师范院校本科抽象代数课程的创新与实践

樊 恽, 刘宏伟, 周远扬

(华中师范大学 数学与统计学学院,武汉 430079)

0 引 言

抽象代数,又名近世代数,是综合院校、师范院校数学系的专业基础课程,也是电子类、信息类、量子类等专业的选修课程.较多的院校使用的是近世代数这个名称;下文中则都称抽象代数,不再予以说明.

抽象代数的主要思想来源至少有三个方面,这三个方面都是十九世纪数学的重大进展.

十九世纪初伽罗瓦(Galois)对一元多项式方程的根式求解的研究,直至后来群论、域论逐步成形;从线性函数和线性方程组开始的线性代数的形成和发展,直至后来的群与代数的线性表示;费尔玛大定理的研究过程中形成的代数思想(费尔玛大定理的研究的一部分发展为代数数论,其中的代数思想是抽象代数的重要来源).

上述三个方面都有深厚的思想历程,与现代数学的很多重要发展息息相关.这些进程表明,从十九世纪初就开始了抽象代数课程的孕育.然而抽象代数目前的这种思想框架和理论框架是直至十九世纪末才形成,当时的德国哥廷根学派对框架的形成起了关键作用.二十世纪二十年代末哥廷根学派的范德瓦尔登把这些理论写成了书.该书在1930年第一版时书名为《近世代数学》(Modern Algebra),以示有别于直至十八世纪代数主要以研究多项式运算和代数方程求解的状况.该书展示了代数的全新面貌,在当时引起强烈震撼,推动了抽象代数的传播.可以说,范德瓦尔登的书的出版是抽象代数作为一个数学分支被广泛接受的里程碑事件之一.尽管抽象代数后来的发展十分迅猛,作为现代数学的一个重要分支的代数学的一些基本面貌在这部书中已经被勾画出来,作为现在抽象代数课程的基本内容的群、环、域、模等代数系统在那里也已经成形.该书再版了多次.在1955年第四版时,范德瓦尔登把书名改为《代数学》(Algebra),并在前言中说明了为什么在“代数学”前冠以“近世”(“Modern”)不再合适.请参看文献[1-2],特别是其中段学复先生写的该书的中译本序言.

这全新的代数学在数学中具有基本重要性,在二十世纪它逐步成为大学数学专业的专业基础课程.如同范德瓦尔登的名著的书名的经历一样,这个课程在开始时一般被命名为“近世代数”,以示有别于中等教育中的“代数”课程(中学代数课程反映的确实是十九世纪以前的内容).但是,作为大学本科课程,这个课程的基本内容其实并不“近世”.替代名称有两个.一个是如同范德瓦尔登的名著的书名,把这个课程仍命名为“代数”.另一个,从上述的代数思想渊源就可看出,这个课程的内容比十八世纪及以前的代数确实更抽象,它与本科其他课程内容相比也显得更抽象,所以将之命名为“抽象代数”.

二十世纪中叶以来,抽象代数在物理、化学以及在信息类各学科等领域得到广泛应用,因此抽象代数被列为很多专业的选修课程.

目前已有很多抽象代数课程的相关教学研究,现有研究大部分集中在重点综合性大学、地方师范大学和少数工科院校抽象代数的教学研究,且研究主要从单个侧面、单个知识点出发来探讨如何在课堂中展开教学及提升学生的数学素质等.如文献[3]讨论了在重点综合性大学数学系通过本课程如何培养学生的数学能力和数学素质,文献[4]介绍了本课程教学参考书的改革情况等.笔者学校数学学科是培养未来中学数学卓越教师的重要支撑,现有文献中关于在和笔者学校同层次的师范大学中开展抽象代数的教学研究的工作并不多.本文作者长期从事师范院校数学系抽象代数及代数相关课程的教学和教学研究,掌握了师范院校本科抽象代数课程的若干特点,在本课程的教学中体会到,学生在大学期间掌握中学数学普遍关心,但在中学数学无法一般性地予以解决的重要问题,从而帮助他们在高观点下认识到本门课程与中学数学的天然联系具有重要的意义.本文主要从整体上来介绍我们在课程体系、教材建设和课程资源及课程教学等方面所做的尝试和一些创新性做法,形成以抽象代数课程为核心,以大学数学代数系列课程为整体的课程体系,从而达到培养学生的代数结构化思维能力和从高观点下审视中学数学内容的目的.

