正余弦定理综合应用教学案例

一、学情分析

学生在上节课已经复习了正余弦定理基本知识、面积公式等，这个知识在高一新授课学习过，但学生遗忘比较严重。因此，教师需要在教学过程中掌握学生的如下情况：第一，在基础知识的理解方面，学生是否能正确地表达正余弦定理的公式？是否能够根据已知条件正确代入数值并求解未知量？第二，在定理应用方面，学生是否能够正确判断在给定问题中使用余弦定理还是正弦定理？是否能在不同情境下选择不同的定理以达到最有效解决问题的目的？第三，是否有学生在应用正余弦定理时遇到困难？是否存在常见的错误模式，如公式混淆、数值代入错误等？

授课教师则需要通过分析上述情况，观察学生在课堂上的表现，如学生是否能够积极参与课堂活动、提问或与同学合作，及时发现问题并提供反馈，进而更全面地了解学生在正余弦定理应用方面的问题，为个性化教学和针对性帮助提供有力的依据。

二、教学重难点与目标

本堂课的教学重点是通过概念回顾、题目训练，使学生逐步理解并熟练掌握正余弦定理，进一步运用定理解决问题。而教学难点主要体现在熟练运用正余弦定理来解三角形中的面积和周长范围问题。本节课拟通过复习回顾来引入概念，结合实例演示进行辅助讲解，小组讨论实现交互学习，最后设置作业来巩固练习，进而达成如下教学目标：

1.通过课程教学熟练掌握正余弦定理、三角形面积公式以及边角关系互化。

2.培养逻辑思维能力、独立解决问题的能力。

3.通过小组合作交流解决问题培养合作意识，增强表达能力及自信心，提高学习的自觉性、主动性。

三、教学过程

（一）复习回顾，引入概念

教师：同学们好！上节课我们复习了正余弦定理及相关的三角形边角之间的关系，下面同桌相互提问，通过一问一答来复习这些知识（时间2分钟）。课后作业第2题（新教材必修第二册54页第22题），有些同学做错了，下面小组交流一下这道题目，然后小组代表来讲讲解题过程（时间为3分钟）。本节课主要包括对正弦定理、余弦定理、面积公式及其变形公式的回顾，以及边角互化的解题技巧。

（设计意图：第一，通过对公式的回顾为本节课解答问题提供工具;第二，相互提问复习给每个同学思考并表达的机会。）

例题1：已知a，b，c分别是△ABC三个内角∠A，∠B，∠C的对边，且acosC+asinC-b-c=0.问题：（1）求∠A.（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c.

教师：同学们相互提问得都很认真，作业题讨论得也很深入。下面哪个小组同学来给大家讲一讲第（1）小题的解题思路。好，A同学来讲。

A学生：第（1）小题求角A，可以把条件式子中的边化成角，统一成角来解。

解：∵acosC+asinC-b-c=0，由正弦定理可得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入消掉2R可得：sinAcosC+sinAsinC-sinB-sinC=0.

∵A+B+C=π，

∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，

代入上式可得：sinAsinC-cosAsinC-sinC=0，

∵sinC≠0，∴sinA-cosA=1，

∴2（sinAsinC-cosA）=1，

∴sin（A-）=，

∵A是三角形內角，∴A-=，A=.

教师：A同学讲得非常好！过程很规范，大家给他鼓掌，A同学来谈谈解题后的体会！

A学生：这个解法是把条件式子中的边化成角，这个式子的特点是边的齐次式，常用正弦定理转化统一成角的关系式来解题;第二就是转化后式子中有三个角，常借助三角形内角和转化减少式子中角的个数;第三就是三角恒等变换公式要非常熟练，才能看到题目时及时想到这种解法。

（二）实例演示，辅助讲解

教师：说得非常好！哪个小组同学还有不同的解法？这道题能否用角化边来解呢？同学们小组讨论交流2分钟。（老师在多媒体上展示第二种解法）

（设计意图：使学生能够直观感受边化角和角化边、正弦定理和余弦定理之间的转化关系，能够了解到同样一道三角函数题可以用不同的方法来解决。）

解：由余弦定理得cosC=，

∴a·+asinC-b-c=0，

∵asinC=csinA，

∴a2+b2-c2+2bcsinA-2b2-2bc=0，

∴sinA-1=，∴sinA-1=cosA，

∴sinA-cosA=1，

∴sin（A-）=，A-=，A=.

教师：看来边化角和角化边两种方法都是可行的，解三角形这类题一般都可以用这两种方法，至于哪种方法更好，视具体题目而定。哪个小组同学来讲第（2）小题的解题过程？好，B同学来讲一下！

B学生：由（1）可知A=，a=2，S△ABC=，求b和c.

解：S△ABC=bcsinA=bc=，∴bc=4.由余弦定理得：a2=b2+c2-bc，

∴b2+c2-bc=4，（b-c）2-bc=0，

∴（b-c）2=0，b=c，

∵A=，

∴△ABC是等边三角形，b=c=a=2.

