基于新课程标准的高中数学教学

张孝

高中数学教学改革持续推进，并于最新修订的课程标准中提出了一系列新的教学要求。为了更好地实施新课程标准中的教学要求，文章以“总体百分位数的估计”这一内容为例进行说明。

一、知识介绍

“总体百分位数的估计”是高中数学统计学中的一项重要知识点，用于估计总体数据的百分位数的取值。百分位数是用来描述一组数据中某个特定百分比处于该值以下的数据的位置。例如，第50百分位数（即中位数）是将数据按大小排序后，处于中间位置的数值。对于总体百分位数的估计，常用的方法为线性插值法。线性插值是指将数据按大小排序后，通过对相邻两个数值之间的线性插值来估计指定百分位数的取值。具体来说，线性插值根据指定的百分位数在有序数据中的位置，将其与相邻两个数值之间的间隔进行比例划分，从而得到一个估计值。总体百分位数的估计在实际应用中具有重要意义，可以更准确地了解总体数据的分布情况，进行有效的数据分析和决策。然而，需要注意的是，总体百分位数的估计仅仅是对总体数据的估计，可能存在一定的误差，因此在实际应用中需要综合考虑其他因素，如数据的分布特点、样本大小等，进行合理的解释和推断。

二、“教学目标

首先，理解总体百分位数的概念和意义。学生应该明白百分位数是用来描述数据在一定位置上的相对大小，了解其在统计学中的应用，并能够将其与实际问题相联系。其次，掌握总体百分位数的估计方法，理解公式：i=n×p%的意义，能够将其灵活运用于实际问题中，准确地估计总体百分位数的取值。再次，培养学生数据分析和决策的能力。通过解决实际问题和应用案例，学生应该具备分析数据的能力，从中提取有用的信息，并能够根据百分位数的估计结果进行合理的决策。最后，发展数学思维和解决问题的能力。学生能够运用数学知识和方法解决复杂的实际问题，在解决问题的过程中展示出良好的逻辑推理和数学推导能力。

三、教学过程

（一）引入——注重知识的连贯性

在初中的时候学生已经掌握了中位数的概念，运用初中数学中位数的知识引出高中数学中总体百分位数的概念，有利于加强初中与高中知识的联系。初中数学中位数是数据中的一个特殊值，处于数据集合中间位置的数值。通过学习中位数，学生理解了数据的集中趋势和分布，知道如何找出一组数据的中间值。在高中数学中，引入总体百分位数的概念是对中位数概念的拓展和深化。总体百分位数是用来描述一组数据中某个特定百分比处于该值以下的数据的位置。一般情况下，中位数可以理解为总体百分位数的特殊情况，即总体百分位数为50%。

教师：同学们，我们在初中已经学习了中位数这个概念，你们还记得吗？

学生：是的，中位数是一组数据排序后处于中间位置的值。

教师：很好，那你们觉得在生活中中位数有哪些应用呢？

学生：可以用中位数来代表一组数据的典型值，如用中位数来描述某个班级学生的考试成绩。

教师：非常好。既然说到了班级的考試成绩，那么，假如某个班级有100名学生，学生的成绩分别为1～100分，50分的学生则是考试成绩的中位数，成绩为60分及以下的学生该如何表示呢？

学生：……

教师：现在我要带领大家拓展一下，除了中位数，还有一个概念叫做总体百分位数。它其实是中位数的延伸，用来描述一组数据中某个特定百分比处于该值以下的数据的位置。上述60分及其以下的学生，就可以用第60百分位数来表示，即60%的学生成绩在这个分数以下;70分及以下的学生则可以用第70百分位数来表示。

通过初中与高中知识的联系，可以引导学生回顾中位数的知识，还可以降低学生对总体百分位数的理解难度，并为后续总体百分位数估计的计算奠定基础。

（二）教学——探究与互动的深度学习模式

高中数学课标强调，数学教学必须以学生为主体，注重学生自学能力的培养，而探究与互动则是培养学生自学习惯的重要方式。探究与互动的教学方式强调学生的自主学习和发现，培养了学生的探究精神和学习能力。通过自主思考、合作讨论和实践尝试，学生能够充分运用数学知识主动解决问题，形居了独立思考和解决问题的能力。对总体百分位数的计算是本课时的重难点，总体百分位数的计算方法有多种多样，教材主要讲述了i=n×p%的计算方式。通过探究与互动的方式，学生能够深入理解数学概念与原理。学生通过自己的探索和发现，能够全面地理解数学概念背后的思想，提高对数学知识的抽象理解能力。

师：上面用了解学生成绩的方式介绍了百分位数的概念，但是在现实中一个班级很少有100名学生，而学生的成绩几乎不会是1～100。我们以本班为例，计算一下本班数学成绩的75%分位数，需要哪些条件？有哪些方法呢？

生1：我认为必须了解班级的人数，还要统计班级学生的分数。

生2：我统计了一下我们班级的人数为32名。

生3：我统计了本班所有学生的成绩，从低到高如表1所示。

师：很好，在知道了学生人数和学生成绩后，如何计算75%分位数呢？它大致处于什么区间呢？

生：从表1可以发现，学生成绩的中位数为（72+74）÷2=73，而中位数为50%分位数。因此可以推断75%分位数肯定大于中位数，即75%分位数位于74～98之间。

