思考.

本课堂设计，从特殊到一般，给学生创造观察、猜想、探究、逻辑推理等学习机会，引导学生“从图形的特征中抽象出一般规律和结构”，让学生在变式中提升求知欲，凸显学生学习主体地位，克服学习中的思维定势.深挖知识点之间的联系，尽量将知识点进行有机整合，促进学生的深度学习.

参考文献：

［1］

刘晓玫.深度学习：走向核心素养（学科教学指南·初中数学）［M］.北京：教育科学出版社，2019.