高中数学探究式教学分析

马春霞

探究式教学是以学生为主体的教学模式，其为学生提供了较多的思考问题的机会，有利于学生深入理解学习内容，同时有效突破传统应试教育对学生思想的束缚，拓展数学学科学习思路，培养学生解决问题的思维，从而达到提升学生数学学科核心素养的目标。本文以“三角函数的图象”知识点教学为例，通过探究式教学模式的应用，力求在探究学习中使学生掌握数学知识、技能，进而达到提升学生解决问题能力的目标。

一、教学内容分析

函数是高中数学教学的重难点，蕴含着丰富的数学思想，如模型思想、换元思想、联系类比思想、数形结合思想等，对于此阶段学生来讲，三角函数问题相对困难。三角函数图象是在学生掌握了单位圆中正弦函数线以及诱导公式基础上开展的学习活动，这一部分内容不仅是对学生以往函数知识掌握程度的考查，而且是学习其他函数知识的基础。

二、学情分析

在前期学习中，大部分学生已经对函数知识有一定了解，初步掌握了函数绘图的技能，且能较为熟练地绘制函数图象，总结性质，因此，学生对三角函数图象的学习有一定的心理准备，且在信息的分辨能力、语言表达能力以及辩证思维能力方面也有了明显提升。在本节内容学习过程中，探究式教学应用既能有效落实学生为本的教育理念，又能在不同问题的探究中加深学生对三角函数知识的认知，从而进一步帮助学生建立函数知识体系。

三、教学方法

本堂课主要以探究式教学为主，采用问题引导方式，引导学生开展小组合作探究学习，以降低学生自主学习数学知识的难度，同时达到拓展学生学习思路，提高学生学习质量的目标。

四、教学目标

整体目标：（1）能借助正弦线作出正弦函数图象，并能将作图方法迁移到余弦函数学习过程中，正确画出函数图象;（2）掌握“五点法”作图，并作出正、余弦函数的图象;（3）明确数形结合思想在函数学习中的重要性，培养学生的逻辑推理能力。

课时目标：（1）了解三角函数特征，并掌握探究函数图象的思路;（2）能确定正弦函数值，并确定其中的任意点的位置，正确作出正弦函数图象;（3）将相关知识迁移、应用，正确作出余弦函数的图象;（4）掌握“五点法”，并能够作出正弦函数、余弦函数图象。

（设计意图：在单元整体视角下分析本节课的教学目标，一方面能够兼顾整个教学计划，另一方面单元整体视角下单一课时目标也能够分解单元学习目标，降低学习难度，同时将数学核心素养、数学思想等融入目标设计过程中，从根本上将学科素养与课堂活动联系起来，借助探究活动实现高效教学。）

五、教学过程

任务一：设置问题，引入新课

问题1：同学们，之前我们学习过哪些函数，谁能简单说一说？我们在学习函数过程中能够总结出哪些经验呢？学习函数的一般思路是什么？

预设：

学生1：一次函数、二次函数、反比例函数……

学生2：学习函数应先学习函数的基本概念，然后再学习函数的特征以及函数图象的绘制和计算，最后学习函数的性质以及运用。

学生3：……

问题2：三角函數是一类新函数，按照刚才我们复习的知识，你们觉得在学习了三角函数的定义之后，还应该学习关于三角函数的哪些内容呢？

预设：学习三角函数的特征、图象、性质以及运用。

教师：非常好，接下来我们看看三角函数图象的作法是不是和先前学习的函数一样呢？

追问（1）：作函数图象最原始的方法是什么？（预设：描点法）

追问（2）：用“描点法”作函数图象的主要步骤是怎样的？（先找到对应的点，然后描点连线……）

教师先提出问题，随后让学生回忆学习过的函数知识及函数图象的画法，引出描点法等函数图象画法。

（设计意图：通过简单的问题设计，教师将本堂课要学习的内容清晰地呈现在学生面前，引导学生自己说出接下来需要研究的问题，以问题引导学生自主阐述的方式，更能够激发学生学习的主动性。）

问题3：如何做出点（，sin）呢？

学生探究点（，sin）的作法，在探究过程中发现每个小组作出的点的位置都不太一样，原因是点（，sin）的横纵坐标都不是具体的数字，只能估算出点的大概位置，大家估算的不一致，因此最后点的位置也不一致。教师适时提出问题：“你们觉得这个点能用初中学过的代数描点法作出来吗？”“如果用这种方法描点作图，那么最终的图象会出现什么问题呢？”由此引出下一个问题。

教师追问：能不能用其他的方法描点呢？比如，在平面直角坐标系中，能不能用其他的方法精确地描出点（，sin）呢？

教师再次提出问题，从代数描点法与描点（，sin）之间的冲突，引出几何描点法，学生在教师引导下作出点（，sin）。这个过程能够使学生意识到几何描点法在三角函数中应用的重要性，同时也将数形结合思想渗透其中。

（设计意图：代数描点法是函数作图中常用的方法之一，也是最为基本的方法，但是点（，sin）并不能用代数描点法精确地确定位置，因此教师顺势追问，通过问题情景的设计，将三角函数图象的画法与学生之前学习过的画法联系起来，引导学生将现有的函数图象作图经验迁移到三角函数作图中，进而探究三角函数图象描点作图的方法。）

