景朝英
一、教材分析
对于本课内容,新课标提出要引导学生经历具体情境,并从中抽象出椭圆产生过程,概括并理解椭圆定义,并掌握标准方程。椭圆的定义与标准方程的研究方法和之后需要学习的双曲线、抛物线并没有什么区别,而且教材对椭圆研究也非常重视,所以本部分知识起着承上启下的作用。此外,本节内容还涉及数形结合意识、转化思想等,因此教师在对这部分内容进行教学时需要将这些数学思想融入其中。
二、教学目标
1.理解椭圆概念,掌握椭圆标准方程,能够运用坐标法解决几何问题。
2.用坐标法推导椭圆标准方程,锻炼发现、概括、认知规律以及解决实际问题的能力。
3.感受椭圆具有的对称美和简洁美,并增强数形结合思想。
4.培养直观想象、数学建模和数学运算等数学学科素养。
三、教學重点
椭圆定义和椭圆两种形式标准方程的理解、掌握,能够运用坐标法解决几何问题。
四、教学难点
引导学生经历椭圆标准方程推导过程,培养学生的直观想象、数学建模和数学运算等数学学科素养。
五、学情分析
高二学生在之前的学习中已经接触过一些圆锥曲线概念,如圆、椭圆等,但他们的抽象思维能力和数形结合意识还不太强,而椭圆的定义与标准方程这部分内容涉及的概念较为抽象,需要学生具备较强的抽象思维能力,而且本章学习重点是数形结合,需要学生建立代数方程与椭圆之间的联系,所以在本节教学中教师一定要注意这一点。
根据教材内容、学生实际情况以及课本要求,本课教学可采用如下策略:
1.用问题探索活动引起学生学习兴趣,促使学生主动思考。
2.借助实验探究活动让学生亲身感受椭圆画图过程,帮助学生更好地理解椭圆定义。
3.引导学生动手、动脑推导椭圆标准方程,帮助学生更深刻地理解概念,掌握其标准方程。
4.引导学生回忆圆方程求解步骤,通过知识迁移建立椭圆直角坐标系,通过列式运算推导出椭圆标准方程。
5.对典型求解椭圆标准方程例题进行变式,引导学生采用不同的求解方法和思路,帮助学生掌握这类习题本质。
六、教学过程
第一课时
(一)复习旧知
教师:什么是圆?圆的定义是什么?
大屏幕展示圆图片。
学生思考并回答:平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹叫作圆。
教师:大家回答得非常棒,那么大屏幕上圆的标准方程是什么呢?
学生齐声回答:(x-a)2+(y-b)2=r2
教师:大家的回答非常正确。
(二)构建情境,引入椭圆内容
多媒体播放嫦娥探月轨道图,教师提问:轨道图是什么图形?
学生齐声回答:椭圆形。
引入椭圆形状。
大屏幕展示鸟巢图片。
教师:认真观察一下大屏幕上的鸟巢,谁来说说它是什么形状的?
学生回答:椭圆形。
引导学生直观感受椭圆具有的美感,知道椭圆具有对称美和简洁美。
教师:生活中还有哪些物体是椭圆形?
学生思考并回答:排球、鸡蛋……老师,我们今天是不是学习椭圆?
教师:大家猜得非常正确,我们刚才寻找了生活中的椭圆,本课我们重点学习椭圆定义以及如何用数学公式表达椭圆。
(三)合作探究,理解概念
教师:平面内有一个固定的点,到这个定点的距离始终是一个定值的轨迹可以形成什么图形呢?
实验探究1:选择一条定长细绳,将其一端固定在图板某点处,套上铅笔,拉紧绳子,用铅笔画图能够画出什么曲线?
学生动手操作。
教师对学生的操作进行指导,并对结果进行归纳总结。
教师:如果一个平面内有两个确定的点,这两点之间存在一定距离,到这两个定点距离的和始终是一个定值的轨迹可以形成什么图形呢?
实验探究2:选择一条定长细绳,将其两端固定在图板上存在一定距离的两点处,套上铅笔,拉紧绳子,用铅笔画图能够画出什么曲线?
学生动手画图。
教师对学生的操作进行指导并提问学生:若两点之间的距离发生改变,画出的轨迹是否相同?形成的曲线是否相同?
学生动手操作并回答:如果两点间距离发生改变,画出的轨迹也会不同,形成的曲线也不相同。
教师总结:如果细绳长度超过两点间距离,画出的轨迹是椭圆;如果细绳长度和两点间距离相等,画出的轨迹是以两点为端点的线段;如果细绳长度小于两点间距离,则画不出轨迹。
教师:在刚才画椭圆的过程中,有哪些量没有发生变化?
选择学生回答:椭圆到两个固定点的距离和没有发生变化。老师,我知道椭圆应该如何定义了。
教师:好的,那谁可以根据圆的定义和刚才的实验过程,概括一下什么是椭圆呢?
指定学生阐述椭圆概念:老师,我明白了,如果平面内一个动点到两个定点的距离之和等于固定的数,那么这个动点的轨迹就是椭圆。
教师总结:平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于定值的点的轨迹就是椭圆。F1和F2是椭圆的焦点,这两点之间的距离是椭圆的焦距。
多媒体播放椭圆画法视频,要求学生课后尝试手动画椭圆。
第二课时
(一)回顾圆标准方程推导过程
教师:上节课我们已经得出了椭圆概念,但是椭圆如何用数学公式进行表示呢?下面我们就来研究一下椭圆标准方程。
教师:大家想一想圆的标准方程是怎样得到的?