1 抽象代数与中学数学及笔者学校教学现状

1.1 抽象代数与中学数学的联系

十九世纪发展起来的代数,根源于十九世纪以前的代数和其他数学,而中学数学内容基本上是十九世纪以前的数学内容,因此大学本科抽象代数内容与中学数学有很自然的密切联系.从这个意义上来说,抽象代数课程对师范院校数学专业应该特别具有亲和力,它包含了中学数学关心的内容,但无法一 般性地予以解决的许多课题和问题.

(i) 数系发展.数系发展是中小学数学的主线索之一,从自然数到整数,从整数到有理数(分数),从有理数到实数(无理数),从实数到复数(虚数).不过,这些发展在中小学数学中多少是从感性直观的角度予以描述.然而在一个适当安排的本科抽象代数课程中,这整个发展过程几乎都可以从数学理性的角度予以阐述.而且从历史来说,数系发展的终点其实是四元数系和弗洛宾纽斯定理,尽管它在后续数学中地位不很重要,作为数学师范生仍有了解的必要,而在本科抽象代数课程中是有可能予以表述的.应该说,上面的陈述中,实数理论是一个例外,因为它也是数学分析课程的重要内容,所以目前的很多抽象代数课程教材中并没有谈到它.

(ii) 多项式与分式运算.这无疑是中学代数课程的基本内容之一,然而在中学数学中哪怕一些最基本的东西也无法解决.例如:

介绍因式分解但无法讲述因式分解定理、不可约多项式的概念和判定等;

介绍分母有理化但只谈二次根式分母有理化,无法讲述一般根式分母有理化;

介绍对称多项式,偶尔涉及到对称多项式基本定理,但无法介绍清楚.

(iii) 代数方程求解.这无疑是中学代数课程的主要内容之一.但在中学数学中,只有一元二次方程的问题是完全介绍清楚了的;其他的很多问题,偶尔涉及但只能是一般介绍而已.例如:

线性方程组问题,直到大学线性代数课程才解决好;如引言中提到的,抽象代数与线性代数密切相关.

一元多项式的根的一系列性质,如:根与系数的关系(中学数学只讲了二次的情形)、余式定理等.

代数基本定理,当然具有基本重要性,因为它确立了一元多项式的根的存在性.中学数学只是承认它应用它,但无法证明.在一个适当安排的本科抽象代数课程中可予以逻辑证明.

一元多项式方程求解,问题属于抽象代数课程范畴,不过在大学本科抽象代数课程中也无法解决,因为本科抽象代数的基本学时,无法安排伽罗瓦理论.

(iv) 平面几何作图.这是平面几何(欧氏几何)的基本内容之一,也可以说是比较能培养学生创新性思维的内容之一.中学数学教师甚至一些学生多少知道三大几何作图难题,但中学数学无法解决它们,以致有极少数中学数学教师甚至不知道它们是一般不可作的.如同上面提到的代数基本定理,在一个适当安排的本科抽象代数课程中可彻底解决直尺圆规作图的可作性判别和实施问题.

整数带余除法、剩余类等问题,既可作为群、环的基本例子,也是抽象代数思想的重要来源启示;反过来若干经典数论问题可由抽象代数知识给出简单解答,如费尔玛小定理、欧拉函数的性质等.

算术基本定理.从这个命名就知道它是初等数论的基础定理,它所论述的东西常常出现在中小学数学资料中;这些资料通过上述的各种渠道进入老师和学生视野,但这些东西基本上是以默认的形式出现.在本科抽象代数课程中,算术基本定理则是因式分解定理的特例.

中国剩余定理.最初的中国剩余定理是数论形式的,但最一般的中国剩余定理则是代数形式的,并且可能安排在本科抽象代数课程之中.