任务二：探究学习，感受内涵

问题4：正弦函数的图象应该如何画呢？能否借助点（，sin）的作法，画出函数y=sinx（x∈[0，2π]）的图象呢？

教师鼓励学生探究函数y=sinx（x∈[0，2π]）图象的画法。

小组1：借助几何描点法描出横坐标、、、、、π…2π等点对应的纵坐标，然后连线作出整个三角函数图象。

小组2：可以在[0，2π]区间上任意取一些横坐标数值，然后用光滑的曲线进行图象的绘制。

小组3：……

教师鼓励学生借助多媒体学习工具对上述两种方法进行尝试，最终确定小组1的方法比较可行。

（设计意图：通过让学生回忆三角函数相关内容，为学生掌握画点原理、方法提供认知铺垫，更进一步认识到三角函数的特性，同时为后续研究活动的组织与实施奠定基础。在这一过程中，学生也亲身经历了三角函数的探究过程。不仅如此，教师在教学过程中借助多媒体教学软件与线上学习工具，将三角函数图象产生的过程动态化地呈现出来，有利于激发学生学习三角函数的兴趣，增强学生的学习自信心。）

问题5：已经做出了y=sinx（x∈[0，2π]）的图象，那么你们能作出正弦函数y=sinx（x∈R）的图象吗？

教师继续提出探究式问题，学生依然以小组为单位，针对教师提出的问题进行探究，在这一问题探究过程中，先引导学生对上个问题中三角函数的相关内容进行回顾。随后，教师可以追问：根据三角函数的定义，如果绘制正弦函数y=sinx（x∈R）的图象，你认为需要画出整个定义域上的图象吗？还是选择某一个区间即可呢？然后学生继续借助多媒体教学工具，将y=sinx（x∈[0，2π]）的图象向右、左分别平移，最终得出函数的图象。在整个过程中，教师可以借助多媒体教学工具将整个函数图象产生的过程呈现出来，学生在观察与实践的过程中能够对函数图象有更加深入的理解，从而正确作出正弦函数y=sinx（x∈R）的图象。

（设计意图：此活动的设计是引导学生从有限到无限的认知扩充，在教师引导以及学生互动探究实践活动中，不仅能加深学生对三角函数图象的认知，而且能更进一步拓展学生学习思路;同时将数形结合思想等融入探究活动，巧妙借助数学思想解决课堂问题，提升学生解决问题的能力，更进一步培养学生的数学核心素养。）

任务三：合作探究，延伸运用

问题6：我们已经探究得出正弦函数图象，那么在此基础上你们能画出余弦函数的图象吗？

正余弦函数之间本身有着非常密切的联系，上述几个环节中学生在合作探究过程绘制了正弦函数的图象，那么可以运用相同的方法绘制出余弦函数的图象。在余弦函数的图象绘制过程中，学生先运用几何描点法进行余弦函数描点;与正弦函数不同的是，余弦函数线是水平的，可以通过函数y=x进行转化，然后再作出点，从而得出余弦函数的图象。

在探究过程中，部分学生提出可以根据同角三角函数关系sin2x+cos2x=1，得出余弦值，但是最后通过实践发现行不通，最终确定通过图象转化的方式进行余弦函数的绘制。

（设计意图：通过正弦函数图象向余弦函数图象的转化，将类比思想、化归思想等融入学生学习过程，既能帮助学生很好地将三角函数知识融会贯通，又能更进一步培养学生的逻辑推理能力，使學生在探究中建立起函数知识体系，这对提升学生的数学学科综合素养能够产生积极影响。）

任务四：拓展运用，发散思维

问题：如果对于正余弦函数的精确度要求不高，那么你能用什么方法快速画出正余弦函数的图象呢？

借助开放式问题的方式，引导学生在已知正余弦函数图象作图方法的基础上进行深入研究与分析，鼓励学生观察图象中的关键点，如纵坐标为0时，横坐标是哪些点，横坐标为特殊值时纵坐标是几等，然后将这五个点找出来，就能大致作出函数图象，这也是常用的“五点作图法”。随后教师给出相应的例题，考查学生是否真正掌握了“五点法”，如分别作出下列函数的简图（用“五点作图法”）：（1）y=2sinx（x∈[0，2π]）;（2）y=cos2x（x∈[0，π]）。观察学生作图的过程，了解学生具体掌握情况。

（设计意图：让学生主动观察、主动分析、主动找到函数图象中的特殊点，然后直接得出大致的函数图象，在作图过程中夯实巩固学生对“五点作图法”的掌握牢固程度，同时借助“问题+例题”的方式，也能够培养学生举一反三的能力，从而达到提升学生应用能力的目标。）

六、案例反思

本堂课主要研究三角函数图象部分内容，在具体设计中，教师始终坚持以学生为主体的探究式教学模式，从高中生的学习兴趣以及学习情况入手，选择符合学习需求的教学方法，极大提升了学生的学习兴趣。在具体设计中，教师以几个问题串联整堂课，一方面改变了传统教师讲解、学生被动听讲的教学模式，另一方面有效渗透了学生为主体的教学理念，借助情境有效调动学生自主学习积极性。高中阶段虽然数学知识难度提升，但是学生经历了九年义务教育，其自主学习能力也逐渐提升，通过问题引导模式，将本堂课的学习任务进行了拆分，学生的学习难度降低。不仅如此，在问题设计中，教师将新旧知识的学习与学生的活动衔接起来，温故知新，通过问题引导带动学生学习新知识，同时构建函数知识体系。

在以后的教学过程中，教师还可以将教学评价、课堂作业融入其中，借助探究式活动将课堂内外衔接起来。此外，教师还可以进行跨学科活动的设计，通过跨学科活动设计的方式，鼓励学生在探究过程中将学科之间的知识衔接起来，解决生活中的不同问题，最终达到提升学生综合学习能力的目标。

（作者单位：甘肃省康乐县康乐中学）

编辑：陈鲜艳