高中数学教学中学生创造性思维的培养

一、案例背景

《义务教育数学课程标准（2022年版）》对高中数学教学提出了新的要求和标准，培养学生的创造性思维成为教育的重中之重。创造性思维并非孤立存在，它与日常思维紧密相连，却又独具特色。“圆与圆的位置关系”是苏教版高二选择性必修第一册第2章“圆与方程”第3课时的內容，是高中数学中一个重要的知识点，它涉及平面直角坐标系中圆的方程以及圆的几何性质等多个方面。通过学习这一内容，学生可以进一步掌握解析几何的基本思想和方法，提高数学思维能力。在本课的学习中，学生将类比直线的研究方法，自主探究圆的方程和几何性质，并理解圆与圆之间的各种位置关系，包括内含、内切、相交、外切、外离。同时，学生还将多维度、多层面地体会数形结合的思想。

二、案例描述

（一）破冰之旅：引入话题，启发思考

教师（微笑）：同学们，你们平时在生活中有没有注意到哪些物体是圆形的呢？

学生（兴奋）：篮球和足球都是圆的！

学生（思考）：还有太阳。它看起来也是圆圆的。

学生（补充）：还有水杯的盖子，也是圆形的。

教师（点头）：你们观察得很仔细。那么，在数学中，圆是如何定义的呢？它有哪些独特的性质呢？

学生：它是由定点和定长确定的平面图形！

教师（鼓励）：很好，那我们就来深入探讨一下这个神奇的图形吧！

（二）探索之路：定义与方程的建立

教师（认真）：在平面直角坐标系中，圆是如何表示的呢？

学生（毫不犹豫）：使用方程！

教师（微笑）：非常正确。在数学中，我们经常使用方程来表示图形。那么，你们能尝试写出圆心在原点，半径为5的圆的方程吗？

学生（思考片刻）：是不是x2+y2=25？

教师（点头）：完全正确！这个方程确实表示了一个圆心在原点，半径为5的圆。那么，你们能告诉我这个方程的含义吗？

学生（积极回答）：这个方程表示圆上所有点到原点的距离都是5！

教师（赞许）：非常棒！你理解得很透彻。这个方程确实表示了圆上所有点到圆心的距离都是固定的，也就是半径的长度。那么，你们能理解为什么这个方程可以用来表示圆吗？

学生（疑惑）：是不是因为x和y表示圆上的点，而方程表示这些点到圆心的距离是固定的？

教师（点头）：很好，你理解得很到位。这个方程确实是通过点到圆心的距离来描述圆的。那么，你们能尝试写出圆心在（3，4），半径为5的圆的方程吗？

学生（思考后回答）：是不是（x-3）2+（y-4）2=25？

教师（微笑）：非常正确！这个方程确实表示了一个圆心在（3，4），半径为5的圆。通过调整这个方程，我们可以轻松地改变圆的位置和大小。现在我们已经理解了如何使用方程来表示圆，接下来我们将进一步探索圆与圆的位置关系。

（三）创意之源：位置关系的发现

1.几何法

教师（引导）：同学们，今天我们将深入探讨一个有趣的数学问题——两个圆之间的位置关系。现在，请大家先思考一下，如何判断两个圆的位置关系呢？

学生（思考）：老师，是不是可以通过比较两个圆的圆心距和半径来判断它们的关系？

教师（赞许）：非常好！你的思路是对的。确实，通过比较圆心距和两圆半径的大小，我们可以确定它们的位置关系。那么，具体怎样来进行呢？

学生（思考）：如果圆心距大于两圆半径之和，它们是外离关系;如果圆心距等于两圆半径之和，它们是外切关系;如果圆心距小于两圆半径之和且大于两圆半径之差，它们是相交关系;如果圆心距等于两圆半径之差，它们是内切关系;如果圆心距小于两圆半径之差，它们是内含关系。

教师（赞许）：非常准确！你总结得非常好。这就是我们通过几何法来判断两个圆的位置关系的依据。见表1。其中，r1和r2分别为两个圆的半径，d为两圆的圆心距。那么，除了几何法，还有其他方法吗？

2.代数法

学生（思考）：老师，我们还可以通过解方程组的方法来判断。设由两圆的方程组成的方程组为C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0。我们将两个圆的方程联立起来组成一个二元二次方程组，然后解这个方程组。如果有一组解，说明两圆相切;有两对相等的实数解，说明两圆相交;如果没有实数解，说明两圆相离。见表2。

教师（欣喜）：非常好！你提出了另一种判断方法——代数法。通过解方程组来判断两个圆的位置关系，这是一个很有创意的想法。这种方法不仅可以判断两个圆的位置关系，还可以进一步确定两个圆的交点个数和切点个数。

教师（深入引导）：现在我们来具体探讨一下这两种方法的应用。首先，利用几何法判断两个圆的位置关系，我们可以直接比较两个圆的圆心距和半径。这种方法直观、易懂，对于一些较为简单的情况非常适用。

教师（展示示例）：现在我们来看一个具体的例子。假设我们有两个圆，方程分别为（x-1）2+（y-1）2=1和（x-3）2+（y-3）2=9。那么，我们应该如何判定这两个圆之间的关系呢？

学生：我们可以先计算出它们的圆心距，即d==2。然后比较d与r1+r2的大小，可以判断出这两个圆是相交的。

教师：没错，你们分析得很对。

教师（总结方法）：通过以上分析，我们可以总结出判断两圆位置关系的几何法步骤：首先计算出两圆的圆心距d;然后比较d与r1+r2、r1-r2的大小关系;最后根据大小关系判断出两圆的位置关系是相交、相切还是相离。