1.2 抽象代数教学状况

本文作者长期承担本科抽象代数教学,采用过的教学参考书有张禾瑞先生编写的《近世代数基础》、刘绍学先生的《近世代数基础》和本校自编的教学参考书《抽象代数》等,一般按照教学参考书章节顺序讲授.张禾瑞先生编写的《近世代数基础》(见文献[5-6])有很多优点,选材比较经典,逻辑性强,使用起来比较容易上手.多年实践下来,发现一个学期的课时讲授不完抽象代数课程教学大纲规定的基本内容(尽管那本书很薄),一般只能介绍域论的概念、例子、次数公式.刘绍学先生的《近世代数基础》(见文献[7])内容上比张禾瑞先生的《近世代数基础》多一些,编排和讲述风格上则灵活多样一些,阐述了一些思想上的来龙去脉.正因为内容更多了,所以一个学期依旧讲不完教学大纲规定的内容.为了解决讲不完的问题,樊恽和刘宏伟根据师范院校的特点,自编了教学参考书《抽象代数》.当初采用该教学参考书时,抽象代数教学计划课时数是72学时,可以讲授完代数基本定理.后来抽象代数课时数缩减到64学时,考虑到师范院校本课程与中学数学的天然联系,课程教学大纲的主要内容并没有减少,此时就只能讲授到单扩张.然而,如何安排好课堂内容讲授和习题课还是颇费思量,讲授完预定教学内容显得很匆忙.

从学生的层面看,他们普遍觉得抽象代数太抽象,不知道它说的是什么东西.数学系本科学生学习了一学期的抽象代数,通过了期末考试,然而经过一个假期再回到学校时,对抽象代数课程的印象基本上就只剩下群、环、域几个名词了.另一个可以反映本科生抽象代数学习状况的侧面是数学系入学硕士研究生的有关知识结构.现在各个学校数学硕士研究生的培养方案一般也把抽象代数设为公共基础课(这同样说明了抽象代数在数学中的基础作用).作者们也多次承担过数学研究生的这个公共基础课程,使用的是自编的讲义.作者感受到的基本状况是,由于数学专业研究生入学考试的统考科目中不再包含抽象代数,大多数学生在本科学完抽象代数后基本不再投入时间和精力巩固该课程的学习,导致入学研究生中相当一部分同学关于抽象代数的知识仍接近于零,也就是除了几个名词(群、环、域、同态等)外实质内容几乎忘光;这使得硕士阶段的抽象代数的学习也不得不从复习群、环、域等概念开始.作者们在华中师范大学讲授这门硕士研究生公共基础课时,最后达到的内容比近年来华中师范大学数学系本科抽象代数内容多约三分之一.作者们招收的专攻代数的硕士研究生入学时关于抽象代数的知识状况也好不了多少,抽象代数方面的知识和素养几乎还是得从头开始培养.

2 抽象代数课程特点及课程材料选取

为什么大多数综合性和师范院校本科抽象代数课程的基本教学内容一个学期很难上完?虽然抽象代数与十九世纪以前的代数以及与数学其他领域有广泛的深刻的联系,从而与中学数学应该有天然的亲和力,但是为什么一般学生很难感受到这种亲和力和很难对课程形成印象?作者们思考了产生这两个现象的原因,认为原因主要是两个方面.一方面是抽象代数具有背景深厚、风格全新的特点,另一方面则涉及课程设置和内容选取.

2.1 抽象代数课程特点

如前所述,抽象代数的原始背景是研究十九世纪以前的代数以及数学其他领域的重大问题,如一元多项式方程的根式解问题、线性方程组问题、费尔玛大定理等等,但是这些真正的背景却不可能对初学者讲清楚.尽管二年级本科生已在线性代数课程中学过了线性方程组问题,但是在抽象代数中,在以线性代数为背景的内容来临之前,要走过很长一段路,以致这段路还没走完一学期已经结束了.换言之,抽象代数的真正的“来龙”无法在“入门”的教材中作为启蒙思想.对若干精彩的“来龙”,顶多只能作为历史标签予以故事性的简单注释.这与数学分析的情况不一样,微分、积分本来就是从研究速度、加速度、路程、几何体体积等等问题萌芽的,而这些背景材料完全是微积分的初学者可以理解的.

