关于空间向量外积的教学思考

裴玉峰, 陈晓煜

(1.湖州师范学院 理学院 数学系,浙江 湖州 313000; 2.上海师范大学 数理学院 数学系,上海 200234)

0 引 言

在大学解析几何课程内容中,向量代数的教学始终是一个重点,已有学者对此进行了深入的研究,例如文献[1],而向量的外积是其中的难点,也有学者对此进行相关的研究,例如文献[2-3].笔者在教授高等代数与解析几何课程的过程中,下面两个关于空间向量外积问题被细心的学生们问及:

(i) 如何从空间向量的外积的代数定义推导出几何定义?

(ii) 能否给出一个双重外积公式不依赖于坐标系的推导?

遗憾的是,这两个问题并不容易给学生们解释清楚.空间中外积有两个相对独立的定义,一个是几何定义 (见定义4),另一个是代数定义 (见定义 2 ).国内的大多数教材都是采用几何定义,然后推导出代数定义,这样处理的好处是定义有几何直观,且不依赖于坐标系的选取,缺点是计算和证明外积的性质时不方便,需要借助代数定义来进行.国外的大多数教材采用的是代数定义,优点是定义比较简洁,缺点是定义依赖于坐标系的选取,不容易解释清楚几何含义.注意到少有教材能从代数定义严格地去推导出几何定义 (见文献[4]).近些年,已经有不少学者 (见文献[5-7]) 发表文章,从不同角度尝试去处理这个问题,但结果仍然不尽如人意.双重外积公式是关于向量外积的一个重要结论,但是在传统教法中,通常是利用外积的坐标定义来直接验证这一公式,这样做虽然能给出严格证明,但是很难揭示出此公式的发现过程,注意到已经有了很多的双重外积公式的证明 (见文献[8-9]),但是总体来说还是借助了几何定义,并没有证明坐标定义与几何定义是等价的,所以仍然无法完整地回答本文引言开始所提及的问题.

本文中,借助正交矩阵的知识,给出两种定义等价性的一个相对直接的推导.作为推论,给出了右手系法则的一个代数的刻画.本文根据右手法则的特性,给出双重外积公式的不依赖于坐标系选取的证明,此方法可以揭示这公式的发现过程.希望这些思考能对解析几何的教学有所帮助.

1 空间向量外积的两个等价定义

下面关于混合积的结论是标准的.

命题1设a,b,c是3中的 3 个向量,则(a×b)·c=|a,b,c|.

特别地,

|a,b,a×b|=(a×b)·(a×b)=‖a×b‖2.

定义3[11](右手系法则) 设a,b,c是3中的 3 个的向量,如果当右手四指从a弯向b(转角小于π) 时,拇指指向和向量c的方向成锐角,称有序向量组{a,b,c}满足右手系法则.

由右手系法则的定义立即得到下面的引理.

引理1如果有序向量组 {a,b,c} 满足右手系法则,那么对任意的正实数λ,μ,ν,有序向量组{λa,μb,νc}也满足右手系法则.

证正实数的伸缩变换不改变向量的方向,故{λa,μb,νc}也满足右手系法则.

引理2如果有序向量组 {a,b,c} 满足右手系法则,那么对任意实数λ,如果有序向量组{a,b+λa,c} 也满足右手系法则.

证如果从a沿某方向转到b时转角小于π,那么a沿此方向转到b+λa的转角也小于π.故 {a,b+λa,c} 也满足右手系法则.

设

{e1,e2,e3}是3的一个标准正交基,并且有序向量组 {e1,e2,e3} 满足右手系法则.

定义4[1-2](外积的几何定义) 设a和b是3维空间3中的两个向量,θ是a和b的夹角(0≤θ<π).向量a和b的外积 (向量积)a×b是一个向量,它满足

(i) 向量a×b的长度等于‖a×b‖=‖a‖‖b‖sinθ;

(ii) 向量a×b垂直于向量a和b;

(iii) 有序向量组 {a,b,a×b}的方向满足右手系法则.

定义5设A是一个 3 阶实矩阵,如果A满足ATA=AAT=I,这里I是 3 阶单位阵,称A是正交矩阵.如果一个正交矩阵满足|A|=1 称A是特殊正交矩阵.

引理3设A是一个特殊正交矩阵,则 1 是A的一个特征值.

证由于|A|=1 以及由行列式的性质得到

|A-I|=|A-AAT|=|A||I-AT|=|I-A|=-|A-I|.

因此|A-I|=0,即1 是A的一个特征值.

引理4对于每一个特殊正交矩阵A,存在3中的一个向量,使得A是以这个向量为轴的旋转变换.