教师（引导）：除了几何法，我们还可以利用代数法来判断两个圆的位置关系。通过代数法判断两个圆的位置关系是一种更加严谨的方法。它可以确保我们得到的结果是准确的，并且在处理复杂情况时更加可靠。现在我们举一个具体的例子，假设我们有两个圆的方程为（x-1）2+（y-1）2=1和（x-3）2+（y-3）2=9。那么，这两个圆是什么位置关系呢？

学生：我们将这两个方程联立起来组成一个二元二次方程组，然后通过解这个方程组得到两个实数解，可以判定这两个圆是相交的。

教师（总结）：通过以上分析，我们可以总结出判断两圆位置关系的代数法步骤：首先将两个圆的方程聯立起来组成一个二元二次方程组，然后解这个方程组，最后根据解的情况判断两圆的位置关系是相交、相切还是相离。这种方法虽然较为烦琐，但对于一些需要精确结果的情况非常适用。

教师（鼓励）：同学们，今天我们深入探讨了如何利用几何法和代数法判断两个圆的位置关系。希望大家能够在解题中灵活运用这些方法。同时，也希望大家能够继续探索数学的世界，发现更多有趣的数学问题。

（四）总结与延伸：回顾过去，展望未来

教师：同学们，今天我们学习了圆与圆的位置关系，有谁可以总结一下判断圆与圆位置关系的方法？

学生：我们可以根据圆心距和两圆半径的大小关系来判断两圆是外离、外切、内切、内含还是相交。

学生：也可以将两个圆的方程联立起来求解，判断圆与圆的位置关系。

教师：非常好，你们总结得很好。那么，大家有没有思考过，如何运用今天学到的知识解决实际问题呢？

学生：我们可以利用圆与圆的位置关系来判断物体在空间中的位置，如判断两辆汽车在不同道路上的行驶关系。

教师：数学知识在生活中有着广泛的应用。希望同学们在今后的学习和生活中，能够用今天学到的数学思维去解决实际问题，继续努力探索数学的奥秘。

三、案例小结

本节课的教学内容分为四个部分：破冰之旅、探索之路、创意之源和总结与延伸。从引入话题到深入探讨，再到实际应用，教学内容层层递进，符合学生的认知规律。同时，教学内容涵盖了圆的基本概念、方程表示方法和圆与圆位置关系的判断方法，为学生进一步学习几何知识打下了基础。

就教学方法与手段而言，本节课采用了启发式教学法，引导学生自主发现和探究数学知识。在教学过程中，我通过提问、讨论等方式激发学生的学习兴趣，引导学生主动思考问题。这种教学方法有利于培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。另外，本节课运用了多媒体教学手段，通过展示圆的图形、方程和位置关系判断圆与圆的位置关系，帮助学生形象地理解抽象的数学概念。

就学生的学习情况来说，本节课中，学生表现出较高的学习积极性，积极参与讨论，思考问题。在我的引导下，学生能够主动发现和探究数学知识，展示了良好的学习态度和数学思维能力。另外，通过本节课的学习，学生掌握了圆的定义、方程表示方法以及圆与圆的位置关系的判断方法。在教学过程中，学生能够运用所学知识解决实际问题，说明学生对所学知识的掌握程度较好。

就教学过程而言，我对本节课的教学节奏把握得当，话题引入自然，探讨环节有针对性，循序渐进，符合学生对知识的认知与内化过程。但在教学过程中，部分环节的时间安排略显紧张，导致学生在讨论和思考问题时稍显仓促。另外，虽然本节课中学生的学习积极性较高，但部分学生在讨论和思考问题时仍显得有些拘束，思维不够开阔。

通过本节课的教学，学生掌握了圆的定义、方程、表示方法以及圆与圆的位置关系的判断方法。在教学过程中，学生积极参与讨论，思考问题，展示了良好的学习态度和数学思维能力。一定程度而言，本节课的教学目标基本实现。但是这一系列教学活动的实施也存在一些问题需要改进。具体包括以下方面：（1）加强课堂互动。为了提高学生的参与度，我们应加强课堂互动，鼓励学生积极提问和回答问题。同时，应注意倾听学生的意见，及时给予反馈，调整教学策略。（2）注重学生个体差异。学生之间存在明显的个体差异，教师应采用不同的方式激发学生的学习兴趣，提高学生的参与度。例如，对于学习能力较强的学生，我们可以提出更高层次的问题或者挑战任务，引导他们进行深入思考;对于学习能力较弱的学生，我们应给予更多的关心和帮助，鼓励他们克服困难，提高学习效果。（3）合理安排教学时间。我应更加注重把握教学节奏，确保学生有足够的时间进行思考和讨论。具体而言，可以适当调整教学环节的时间安排，确保教学过程既紧凑又不失轻松。（4）结合实际生活案例展开教学。为了提高学生的学习兴趣和应用能力，我们应多结合实际生活案例进行教学，通过让学生感受数学知识在生活中的应用价值，激发学生的学习兴趣，提高学生的学习效果。

总之，教师在教学过程中要注重启发式教学法的运用，关注学生的个体差异，加强课堂互动，合理安排教学时间，结合生活案例进行教学等。我相信通过不断改进教学方法和手段，能够进一步提高学生的学习兴趣和学习效果，引导学生走进更广阔、多彩的数学世界。

（作者单位：泗洪县第一高级中学）

编辑：常超波

作者简介：王科学（1981—），男，汉族，安徽淮北人，中学一级教师，研究方向：高中数学。