一道试题的解法探究与教学反思

庞毅

［摘 要］通过对一道高三摸底试题进行考情分析、解法探究和问题拓展，揭示试题的本质，并从注重解题经验积累培养数学运算素养、注重信息技术应用培养学生数字素养两个方面提出教学反思。

［关键词］解法探究；教学反思；圆锥曲线；信息技术

［中图分类号］    G633.6        ［文獻标识码］    A        ［文章编号］    1674-6058（2024）05-0025-03

解析几何是高考加强“综合性”考查的重要载体。广西南宁市2024届高中毕业班摸底测试第21题将直线与椭圆的位置关系以及长度计算相结合，问题设计紧扣高考评价体系的“基础性、综合性、应用性、创新性”考查要求，既基础又开放，对高三数学复习备考具有重要的参考意义。

一、试题呈现与考情分析

（一）试题呈现

已知平面上动点[E]到点[A（1，0）]与到圆[B：x2+y2+2x-15=0]的圆心[B]的距离之和等于该圆半径。记Ε的轨迹为曲线[Γ]。

（1）说明[Γ]是什么曲线，并求[Γ]的方程；

（2）设[C]、[D]是[Γ]上关于[x]轴对称的不同两点，点[M]在[Γ]上，且[M]异于[C]、[D]两点，[O]为原点，直线[CM]交[x]轴于点[P]，直线[DM]交[x]轴于点[Q]，试问[OP·OQ]是否为定值？若为定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由。

评析：本题主要考查椭圆的定义、标准方程、几何性质和直线方程等主干知识，考查通过代数运算结果判断几何性质的坐标法和函数与方程、转化与化归以及数形结合等数学思想，考查逻辑推理、数学运算等核心素养。第（2）问是开放性问题，重点考查学生的创新能力和探索精神。

（二）考情分析

本题的考试情况如表1所示。

[题目 实考

人数 满分 平均分 标准差 难度 区分度 满分率 零分率 第21题 54110 12 1.15 1.77 0.15 0.21 0.16 29.52 ]

从统计的结果来看，本题总体平均分1.15，难度0.15，这个结果出乎命题组的预料。为了解考生的解答情况，笔者对部分考生的答题卡进行分析并访谈考生。通过分析与访谈发现，潜力生直接放弃答题；部分中等生解答第（1）问时根据文字的描述列出[（x-1）2+y2+（x+1）2+y2=4]这一方程，因简化困难而止步；优秀生在解答完第（1）问后，设[CM]的方程为[y=kx+m]，然后代入椭圆方程，应用韦达定理，写两根之和与两根之积的表达式，后因感觉运算繁杂而放弃。由此可见，出现较低平均分的原因是学生不具备解决此类问题的基本活动经验，缺乏对运算对象的理解、运算思路的探究、运算方法的选择和运算背景的变换的能力。

二、解法探究

第（1）问启发学生从椭圆的定义入手，不难得出椭圆的标准方程为[x24+y23=1]。本文仅对第（2）问进行探究。

解法1：如图1所示，设直线[CM]的方程为[y=kx+m]，[C（x1，y1）]， [D（x1，-y1）]， [M（x2，y2），]

由[y=kx+m，3x2+4y2=12，]得

[（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0]，

则[x1+x2=-8km3+4k2]，[x1x2=4m2-123+4k2]。

直线[DM]的方程为[y+y1=y1+y2x2-x1（x-x1）]，令[y=0]，得[xQ=x1+y1（x2-x1）y1+y2]，

所以[OQ=xQ=x1+y1（x2-x1）y1+y2=x1y2+x2y1y1+y2=x1（kx2+m）+x2（kx1+m）kx1+m+kx2+m=2k·4m2-123+4k2+m·-8km3+4k2k·-8km3+4k2+2m=4km]。

在[y=kx+m]中，令[y=0]，得[xP=-mk]，

所以[OPOQ=-mk·4km=4]，

因此，[OPOQ]为定值４。

反思：本解法用代数方法解决几何问题，充分展现了坐标法的魅力与威力。从直线与椭圆的位置关系入手，利用方程思想，用[k]、[m]分别表示[OP]、[OQ]，从而求出[OPOQ]的值与[k]、[m]无关，判断出其为定值。但用[k]、[m]表示[OQ]时冗长繁杂，考生在规定时间内难以完成。

解法2：考虑特殊情形，当点[M]在椭圆长轴顶点时，[M]、[P]、[Q]三点重合，[OP=OQ=a]，所以[OPOQ=a2]。由此猜想，本题条件下可能有[OP·OQ=a2]。

设[C（x1，y1）]，[D（x1，-y1）]，[M（x2，y2）]，

则设直线[CM]的方程为[y-y1=y2-y1x2-x1（x-x1）]，

令[y=0]，得[xP=x1-y1（x2-x1）y2-y1=x1y2-x2y1y2-y1]。

因为点[D]与[C]关于[x]轴对称，所以用“[-y1]”代换“[y1]”，可由[xP]得[xQ=x1y2+x2y1y2+y1]，

所以[OPOQ=xPxQ=x12y22-x22y21y22-y21]（*）。

因为[C（x1，y1）]，[M（x2，y2）]均在椭圆[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]上，所以[x21y22-y21x22=a21-y21b2y22-a21-y22b2y21=a2（y22-y21）]，

所以[OPOQ=xPxQ=x21y22-x22y21y22-y21=a2]，

因此， [OPOQ]为定值4。

反思：本解法先找特殊点，猜想[OPOQ]的可能取值，再进行一般化证明，这是解决存在性问题的基本方法。本解法充分利用点[C（x1，y1）]与[D（x1，-y1）]关于[x]轴对称的性质，用“[-y1]”代换“[y1]”就可由[xP]得[xQ]，这种对称代换方法可减少运算量，使运算变得简单明了。与解法１相比，本解法凸显“探究运算思路，选择运算方法，设计运算程序”的重要性。另外，在化简[x21y22-x22y21y22-y21]時，利用椭圆标准方程代换后结果为[a2]，表明结果只与椭圆长半轴有关，具有一般性。