关于抽象代数的“去脉”.它是现代数学的基本工具,在数学中的应用很多,但这些是后续课程内容(而且是一段时间以后的后续课程),不可能成为抽象代数“入门”教材的内容.抽象代数在其他科学技术中有着广泛应用,如可应用于量子物理、化学、现代信息类等各种科学技术中,其中能为二年级大学生所接受的大概要数密码、编码了.确实有一些抽象代数教材在这方面做出了宝贵的努力.但实际情况是,在一个64课时的“入门”性质的抽象代数课程中,把对密码或编码的应用作为实际教学内容几乎不可能.

因为抽象代数真正的深厚背景不可能对初学者讲清楚,初学者容易觉得它来无影去无踪.纯形式定义和纯逻辑推演难以给初学者留下印象.

抽象代数从十九世纪初开始经过了长时期的孕育,至十九世纪末才形成了思想框架和理论框架.与十九世纪以前的数学相比,它形成的数学观念是全新的,它的思想方法有脱胎换骨的变化.例如,当时的大数学家柯西在初读伽罗瓦的手稿时,尚且颇费周折地理解伽罗瓦解决一元多项式方程根式解问题的思路,就是因为伽罗瓦的想法是一种全新的思想.然而这种全新的思想彻底解决了一元多项式方程根式解的问题.这样一个在近代经过长时期孕育诞生的、有脱胎换骨全新风格的东西,一般学生在初接触它时与原来学的数学相比甚至有面目全非的感觉,要在课程大纲规定的基本学时中理解它,确实有一定难度.

抽象代数的后续课程太少.从学习的规律来说,如同孔子说的,学而时习之,不亦说乎.对一个全新的东西,要熟悉它和理解它需要有一个学而时习之的过程,需要反复认识.在一般师范院校,学生二年级学了一个学期的抽象代数以后,基本上就没有相关的后续代数课程了.学生在一学期中刚经受了一些全新的抽象概念的倾盆式的灌输,以后就基本没机会再接触再认识了,所以难于形成映像.

2.2 课程材料选取问题

关于本科抽象代数课程的内容,现在几乎有了共识.简言之,群、环、域等代数系统的概念与基本知识.张禾瑞先生的《近世代数基础》、刘绍学先生的《近世代数基础》都是如此.有的教学参考书还放上了一点模论基础,也有的加上了一点点范畴论,等等.

稍微细言之,就有差别了.基本知识包括哪些?这是一个仁者见仁,智者见智的问题.比如群论,概况如下.

首先,从建立概念(群、子群、元素的阶、陪集、正规子群、商群、同态等)到同态基本定理,这些应该是最低底线,否则其他内容,不仅是群的其它内容,更包括后面的环、域等代数系统,都没法谈.

但是,如果纯粹从逻辑语言来讲述上面说的最低底线一套东西,那就真是空对空,让初学者丈二和尚摸不着头脑.所以介绍一点循环群,介绍一点置换群.不过伽罗瓦考虑的多项式的伽罗瓦群(这是后人的命名)却是没法介绍的,尽管它是群论的真正的萌芽形态.

那么紧跟着的问题是,循环群介绍多少?置换群介绍多少?再接着,群作用要不要介绍?西洛定理要不要介绍?生成与定义关系要不要叙述?等等.这些对于群论来说也都是基础,比如:西洛定理是有限群的最基本出发点;群作用是群这个概念从伽罗瓦开始直至后来各种广泛应用的基本存在形态; 生成与定义关系是群的简化表达形式;等等.而且,与伽罗瓦群不一样,这些材料是可以放在这里讲授的.于是,课程教学中这些材料就很难忍痛割爱.

这样一来,群论这一部分选材的差别就可以很大了.结果,有的本科抽象代数课把群论部分讲授下来一学期时间也就耗得差不多了.

