关于高阶差等比数列通项公式的证明

戴中林

(西华师范大学 数学与信息学院,四川 南充 637002)

0 引 言

若某正整数列在逐差法下能得到等比数列,则称原数列为高阶差等比数列.这种新型数列多年来在现有的数学教材上一般都很少介绍,研究得到的成果也不多.但近年来关于高阶差等比数列这一新概念上的研究性文章陆续出现在当今数学刊物上.目前主要有以下三个结果.

其一,《数学通报》2004年第6期刊出文章:高阶差等比数列.

该文给出了定义及相关公式:

定义1[1]对于数列{an},a1为首项,dk(k=1,…,r)是数列{an}第k次作差所得数列的首项,若第r次作差所得数列时一个公比为q(q≠1)的等比数列,则称数列为r阶差等比数列.

在定义1下,其通项公式为

(1)

其二,《大学数学》2019年第1期刊出文章:求高阶差等比数列的通项公式及前n项和.

该文给出了另一定义和相关公式:

定义2[2]若一数列的前r阶差数列不是等比数列,而其r+1阶差数列是等比数列,则称该数列为r阶差等比数列.

在定义2下,有下述公式:

定理1设r阶差等比数列的首项为a1,各阶差首项分别为dk(k=1,…,r);等比数列的首项为b,公比为q.则该数列的通项公式为

(2)

其三,《高等数学研究》2019年第4期给出文章:r阶差等比数列的通项公式及前n项和.

该文在定义2下又给出了另一公式:

定理2[3]设r阶差等比数列的首项为a1,各阶差首项分别为dk(k=1,…,r);等比数列的首项为b,公比为q.则该数列的通项公式为

(3)

上述三个通项公式,仅有通项公式(2)已有证明,而其余两个通项公式(1)和(3)均未给与证明,事实上这三个通项公式是完全等价的.完全可以应用公式(2)的结论来证明公式(1)和公式(3)是成立的.

对于与之对应的三个前n项和公式

其证明过程与通项公式的证明方法也是类似的,文中就不再多述..

1 高阶差等比数列通项公式的证明方法

1.1 高阶差等比数列关于阶的定义

一般情况下,对于r阶差等比数列阶数的定义方法,作者是应用逐差法[4]并根据自身公式的需要来定义的,目前来看,其定义方法有两种,即上述文献[1]的定义1与文献[2]的定义2.

若按定义1,该数列为三阶差等比数列;按定义2,该数列应为二阶差等比数列,显然该数列按定义1定义的阶数比按定义2定义的阶数高一阶.

1.2 通项公式(1)的证明方法

为证明通项公式(1)成立,首先应将r阶差等比数列的定义1按照定义2进行统一.即在此定义下该数列应为二阶差等比数列,由于文献[1]的公式(1)采用的是定义1.首先应将定义1下的通项公式(1)改为定义2,并设dr=b,故通项公式(1)可化为

(4)

然后由文献[2]中已有结论,只需证明通项公式(4)与(2)中第三部分和式相等,即证

(5)

证任意r,令q-1=p,q=p+1,代入上式,故

故等式(5)成立,即通项公式(1)成立.

1.3 通项公式(3)的证明

证在上式中,令q-1=p,则q=p+1,代入得

(6)

故只需证明等式(6)两端关于p的各次幂系数相等即可.

下面对等式(6)应用完全归纳法(即第二归纳法)证明.

首先证明k=0,1,2等式(6)成立.

当k=1时,关于p的[(n-r-2)-1]次幂的系数

是相等的.

且有等式

(7)

当k=2时,关于p的[(n-r-2)-2]次幂的系数,即

故两端系数也是相等的.

且有等式

(8)

其次假设k≤t(t=3,…,n-r-2)时(6)式成立,即设p的[(n-r-2)-t]次幂(t=3,…,n-r-1),根据等式(7),(8),…的构成规律,直到最后一项为一次项时,其系数等式

应是成立的.

最后证明k=t+1时等式(6)成立.实际上p的[(n-r-2)-(t+1)]次幂应为(6)式中的常数项,故当p的[(n-r-2)-(t+1)]次幂,即k=t+1时,由上假设其左端常数应为

且p的[(n-r-2)-(t+1)]次幂为常数项,应有

(i)p的次数(n-r-2)-(t+1)=0;

(ii) 由于公式(6)的右端不出现r,可由(i)得r=n-t-3,可将X中的r换掉;

(iii) 注意到由n-t-r-3=0,应有n-t-r-2=1,n-t-r-1=2,…成立,故有

由组合公式[5]

将上式中n换为n-2,k=t+1得等式

故当k=t+1时等式(6)成立

综上所述,等式(6)两端关于p的各次幂k≤t(t=0,1,…,n-r-2)系数都是相等的,故通项公式(3)成立.

2 应用实例

例已知数列 3,7,17,63,295,1463,…;求a8.

解 法1由前知该数列按定义1为三阶差等比数列,且有

r=3,a1=3,d1=4,d2=6,d3=30,q=5.

应用公式(1),

故得

法2按定义2该数列为二阶差等比数列,且有

r=2,a1=3,d1=4,d2=6,b=30,q=5.

应用公式(2),得

法3该数列按定义2为二阶差等比数列,由通项公式(3),

3 结 论

对于高阶差等比数列的三个通项公式,其中两个通项公式目前均未给与证明而直接应用,显然不具备数学应有的严密性.对于《数学通报》上的通项公式(1)的证明,其关键是首先应将其r阶差等比数列的阶数定义统一到《大学数学》的定义2上来,并应用已有的结果,其后续证明就迎刃而解.而对于《高等数学研究》上通项公式(3)的证明,则应用了数学上的完全归纳法,其证明过程具有较高的技巧性,从而给高阶差等比数列的通项公式的严密性划上一个完美的句号.

致谢作者十分感谢相关文献对本文的启发以及审搞专家对本文提出的宝贵意见.