三、问题拓展

（一）变换对称轴

拓展1：设[C]、[D]是[Γ：][x2a2+y2b2=1（a>b>0）]上关于[y]轴对称的不同两点，点[M]在[Γ]上，且[M]异于[C]、[D]两点，[O]为原点，直线[CM]交[y]轴于点[P]，直线[DM]交[y]轴于点[Q]，试问[OP·OQ]是否为定值？若为定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由。

解：如图２所示，设[C（x1，y1）]，[D（-x1，y1）]，[M（x2，y2）]， 则直线[CM]的方程为[y-y1=y2-y1x2-x1（x-x1）]，

令[x=0 ]，得[yP=-x1（y2-y1）x2-x1+] [y1=x2y1-x1y2x2-x1]，

用“[-x1]”代换“[x1]”，由[yP]得[yQ=x２y１+x１y２x2+x1]，

所以[OPOQ=yPyQ=x22y21-x21y22x22-x21]（**），

因为[C（x1，y1）]，[M（x2，y2）]均在椭圆[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]上，所以[x22y21-x21y22=x22b21-x21a2-x21b21-x22b2=b2（x22-x21）]，

所以[OPOQ=yPyQ=x22y21-x21y22x22-x21=b2]，

因此，[OPOQ]为定值[b2]。

（二）变换曲线

拓展２：设[C]、[D]是[Γ：][x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）]上关于[x]轴对称的不同两点，点[M]在[Γ]上，且[M]异于[C]、[D]两点，[O]为原点，直线[CM]交[x]轴于点[P]，直线[DM]交[x]轴于点[Q]，试问[OP·OQ]是否为定值？若为定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由。

解：接解法２（*），因为[C（x1，y1）]，[M（x2，y2）]均在双曲线[x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）]上，所以[x21y22-x22y21=a21+y21b2y22-a21+y22b2y21=a2（y22-y21）]，

所以[OPOQ=xPxQ=x21y22-y21x22y22-y21=a2]，

因此，[OPOQ]为定值[a2]。

拓展３：设[C]、[D]是[Γ：][x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）]上关于[y]轴对称的不同两点，点[M]在[Γ]上，且[M]异于[C]、[D]两点，[O]为原点，直线[CM]交[x]轴于点[P]，直线[DM]交[y]轴于点[Q]，试问[OP·OQ]是否为定值？若为定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由。

解：接拓展１解法（**），因为[C（x1，y1）]，[M（x2，y2）]均在双曲线[x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）]上，

所以[x22y21-x21y22=x22b2x21a2-1-x21b2x22b2-1=-b2（x22-x21）]，

所以[OPOQ=yPyQ=x22y21-x21y22x22-x21=b2]，

因此，[OPOQ]为定值[b2]。

拓展４：设[C]、[D]是[Γ：][y2=2px （p>0）]上关于[x]轴对称的不同两点，点[M]在[Γ]上，且[M]异于[C]、[D]两点，[O]为原点，直线[CM]交[x]轴于点[P]，直线[DM]交[x]轴于点[Q]，试问[OP·OQ]是否为定值？若为定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由。

解：接解法２（*），因为[C（x1，y1）]，[M（x2，y2）]均在抛物线[y2=2px （p>0）]上，

所以[OPOQ=xPxQ=x21y22-x22y21y22-y21=y21y224p2]不是定值。

反思：[OPOQ]不是定值，但[xP+xQ=x1y2-x2y1y2-y1+] [x1y2+x2y1y2+y1=-y1y22p+y1y22p=0]为定值。由以上拓展可知，曲线（椭圆或双曲线）[Γ]上关于其对称轴对称两点与曲线[Γ]上另外一点的连线，在该对称轴上截距乘积的绝对值为定值，定值为曲线[Γ]在该对称轴半轴长的平方。

四、教学反思

以上分析和问题拓展，显示出试题的立意深刻和背景丰富，存在很好的教学价值。但学生的得分情况反映出学生的学和教师的教都还缺乏实效，值得我们反思。

（一）注重解题经验积累，培养学生的数学运算素养

解析几何解答题是高考考查学生数学运算素养的重要载体。《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出：“数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养。主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等。”在高三数学复习过程中，教师应注重教材例题、习题和历年高考典型试题的“一题多解”训练，引导学生积累解题经验，形成良好的认识结构；探索“多题一解”，揭示试题的本质，提高学生分析问题和解决问题的能力。同时，注重解题技巧（如对称代换）的运用，缩减运算步骤，提高解题效率。

（二）注重信息技术的运用，培养学生的直观想象素养

信息技术的运用可以帮助学生理解概念、提高数学抽象能力，为学生分析问题和解决问题提供可视化、直观化的帮助，促进学生深度学习。几何画板软件是学生分析与解决解析几何问题最有力的帮手，让学生掌握该软件的使用方法，不仅能够提高学生学习解析几何的兴趣，消除学生对解析几何题的畏难心理，还能提升学生的动态几何感知能力，加深学生对基本定义的理解，拓展学生思维，帮助学生建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路，从而提升学生的直观想象素养。

［   参   考   文   献   ］

［1］  胡善俊，余树宝.基于数学活动经验的解题实践与教学思考［J］.中学数学教学参考，2019（34）：37-40.

［2］  中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准：2017年版2020年修订［M］.北京：人民教育出版社，2020.

（责任编辑 黄桂坚）