另一个问题是背景材料的选取问题,就是群的来龙去脉,与其他数学特别是学生已熟悉的知识的联系、群的应用等材料的选取问题.如前所述,群论的背景是很深厚的,是在研究解决十九世纪以前的数学中的大问题中形成的;但是这些大背景,如伽罗瓦群,具有相当的深度和广度,以致无法在这个“入门”课程中讲解.如果课程中没有把群论与学生熟悉的东西相联系的实质性的背景材料,学生会觉得群这些东西是凭空冒出来的形式的概念,就会难以接受,难以形成映像.仅仅举出“整数在加法下构成群”这样的例子是不能成为背景材料的,因为这不是实质性的背景材料,只是名词而已,学生从中看不到群这个东西能解决什么问题.这是一个具有挑战性的局面:一般学生很难接受没有实质性背景材料的抽象概念,然而群论真正的大背景又无法在这课程中提供.因此是否选取以及如何选取这类材料就是很值得深思熟虑的问题.

环与域都是类似的情况,这里不再详述.总的说就是两点:一是除了最低底线的材料以外,基本知识的选材的差别可以很大,结果是选择材料时基础知识材料很难忍痛割爱,课程教学内容在一学期课时内讲授不完; 二是是否选取以及如何选取能对学生具有亲和力的实质性的背景材料.

3 抽象代数教学实践

关于本科抽象代数课程,前面提出了一些问题,谈到了作者们的一些教学经历与体验.到底如何做,即如何选取材料如何教学,这更是仁者见仁,智者见智的事情.作者在学校对教材建设、课程安排、教学实践、教学资源等方面进行了一系列的尝试.

3.1 教材建设方面的有益尝试

这里以笔者学校入选普通高等教育“十一五国家级规划教材”[8]的一些想法为主,介绍做法,与同仁交流.

文献[8]作为普通高等教育“十一五”国家级规划教材,是以师范院校数学系为主稍微兼顾其他的一个教材,它是在近年华中师范大学数学与应用数学及相关专业抽象代数课程的基础上完成的.按前面谈到的思考,在华中师范大学进行的这个课程改革主要是希望做到:设计的课程内容按照大多数学校的教学日历,即一个学期72课时(18周,一周4学时)内完成,且达到大多数学校教学大纲规定的本门课程基本的教学内容,能给对代数及其相关应用感兴趣的学生学习后续代数系列课程,如群论、伽罗瓦理论、代数编码及交换代数等课程建立一些最基本的代数概念和代数思维框架.同时,考虑到笔者学校是师范院校,有很大一部分学生毕业后将到中小学从事数学教学及相关工作,因此,希望通过本门课程,让今后从事中小学数学教育的学生建立该课程与中小学数学的教学内容的内在联系,从而指导学生在抽象代数高观点下展开中学数学的教学.

为此,按上节的分析,首先,最低底线的基础内容是不可或缺的.然后,需要适当选取背景材料.所谓适当选取,应该是:对学生有亲和力;对内容有支撑力.当然还要有可行性,即在基础内容之上进一步的知识要求不多.显然,由于课时制约,这类材料不可能多选.具体操作时,教材选择了一些认为对师范学生应该有亲和力的材料.

如上节所述,这种设计势必把一些通常被认为是很基本的,而且可以在大学本科传授的知识排除在教学内容以外了.作为补偿,教材把若干这类知识编排为选读选讲材料,供学有余力和对代数感兴趣的学生利用课余时间自学参考.这样,文献[8]由教学内容和选读选讲两部分构成,后一部分约占全书的三分之一.因而该教材除可操作性外也具有一定可塑性.

选读选讲材料大部分是教学内容的补充.小部分则用于介绍模论,因为它现在被广泛认为是代数的基础知识;除了一些必需的基本概念,从对学生有亲和力的希望出发,作者选取了与线性代数密切相关的若干模论知识.

现在把教学内容选材情况稍加展开,涉及的专业名词就会稍微多些.教学内容分为四章:集合、群、环、域.

集合这一章较短,包含集合概念、关系、映射三节内容,可以说是数学的公共基础,不需要过多说明了.这一章中的第三节给出了映射基本定理,这个基本定理是后面学习群、环、模的同态基本定理的共同基础.

