双向车道：整式乘法与因式分解——苏科版数学教材七（下）第九章“整式乘法与因式分解”整体解读

文／郑胜辉

经历前面知识的学习，同学们理解并掌握了有理数、代数式以及幂的相关知识。在此基础上，我们在本章进一步学习了整式乘法与因式分解，这些内容都是代数学习的“底色”，也是今后学习更为复杂的内容和物理、化学等其他学科的基础。

一、统揽全局，系统思考

本章内容为整式乘法与因式分解。因单项式和多项式统称整式，故整式乘法包括单项式乘单项式、单项式乘多项式和多项式乘多项式。完全平方公式与平方差公式只是多项式间乘法的特殊情形。同学们在小学阶段学过整数乘法与分解质因数，比如，2×3×7=42 就是整数乘法，反过来，42=2×3×7 就是分解质因数。整数乘法和分解质因数是一个互逆过程。类比过来，整式乘法是把几个因式积的形式写成和的形式（单项式乘单项式除外），因式分解是把一个多项式写成几个整式的积的形式。整式乘法与因式分解是互逆的恒等变形，正如双向车道一般，如图1。

图1

二、端本正源，数形结合

数形结合是将“入微之数”和“直观之形”相结合，建立对应关系并相互转化来理解数学的一种数学思想。在学习整式乘法与因式分解时，我们可借助图形直观地阐明数量关系，也就是“以形助数”。

例如，将边长分别为a、b的两个正方形与长为a、宽为b的两个全等长方形拼成一个边长为a+b的大正方形。从不同角度表示大正方形的面积，可得完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2（如图2）。你会用类似方法验证另一个完全平方公式（a-b）2=a2-2ab+b2吗？

图2

同样，我们也可以用剪拼图形的方式直观地解释平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2（如图3），你还有其他不同的拼图方案解释平方差公式吗？试试看！

图3

值得一提的是，图形中的字母a、b均表示线段，所以代替的是正数，但公式中的字母a、b可以代替正数、负数、单项式或多项式。

三、明辨方向，运用自如

在整式乘法与因式分解的双向变形过程中，同学们常常会出现一些错误。如没有理解整式乘法与因式分解的变形“方向”；对于因式分解，没有先提取公因式；因式分解的结果不“彻底”等。

关于因式分解，我们不妨用这个口诀：一“提（公因式）”，二“用（公式）”，三“十字（相乘）”，四“分组（分解）”，五“检查（是否分解彻底）”。它可以帮你成功“绕坑”。

俗话说：干一行，行一行，一行行，行行行……这其中的奥秘就是迁移。整式乘法与因式分解本质上是一种互逆关系，是“倒过来想”的一种思维方式。数学中具有互逆关系的还有我们熟悉的加法与减法、乘法与除法，和将来我们要学习的乘方与开方、原命题与逆命题……这种“倒过来想”的思维方式不仅存在于数学中，在生活及其他学科中，也都是发现问题、解决问题的有效途径。