高观点下的高中数学解题策略的研究

张泽 代红军

摘 要：对2023年北京高考数学第19题解法采用文献法，针对8篇文献的解法进行归纳比较，从两个视角给出了该题的8种解法；对比两个视角的不同解法，发现高观点下的数学解题策略不仅能优化解法，降低运算能力要求，还能更好地培养学生的数学核心素养.

关键词：高观点；数学解题策略；文献法

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2024）07-0065-04

收稿日期：2023-12-05

本文参考的几篇文章对2023年北京高考数学第19题的解法进行了分析，主要解法有设点并用椭圆普通方程来表示（以下简称“普通设点法”）、设点并用椭圆参数方程来表示（以下简称“参数设点法”）、设线法、反设线法.除了参考的第5篇文章没有提到命题背景，其余7篇文章都揭示了命题背景为高等数学下的帕斯卡定理，从而可知命题人站在高等数学层面来命制该高考题［1-8］.

1  考题再现

（1）求E的方程；

（2） 设P为第一象限内E上的动点，直线PD与直线BC交于点M，直线PA与直线y=-2交于点N.求证：MN∥CD.

2 解法探究

2.1 第（1）问解法探究

2.2 第（2）问的初等数学解法探究

解法1 因为P為第一象限E上的动点，设

联立直线PA方程与y=-2，得

4+9k2x2-54k2x+81k2-36=0.

直线MN的斜率为

即kMN=kCD，MN与CD不重合，所以MN∥CD.

即kMN=kCD，所以MN∥CD.

2.3 第（2）问的高等数学解法探究

利用仿射变换，将椭圆转化为圆进行求解（如图1，图2）.

即E′：x′2+y′2=4，A′（0，2），C′（0，-2），B′（-2，0），D′（2，0）.

又因为m2+n2=4，所以kM′N′=1.

又kC′D′=1，即kC′D′=kM′N′.

所以C′D′∥M′N′，所以MN∥CD.

又kC′D′=1，即kC′D′=kM′N′.

所以C′D′∥M′N，因此MN∥CD.

解法7 设直线P′D′的方程为y′=kx′-2，直线B′C′的方程为y′=-x′-2，

（1+k2）x′2-4k2x′+4k2-4=0，

进而kM′N′=1.

又kC′D′=1，即kC′D′=kM′N′.

所以C′D′∥M′N′，所以MN∥CD.

所以kM′N′=1.

又kC′D′=1，即kC′D′=kM′N′.

所以C′D′∥M′N′，所以MN∥CD.

3 结束语

这道解析几何解答题考查学生的逻辑推理和数学运算的核心素养，尤其对学生的运算能力提出很高的要求.该题需要学生能灵活运用整体代换的思想进行算式化简，如两种视角下的解法1、5中对斜率分式表达式的化简.初等数学视角下的解法1，需要学生能把椭圆E的方程表达式进行变形后代换，然后代入分式之中进行约分化简；高等数学视角下的解法5，则需要学生把圆E′的方程表达式进行整体代换.经过初等数学和高等数学两种不同视角的解题过程的对比，显然可知利用高等数学的仿射变换把椭圆变为圆以后再进行解题，运算简便许多，也相应提高了学生对高考数学的解析几何解答题的计算信心.在教学中，教师应把高等数学的思想和方法渗透于初等数学的教与学中.学生也应站在更高的观点下解题，不仅增加了解题的信心，也极大激发了学生学习数学的兴趣.

参考文献：

［1］秦文波，黄中华，杨超.2023年北京卷19题的解法、背景及命制思路探究[J].理科考试研究，2023，30（21）：29-31.

[2] 周宗杰，张建明.例谈数学运算和逻辑推理能力的培养：以2023年北京卷第19题为例[J].中学数学教学，2023（05）：63-65.

[3] 甘志国.2023年高考数学北京卷平面解析几何解答题的多解、背景及推广[J].数理化解题研究，2023（28）：46-48.

[4] 甘志国.2023年高考数学北京卷平面解析几何解答题的多解探究[J].高中数理化，2023（13）：5-6.

[5] 曹付生.2023年北京数学高考解析综合题的解题策略[J].中学生数学，2023（19）：32-34.

[6] 王长友，韩佳琦，郭菁.核心素养导向下的解析几何中坐标法的再理解：由2023年高考解析几何综合题引发的思考[J].教学考试，2023（38）：54-60.

[7] 王伯帆.对2023年北京卷解析几何解答题的思考与探究[J].数学通讯，2023（16）：34-35.

[8] 陈学义，赵慧娥.多视角探求2023年北京高考解析几何题[J].中学生数学，2023（19）：35-37.