师：很好，但是这个区间仍然太大，还应该再缩小一下，谁有办法再缩小一下范围？

生：75%分位数恰好处于50%分位数和100%分位数中间，因此，可以将75%分位数当作50%分位数和100%分位数的中位数，即处于84、85、88中间。（84+85+88）÷3≈85.7。

师：很好，上述方法通过两次分割的方式计算出了75%分位数，但是还有一种直观的计算方法，一共有32名学生，其75%为：32×75%=24。因此，可以认为75%分位数为第24名学生的成绩，即85，有了这个公式，我们就可以计算任意百分位数的值。

（三）作业——基于实践调查的作业设计

新课程标准强调在教学中要强化学生的知识应用能力，因此，在设计总体百分位数作业时可以通过实践调查的方式，提高学生的知识应用能力。（1）确定调查主题。先选择一个与学生所学知识相关的主题或问题，如学校不同教师年龄段的分布、学校中不同班级的学生身高分布等。（2）制订调查计划。设计合适的调查方法和样本，先选择适当的数据收集方式，如问卷调查、实地测量等。（3）收集数据。组织学生进行实践调查，收集相关的数据。根据调查计划，学生可以采用不同的方法去收集数据，如测量身高、统计人口数据等。（4）整理和处理数据。学生需要将采集到的数据进行整理和处理，如整理数据表格、计算数据的均值、中位数等统计量。（5）计算总体百分位数。通过计算总体百分位数帮助学生理解和应用知识。学生可以根据自己收集的数据，计算不同百分位数所对应的数据值，比如50%的身高位于多少厘米以下，75%的教师年龄在多少岁。（6）分析和解释结果。学生需要对所得到的结果进行分析和解释，根据计算的总体百分位数，对数据的分布和特征进行说明。学生可以比较不同群体之间的差异，探讨可能的原因等。

我班打算选取部分学生加入篮球队，篮球队成员必须有身高优势，已知我班男生有28名。篮球队成员的身高不能低于180 cm，如果打算选取我班男生身高的前25%加入篮球队，请通过调查和计算的方式，列出我班前25%分位数男生的身高和画出身高趋势，请问能否组建篮球队？

解析：要求每位学生提供自己的身高数据，可以采用以下方式进行数据收集，其数据如表2所示。

1.在班级群或纸质调查表中，要求学生填写身高并匿名提交。

2.组织学生进行实地调查，让每个学生互相测量身高，并进行记录。

3.在班级中设置一个测量身高的站点，每个学生轮流测量并记录下来。

想要得到前25%学生的身高，即计算75%分位数学生的身高。通过总体百分位数的计算公式，i=n×p%可得，i=28×75%=21，即第21位学生的身高是180 cm，因此可以发现，前25%学生的身高满足要求。图1形象地展示了学生的身高排列曲线，可以明显发现第21名学生的身高是180 cm，因此能够满足要求。

通过以上步骤的实践调查作业设计，学生可以以真实的数据为基础，运用所学的知识进行实际问题的解决。这样的作业可以激发学生的学习兴趣和动力，提高他们的知识应用能力和统计分析能力。

（四）评价——成绩、实践、社交多维评价体系

成绩评价：设计与“总体百分位数的估计”相关的问题，如对百分位数的定义和计算方法的理解，以及在给定数据中估计总体百分位数的能力。查看学生在计算总体百分位数时是否正确使用了相应的计算方法、公式。学生的计算准确性和技巧能够反映其对总体百分位数估计的熟练程度。通过与其他学生的比较以及排名情况展示其对总体百分位数估计的掌握程度。如果学生的成绩高于平均水平，说明在总体百分位数估计方面的掌握程度较好。

实践评价：实践能力主要考查学生在实践中对总体百分位数的估计的运用能力。如，设计实际问题或案例来评估学生对总体百分位数的估计的掌握程度，通过模拟真实世界中的数据分布情况，要求学生根据所给数据进行总体百分位数的估计。学生需要运用所学的方法和技巧，结合实际情况进行分析和判断，并给出合理的估计结果。通过评估学生对实际问题的解决能力，可以更准确地评价其对总体百分位数估计的掌握程度。

社交评价：社交评价是评估学生与他人合作、沟通和交流能力的指标。具体评价可以以小组的方式进行，要求学生设计并实施总体百分位数估计的实验或调查。学生需要自主选择适当的数据进行收集，采取合适的方法进行总体百分位数的估计。设计小组合作项目，要求学生在小组中合作完成实践调查任务，并展示调查结果。评价的依據可以是学生在小组合作中的表现、沟通交流的能力等。这种实践能力的评估方法可以更好地考查学生在实际情境中应用总体百分位数估计的能力，包括数据收集、数据处理和结果解释等方面的能力。

通过将成绩、实践和社交评价相结合，可以全面评估学生在“总体百分位数的估计”教学中的表现和能力。这样的多维评价体系可以激发学生的积极性和主动性，提高学生的学习效果和综合素质。教师可以根据评价结果对学生进行个别指导，并帮助学生进一步提升知识应用能力。

（作者单位：吴忠市红寺堡区红寺堡中学）

编辑：曾彦慧