关于群.除了上节说到的最低底线部分外,教材选取了循环群、置换的对换分解定理两个内容.循环群一节在给出结构定理后主要介绍了与初等数论的一些联系和相互作用,既用群论知识证明了数论欧拉函数的重要性质,反过来又用欧拉函数性质证明了循环群的一个判别定理.这是属于中学数学关心的问题,见上节.置换的对换分解定理对学生来说是相对具体的较易接受的内容,一方面通过它利用同态基本定理导出交错群的定义;另一方面,置换的对换分解定理实际上是学生已经熟悉的行列式的本质定义方式,正因为如此,教材中没有引用行列式的性质来证明该定理,而是采用了文献[1]的第二章第二节中的原始证明.

关于环.作为底线的基本内容:环、理想、商环、同态和同态基本定理、整环、域、主理想整环、欧氏环等概念以及分式域、多项式环等基本构造.因式分解理论仅介绍了基本概念复习了域上多项式环是因式分解环,忍痛舍弃了因式分解环的充要条件和因式分解环上的多项式环仍是因式分解环两个基本定理(作为了选读选讲材料).作为能与学生熟悉的内容相接轨的材料,选取了中国剩余定理、对称多项式基本定理.如同上上节所表述的,它们是中学数学关心但无法解决的课题,应该对师范学生具有亲和力.

关于域.作为底线的基本内容:域扩张的概念、次数公式、扩张的生成、代数元与超越元、代数单扩张结构.作为本质性的背景材料则选取了直尺圆规作图问题、代数基本定理,还穿插介绍了一般的分母有理化方法.这些无疑是中学数学关心但无法解决的课题.

另外还有一个背景材料:整数剩余类问题,这是师范学生应该清楚的问题.作者把有关材料分布在第1,2,3章各处,既作为底线基础内容的支撑也作为新概念新方法的启蒙.

最后简单说一下教材[8]的编排形式.希望它是一个操作性较强的教材.这有两层含义.一层含义是上面已谈了的选编的教学内容确实能在一学期72课时内讲授完.还有另一层含义是,编排处理方式尽量方便教师的教学活动和学生的阅读.因此,对于教学部分的章节划分,作者尽可能安排为一节内容正好供一次课(2学时)讲授.当然少数地方仍不尽人意,有的一节内容在一次课内完成不了.每节内容的讲述,则是按内容的逻辑次序展开;语言形式则以清晰的逻辑陈述为主,描述性的、引导性的叙述为辅.每节内容之后附有内容关键词以供学生自己复习小结.

3.2 课程教学实践

经过十余年来在华中师范大学数学与应用数学及其他相关专业的实践,这样一个教学内容设计可在72课时内完成.这里说的72课时,包括随堂习题课、期中测验等.不过,一个学期72学时只是按每周4课时,共18周计算的.实际上每学期课时长短不一,稍有出入,节假日及其他活动还会减掉几课时.因此这个教学内容设计在一般师范院校的较短学期会略显紧张,在这种情况下可考虑略去一两个背景材料即可.对学生入学层次较高的数学系,在此内容之上还可补充一些选读选讲材料.从课堂教学的双方,即任课老师方面和学生方面等的反馈来看,课程教学效果整体上符合设想.下面具体通过几个知识点的处理来说明做法.

图1 映射基本定理与群同态基本定理

(ii) 关于群的教学.为了让学生建立起“群”这个抽象代数概念,而不至于学完后就剩下一个抽象名词“群”,在学生学习“群”的过程中,帮助学生建立了几类“群”的具体模型.第一类模型是向量空间.在教学过程中,根据教学内容需要,逐步回顾线性空间、子空间、商空间、线性映射、线性同构等,将这些概念对应到群、正规子群、商群、群同态、群同构等,帮助学生建立起向量空间和群的基本逻辑结构框架之间的一一对应关系,让学生初步和反复感受抽象代数学习的基本模式和思路,从而帮助学生建立起对“群”的整体观念.第二类模型就是整数加群(Z,+)和剩余类加群(Zm,+).在教学过程中,利用Z和Zm之间的关系,从分析问题和解决问题的角度,自然而然地引入关于子群的左右同余关系、正规子群、商群等.对比较小的自然数m,我们还利用Zm建立直观的群同态基本定理模型、Zm的子群模型等,让学生在m的变化中,直观感受、触摸群同态基本定理、循环群的子群、元素的阶的结构定理等,加深学生对这些定理的理解.

