构造法求解一类圆锥曲线斜率问题

李永莲

摘 要：圆锥曲线中与斜率有关的问题综合性较强，属于偏难题.常规解法对于学生分析问题、数学运算等方面的能力要求很高.在这类问题的解法教学中，在强调通解通法的基础上，如果能够引导学生依据斜率公式的结构特征巧妙构造，在一定程度上，可以有效降低数学运算的难度，提高解题效率，最终达到培育学生数学核心素养的目的.

关键词：直线斜率;通解通法;构造

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2024）07-0076-03

数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程.主要包括：理解运算对象、掌握运算法则、探究运算方向、选择运算方法、设计运算程序、求得运算结果等.数学运算是数学活动的基本形式，也是演绎推理的一种形式，是得到数学结果的重要手段.其实，正是因为圆锥曲线综合题的特点，我们在教学中可以适当利用这些资源，来培养学生数学运算等核心素养.

1 试题呈现

2 解法探析

2.1 参考解法

解析 将点A的坐标代入双曲线C的方程有

设直线l的方程为y=kx+h，另设P，Q两点的坐标分别为（x1，y1）和（x2，y2），联立直线l和双曲线C的方程，消去y可得

（2k2-1）x2+4khx+（2h2+2）=0.

根据已知条件kAP+kAQ=0，而

2.2 解法优化

因直线PQ不经过点A，可设其方程为

m（x-2）+n（y-1）=1（m，n不同时为0）.

（x-2+2）2-2（y-1+1）2=2.

即（x-2）2-2（y-1）2+4（x-2）-4（y-1）=0.

将上式中所有一次项乘m（x-2）+n（y-1）得

（x-2）2-2（y-1）2+［4（x-2）-4（y-1）］·

［m（x-2）+n（y-1）］=0.

整理得：（1+4m）（x-2）2-（4m-4n）（x-2）·（y-1）-（4n+2）（y-1）2=0.

将上式左右两边同时除以（x-2）2得

2.3 方法要点

2.3.1 适用情形

不经过点A（x0，y0）的直线l与二次曲线C交于P，Q两点，研究的是两直线AP，AQ的斜率之间的关系，比较常见的情形是研究kAP+kAQ或kAP·kAQ.

2.3.2 解题步骤

此类问题的解题过程一般有如下几步：

S（k）=0的两个实数根，根据韦达定理即可得出两者之间的关系kAP+kAQ和kAP·kAQ.

3 例题示范

解析 因为直线l不经过点P（0，1），可设其方程为mx+n（y-1）=1（m，n不同时为0）.

将其中一次项y-1乘以mx+n（y-1）得

x2+4（y-1）2+8（y-1）［mx+n（y-1）］=0.

整理，得x2+（4+8n）（y-1）2+8mx（y-1）=0.

将上式左右两边同时除以x2，得

即直线l过定点（-1，-1）.

4 教学建议

“构造法”在求解过程中，的确可以有效降低运算的难度，但却存在两个理解上的难点.

第一，不经过点A（x0，y0）的直线l的方程可以

第二，将方程G（x-x0，y-y0）=0中的所有一次项都乘以m（x-x0）+n（y-y0），常数项乘以［m（x-x0）+n（y-y0）］2，构造出关于x-x0和y-y0的二次齐次式方程H（x-x0，y-y0）=0.这一步是为在H（x-x0，y-y0）=0的两边同时除以（x-x0）2，从而构造出关于k的二次方程S（k）=0，将直线斜率转化为方程S（k）=0的实数根.

5 结束语

通解通法固然不能偏廢，但对于某些典型的问题类型，我们可以引导学生分析得出较为优化的解法，降低运算量，从而培养学生良好的思维品质.对问题进行充分的分析和思考，在一定程度上可以减少运算的难度，从而提高解题的效率.

参考文献：

［1］ 张殷兵.构造法在高中数学解题中的运用措施探讨[J].数理化解题研究[J].2021（09）：31-32.

[2] 程建刚.构造法在高中数学圆锥曲线解题中的巧妙运用[J].中学数学，2016（07）：71-73.