教师：B同学讲得清晰明了，很好！大家给她鼓掌。请B同学来谈谈解题后的体会。

B学生：题目中有面积条件，第一，用面积公式求出bc=4，所以想到边的关系，用余弦定理;第二，解三角形要三个条件才行。

（三）小组讨论，交互学习

教师：说得很好！还要注意解题过程中bc，b+c，b2+c2可以相互转化;其次，该题的条件中a=2和A=是边和对角，我们称为边对角模型。

（设计意图：第一，讨论讲解作业题，可以强化学生对正余弦定理的灵活应用;第二，“兵教兵”来更正错误可引发更深度的学习;第三，可以培养学生反思的意识与合作精神;第四，引出新知识点。）

教师：这个题目把条件改一下，把面积为去掉，只余下两个条件a=2和A=，三角形形状不确定，请同学们来求解面积的范围。即例题2：在△ABC中，a=2，A=，求S△ABC的取值范围。接下来同学们交流5分钟，哪个小组同学来讲一讲解题过程？好，C同学来讲。

C学生：解：由余弦定理得a2=b2+c2-bc=4，∵b2+c2≥2bc，∴bc≤4，∴S△ABC=bcsinA=bc≤，∴△ABC面积范围是（0，].

教师：C同学讲得很好！b2+c2，b+c，bc三者再次说明转化关系，这个条件下能求出周长的范围吗？

C同学：可以，b2+c2-bc=4，∴（b+c）2-3bc=4，bc≤，∴≤4，∴（b+c）2≤16，b+c≤4，∵b+c>2，∴周长的范围是（4，6].

教师：C同学思维很敏捷，解题规范正确，大家鼓掌。哪个小组同学还有其他解法吗？谁来讲一讲？能从“角”方面考虑吗？好，D同学来讲一下你的思路。

D学生：由正弦定理得a=2RsinA，∴2R=，bc=2RsinB·2RsinC=4R2·sinBsinC=sinBsinC，

∴S△ABC=bcsinA=bc=sinBsinC，

其中sinBsinC=sinBsin（A+B）=sinB（sincosB+cossinB）=sinBcosB+sin2B=sin2B+（1-cos2B）=（sin2B-cos2B）+

∵B∈（0，），∴2B-∈（-，）.

由正弦函數的单调性知sin（2B-）∈（-，1]，∴sinBsinC∈（0，]，∴S△ABC∈（0，].

对于周长的范围，b+c=2R（sinB+sinC）=（sinB+sinC），其中sinB+sinC=sinB+sin（+B）=sinB+cosB+sinB=（sinB+cosB）=（sinB+cosB）=sin（B+）

∵B∈（0，） ∴B+∈（，）

∴sinB+sinC∈（，）

∴b+c∈（2，4]，那么周长范围是（4，6].

教师：这种从“角”考虑的解法难度较大，D同学解得很清晰、明了、规范，你们要向他学习善于思考、勤于钻研的好习惯，大家给他鼓掌。D同学来谈谈解题后的体会。

D学生：三角形周长和面积求范围问题，一般都有两种思路“化边用余弦，化角用正弦”，对数的运算熟练常化边，对三角恒等变换公式熟练常化角。

教师：说得真好！如果把这个题目再加个条件：在锐角△ABC中，a=2，A=，面积和周长的范围还能求出来吗？大家讨论交流2分钟。哪个小组同学来说一说，好，E同学来讲一讲。

E学生：加了“锐角三角形”，第二种解法中角B范围是B∈（，），2B-∈（，），sin（2B-）∈（，1]，∴sinBsinC∈（，]，

∴S△ABC∈（，），对于周长范围：B+∈（，），∴sin（B+）∈（，1），∴sinB+sinC∈（，），∴b+c∈（2，4），∴周长的范围是（2+2，6].

教师：E同学考虑得很好，解题很规范，提出表扬！这节课同学们学会了哪些知识，各小组交流2分钟，哪个小组同学来总结一下？

G学生：这节课学习了在三角形中利用正余弦定理进行边角互化，求“边对角”“边邻角”以及三角形面积、周长的计算问题。

（四）设置作业，巩固练习

教师：课堂上同学们表现都很优秀，课下同学们根据课堂上学会的方法自己编制两道三角形中求范围的题目，各小组汇总选出三道最适合同学们巩固的作为课后作业。

（设计意图：鼓励学生参与编制作业、布置作业，可以起到增强学生的学习兴趣、延伸课堂以及继续深入思考和开发创新思维的作用。）

四、教学反思

本节课使用多方法循序渐进地推进正余弦定理的应用学习，通过课程教学和实际观察，发现多数学生对三角函数性质较为熟练，对于基础性题目能够较好地解答，基本能够针对题目恰当使用正余弦定理。但也存在诸多问题：一是部分学生对定理只是了解但不熟练，不能做到举一反三。其二则是“眼高手低”，部分学生存在“一看就会，一做就错”的问题。三是正余弦定理之间的转化不够灵活，做题较慢，且计算量稍大的题目容易出错。四是小组讨论时尽管多数学生可以有效地讨论问题，但仍有部分学生不参与或消极参与小组讨论。

针对以上存在的问题，教师应在接下来的教学过程中进行反思和改进，进一步通过展示不同类型问题、引导问题解决过程、联系实际应用场景、注重与其他数学概念的联系、提供足够的练习机会以及关注学生的反馈来进一步提高教学质量和学生的学习效率，最终促进学生巩固知识，同时推动数学核心素养的形成。

（作者单位：山东省单县第一中学）

编辑：赵飞飞

作者简介：吴新永（1969—），男，汉族，本科，山东省单县第一中学教师，研究方向：高中数学教学。