证设A是一个特殊正交矩阵.由引理 3 知道存在一个单位向量v3使得Av3=v3.将v3扩充为3的一个标准正交基v1,v2,v3且满足|v1,v2,v3|=1,记T=(v1,v2,v3).容易看出T是 一个特殊正交矩阵,且

AT=A(v1,v2,v3)=(Av1,Av2,Av3)=(Av1,Av2,v3),

因此Av1⊥v3,Av2⊥v3.从而Av1,Av2可以写成v1,v2的线性组合:

Av1=av1+bv2,Av2=cv1+dv2,Av3=v3,

则

因为T-1AT也是一个特殊正交矩阵,所以

a2+b2=1,c2+d2=1,ac+bd=0,ad-bc=1,

故一定存在实数θ∈[0,2π) 使得

a=cosθ,b=sinθ,c=-sinθ,d=cosθ.

因此σA表示以v3为轴,逆时针旋转θ的一个旋转变换.

引理5设A是一个特殊正交矩阵,有序向量组{a,b,c}满足右手系法则,则有序向量组{Aa,Ab,Ac}也满足右手系法则.特别地,有序向量组 {Ae1,Ae2,Ae3} 满足右手系法则.

证根据引理 4,是绕某轴的旋转变换,而旋转变换不改变有序向量组的右手系法则.引理得证.

定理1外积的代数定义 2 与外积的几何定义 4 是等价的.

证由外积的几何定义得到外积代数定义的证明是标准的 (见文献[1-2]).下面证明外积的代数定义可以推出外积的几何定义.

假设a,b是两个不共线的向量,容易验证a⊥(a×b),b⊥(a×b).现在进一步证明:有序向量组{a,b,a×b}满足右手系法则.令

(1)

所以

b=‖c‖b′+(a′·b)a′.

(2)

因为

a×b=a×[‖c‖b′+(a′·b)a′]=‖a‖‖c‖a′×b′.

(3)

令A=(a′,b′,a′×b′),由

a′⊥b′,a′⊥(a′×b′),b′⊥(a′×b′)

和 ‖a′‖=‖b′‖=‖a′×b′‖=1,得到A是一个正交矩阵.又因为

‖A‖=|a′,b′,a′×b′|=(a′×b′)·(a′×b′)=‖a′×b′‖2=1,

所以A是一个特殊正交矩阵 (这里第二个等号使用了命题 1).因为

(Ae1,Ae2,Ae3)=A(e1,e2,e3)=AI=A=(a′,b′,a′×b′),

根据引理5,有序向量组 {a′,b′,a′×b′}满足右手系法则.再由(1),(2),(3)可得

{a,b,a×b}={‖a‖a′,‖c‖b′+(a′·b)a′,‖a‖‖c‖a′×b′}.

最后,根据引理1 和引理 2,有序向量组 {a,b,a×b} 也满足右手系法则.

综上所述,定理得证.

作为上面定理的推论,可以得到右手系法则的一个代数刻画.

推论设a,b,c是3中的 3 个不共面的向量.有序向量组 {a,b,c} 满足右手系法则的充分必要条件是|a,b,c|>0.

证根据定理 1,有序向量组 {a,b,a×b} 满足右手系法则.有序向量组 {a,b,c} 满足右手系法则的充分必要条件是向量a×b与向量c的夹角α为锐角,也等价于

因此,有序向量组 {a,b,c} 满足右手系法则的充分必要条件是|a,b,c|>0.

2 双重外积公式的一个新证明

定理2(双重外积公式) (a×b)×c=(a·c)b-(b·c)a.

证为了方便,简记p=a×b,v=b×c.由外积的右手系法则v∈{λa+μb|λ,μ∈}.故可设

v∈xa+yb.

(4)

将 (4) 式两边同时在右边与b作外积得到v×b=xp.

另一方面,令

(5)

故c=c1+c2且c1与b平行,c2与b垂直.事实上,因 为p也与b垂直,所以p×c2就与b共线,从而由外积的性质知道(p×c2)×b=0.因此有(p×(c-c1))×b=0.于是

(6)

设k是p方向的单位向量.由外积的右手系法则

(7)

结合(5),(6),(7)就有x=-c·b.同理将 (4) 式两边同时在右边与a作外积得到y=-a·c.从而公式得证.

3 结 论

本文证明了空间向量的外积的几何定义与代数定义是等价的,并且借助了几何定义给出了双重外积公式的一个新的证明,从而回答了引言中所提出的两个教学上的问题.

致谢非常感谢陈跃教授对本文的仔细阅读以及提出的宝贵建议.