负二项分布随机变量和尾概率的界

宋 欢，华志强，侯云艳

（内蒙古民族大学 数学科学学院，内蒙古 通辽 028000）

随着大数据时代的到来，概率论与数理统计的学习成为热点话题。概率论与数理统计的相关知识在解决保险资金投资、消费投资等保险金融的问题中发挥着至关重要的作用［1-3］。尾概率不等式作为概率论的一部分，在解决破产概率、精确大偏差以及大数定律等数学问题中发挥着关键作用。近年来，许多学者开展了关于服从不同分布的随机变量和尾概率不等式研究，并取得了一定的成果。Janson［4］利用Markov 不等式给出几个服从几何分布的独立随机变量和尾概率的界；Lu 等［5］通过对服从几何分布的独立随机变量和尾概率的界进行改进，得到相应的定理，并给出了优化界限的特定条件。华志强等［6］给出了随机变量和在不同分布、负相依情形下尾概率的界。于海芳［7］讨论了宽上限相依随机变量和尾概率的界。本文记负二项分布为NB(r,p)，几何分布记为Ge(p)，当r=1 时负二项分布就退化为几何分布。以此为基础，本文将研究比几何分布更为一般的负二项分布，讨论服从不同负二项分布的随机变量和分别在独立和负相依条件下尾概率的界。

1 预备知识

首先给出负二项分布的概念：

定义1［8］设Yi～NB(ri,pi)，分布列为

其中0 ＜pi＜1，ri∈Z+，i=1,2,…,n（n≥1）。

在负二项分布的基础上给出下列定义：

对于任意非零数z，当 |z| (1-pi)＜1 时，负二项分布的概率母函数为

定义2［9］称随机变量序列{Yi,i=1,2,…}是负相依的。如果对于任意正整数n及任意实数y1,y2,…,yn，均有

成立。

引理1［4］（i）对于任意的正整数m和n（m≥n），有

（ii）对于任意实数l和s，当l≥s时，有

引理2［4］在引理1 的条件下，对于任意y≥0，z≥1 且z(1-p*)＜1，有

引理3［9］设{Yi,i=1,2,…}是一个随机变量序列，{fi(g),i=1,2,…}是一个实值函数序列。

（i）如果{Yi,i=1,2,…}是负相依的，且{fi(g),i=1,2,…}是单调函数序列，则{fi(Yi),i=1,2,…}也是负相依；

（ii）如果{Yi,i=1,2,…}是取值非负的、负相依的随机变量序列，则对于n=1,2,…，有

2 主要结论

文献［9］中给出了求独立随机变量和尾概率的界的方法，文献［4］讨论了服从几何分布独立随机变量和尾概率的界。在此基础上，本文通过一个概率母函数和Markov 不等式得到负二项分布随机变量和尾概率的上界。

证明如果0 ≤t ＜p*，由式（1）知

通过Markov 不等式可以得到

由于f(x)=-ln(1-x)在(0,1)上是凸函数，对于0 ≤t＜p*，则式（4）可写成

令t=(1-α-1)p*，将其代入式（6）中，即可证得定理。

当对p*进行定义时，可以在一定的程度上改进式（4），使得服从不同负二项分布独立随机变量和尾概率的上界更加精确。

定理2在满足定理1 的条件下，则有

证明当p*＜1 时，定义

因为 |z|(1-pi)＜1，则有z-1＞1-p*≥1-pi，对任意的i都成立。通过式（1）有

由f(x)=-ln(1-x)凸函数的性质及式（8）、式（9）可得

由引理2、式（8）和式（10）可知

对于任意α≥1，利用凸函数的性质，可知

因此，通过对式（12）积分，对所有α≥1，有

成立。将式（13）代入式（11）中，并对两边取对数，即可证得式（7）成立。

当α≤1 时，可以使用同样的方法限定P(Y≤αu)的上界。

证明类似定理1 的讨论，从而得到

将t=(α-1-1)p*代入式（14）中，即可得证。

以上讨论了服从不同负二项分布独立随机变量和尾概率的上界，下面给出了负二项分布独立随机变量和尾概率的下界。

定理4在定理1 的条件下，有

证明当B≥1，0 ≤x≤B时，令f(x)=B(x-ln(1-x))-ln(1-Bx22)，并且f(0)=0。由于函数f(x)是单调递减的。即

令β=r**u，再根据定理3（令α=1-β）和 式（15）（令B=p*μ≥r*），从而有。再由式（3）可知

将β=r**u代入式（16）中，即可得证。

对随机变量序列添加相依关系，得到服从负二项分布的负相依随机变量序列和的尾概率的上、下界。

证明当0 ≤t＜pi，由泰勒展开式有e-t-1+pi≥pi-t＞0。因此由式（1）知

证明方法与定理1 类似，从而可得

将t=(α-1-1)p*代入式（17）中，即可得证。

证明若t≥0，有et-1+pi≥pi+t＞0,则由式（1）可知

因此，由引理3 可知

类似地，由Markov 不等式［9］和函数的凸性，可以得到

将t=(α-1-1)p*代入式（18）中，即可得证。

本文对比服从不同负二项分布的独立随机变量和的尾概率不等式，可以发现服从不同负二项分布的随机变量和在独立和负相依下的尾概率具有相同的界。

3 结语

本文首先讨论了服从不同负二项分布独立随机变量和的尾概率，给出了服从不同负二项分布的独立随机变量和的尾概率的界，并对p*的范围进行限定从而改进了界的范围。其次讨论了服从不同负二项分布随机变量和在负相依条件下的尾概率的上界和下界；最后可以发现在负二项分布中，引入相依关系后得到的随机变量和尾概率的上界和下界与独立随机变量和尾概率的界一致。