(iii) 关于环和域的教学.“群”的教学是“环”的教学的重要基础.如果 “群”的教学实施得好,关于“环”的教学就会顺利得多.比如学习了商群,由于环R的子环S是环在加法之下的正规子群,自然就有商群(R/S,+);一种自然的考量是:能否在这个商群中引入乘法运算,使其成为一个环? 这自然就引入了环的理想的概念.又如,学习了群同态基本定理之后,环同态基本定理就会容易得多,因为只需验证保持乘法运算.另一个方面,在环和域的学习中,中国剩余定理是一个难点,主要通过模m剩余类环建立具体的模型来加深对该定理的理解.整环上的整除理论是另一个教学难点.通过将整数中的质数(可理解为不可分解数)和素数以及整数的整除理论、数域上的不可约多项式和素多项式以及多项式整除理论进行类比,进而在一般的有限交换环上可自然地引入不可约元和素元以及讨论一般整环上的唯一分解的问题.另一个是通过域的扩张中寻找扩域中的元素的逆的表达式的问题自然建立与中学数学中的分母有理化的联系,让学生深刻理解中学数学中的分母有理化的本质.

(iv) 笔者所在学院本科生中师范生是主体,还有数量不少的非师范生.考虑到本科生的构成,在抽象代数教学中,通过数学家故事让学生了解抽象代数的发展简史,将抽象代数与中学数学密切联系起来,还给出尺规作图是否可行以及代数基本定理的证明.这些内容对大部分学生都有很强的亲和力,对开阔师范生将来的教学视野也很有帮助.还通过具体的例子和视频,如纪录片“被数学选中的人”,帮助学生探索抽象代数与现实世界之间的联系;介绍数学前沿.在学习对称群Sn的过程中,强调了置换的对换分解定理,它的直接应用导致了交错群的发现.介绍对称群的表示、有限单群分类定理等.这些做法的目的是帮助学生了解数学前沿,充分唤起学生对代数学的兴趣,激发学生特别是非师范生投身于数学研究的热情.

3.3 课程教学效果

经过10余年的教学实践,笔者在华中师范大学的抽象代数课程教学取得了较好的教学效果.笔者设计了问卷调查,包含10个问题,发放对象为在读的数学专业学生和已在中学从事数学教学的毕业生,共收到有效问卷调查85份,其中男生占41.85%,女生占58.82%,师范生占69.42%,非师范生占30.58%.调查问卷反映出同学们对抽象代数的学习效果表示满意的占82.36%.89.41%同学认为抽象代数的学习对该课程的后续课程,如群论、代数编码、Galois理论等的学习奠定了很好的基础,也吸引了他们对这些后续课程的学习兴趣.调查反映在已经从事中学数学教学的毕业生中,有79.69%的毕业生认为通过抽象代数课程的学习,他们对于中学数学中相关知识点的理解更加深刻,对相关内容的教学也更加游刃有余.表1是问卷调查的部分相关统计结果分析.

4 结 论

本文主要介绍了作者对综合院校师范院校数学系专业基础课程抽象代数的历史、现状等问题的一些思考,并结合近年来作者在华中师范大学数学专业教授这门课程中进行的若干创新与实践.具体来说,在课程体系结构、课程资源建设和课程教学评价等方面进行了一系列的尝试,取得了一些好的效果.相信这些教学创新的探索实践对相关师范院校本课程的教学会起到积极的促进和借鉴作用.

在新的形式下,如何更好地适应在信息爆炸的时代成长起来的学生的实际需求,开展有针对性的教学,是一个值得深入思考的问题.笔者建议是,由于这门课程的基础性地位、抽象性以及和中学数学内容的紧密联系,在师范院校数学专业,本课程教学计划的基本教学时数达到每周5学时比较合理,这样有较为充足的时间用于课堂研讨式习题课教学.同时,如何继续深入挖掘抽象代数课程中的思政元素,将相关知识结构体系和中学相关内容进行深度融合,提高学生学习兴趣,克服畏难心理,也是后续教学改革中一个值得思考的问题.

致谢作者非常感谢编辑和审稿人提出的宝贵意见.