学生思考并回答:建立坐标系,然后寻找限制条件列出方程,并进行简化后得到的。老师,我们是否可以用这种方法推导椭圆标准方程呢?
教师总结:这个问题提得非常好。至于是否可以根据圆标准方程推导过程进行椭圆标准方程的推导就需要我们大家一起尝试了。
(二)推导椭圆标准方程
建立直角坐标系:将椭圆两个焦点F1、F2相连作为x轴,寻找F1、F2中垂线作为y轴,建立平面直角坐标系,x轴、y轴交点为中心点O,椭圆和y轴交点为M。
大屏幕展示平面直角坐标系。
设未知数:将椭圆焦距设为2c,椭圆上任一点到两个焦点的距离之和设为2a(a>c),椭圆上任一点P坐标设为(x,y),F1和F2的坐标分别为(-c,0)和(c,0)。
设置限制条件列方程:根据椭圆概念可以得出:|PF1|+|PF2|=2a(a>c)
替代限制条件:得出方程:+=2a,化简得出椭圆标准方程为:+=1
教师:这个方程还需进行变形,不够简洁。大家再认真观察一下大屏幕上的直角坐标系,找出长度为c、a的线段,想一想a2-c2有什么特殊性?
学生讨论并回答:F1F2=2c,O是中点,所以OF1=OF2=c,根据椭圆概念,如果点P位于y轴上,则PF1=PF2,都等于a,在直角三角形POF2中,运用勾股定理可得PO2=a2-c2。
教师:回答得非常好。那么如果令b2=a2-c2,上述方程可以简化为什么呢?
指定学生回答:+=1,老师,这个方程有什么限制条件吗?
教师:这名同学提出的问题非常重要,+=1就是椭圆的标准方程,但这个方程必须是在a>b>0的前提下。
学生提出疑问:我们刚才推导出来的椭圆标准方程是焦点在x轴上,如果焦点在y轴上,标准方程还是这个吗?如果改变,会变成什么呢?
教师:这个问题大家不妨尝试按照刚才的步骤亲自进行推导。
学生尝试进行推导,最终得出焦点在y轴的椭圆标准方程为:+=1(a>b>0)。
教师:大家做得非常棒。其实除了这种推导方法外,教材中还提到了对称法推导,大家观看一下对称法推导微视频,想想这种推导的核心思路。
播放对称法推导椭圆标准方程的过程。
教师:通过推导我们已经知道了焦点在x轴和y轴的椭圆标准方程,那么这两个标准方程又有什么相同点和不同点呢?大家讨论一下并完成下列表格。
(三)課堂练习
教师:我们已经用数学语言表述了椭圆,下面我们要尝试用数学思维来解决椭圆问题。
例题1:已知椭圆两焦点F1、F2的坐标分别为(2,0),(-2,0),而且椭圆上任意一点到两焦点的距离和为8,请列出椭圆标准方程。
师生互动:教师引导学生用所学知识解决问题。
等到学生得出答案后,教师可出示例题1的变式。
变式:已知椭圆两焦点F1、F2的坐标分别为(2,0),(-2,0),而且椭圆过点(2,-3),请列出椭圆标准方程。
学生独立解答并汇报结果,教师演示、讲解,并概括总结求解椭圆标准方程的方法。
大屏幕展示求解椭圆标准方程的方法:定义法、待定系数法。
例题2:请根据下列条件,列出椭圆的标准方程。
(1)已知椭圆以坐标轴为对称轴,且经过点A(0,2),点B(1/2,);
(2)椭圆经过点(2,-3),且和椭圆9x2+4y2=36存在共同焦点。
学生独立完成问题解答,教师讲解。
(四)布置作业
基础性作业:完成练习1、2。
提升性作业:两人组队相互设计关于求解椭圆标准方程的习题,并进行解答。
拓展性作业:联系以往学过的圆相关知识,对圆概念、标准方程和椭圆概念、标准方程的异同进行分析,并将分析结果列表展示。
七、教学小结
在本次教学中,教师要求学生亲自动手、动脑推导椭圆标准方程,还让学生观看微视频了解对称法推导过程,阐述推导过程中的核心思路。这样的教学方式不仅可以帮助学生更加扎实地掌握椭圆标准方程推导过程和方法,同时锻炼了他们的多项能力,如思维能力、推导能力、分析能力等,为学生以后的数学学习奠定了良好基础。此外,在本次教学中,教师还非常注重课堂练习,有效锻炼了学生的知识迁移能力和知识运用能力。之后布置的作业则属于分层作业,不仅有难度比较低的基础性作业,还有具有一定难度的提升性作业,更有涉及以往学过知识的拓展性作业。这种分层作业不仅可以让各个层次的学生找到适合自己的作业,还能让他们在完成作业的过程中有所收获,加深对本课和以往数学知识的记忆。
(作者单位:甘肃省兰州市永登县第二中学)
编辑:赵飞飞
新课程·上旬2024年3期