例谈高中数学的解题技巧

数学是高中教育的重要组成部分，对培养学生的数学思维和综合能力具有重要作用。但高中的数学知识大多较为抽象，学生在学习过程中可能会遇到许多困难。为了帮助学生克服数学学习上的困难，提高学生的数学学习兴趣和学习效率，教师应充分发挥数学学科优势，创新教学方式和方法，引导学生自主学习和思考问题。

解题技巧是高中数学的重点教学内容，它在很大程度上影响了学生数学学习效率的提高。在开展高中数学教学的过程中，教师要加强对解题技巧的分析和研究，并在日常的教学中加以渗透，以帮助学生掌握科学高效的解题技巧。此外，随着新课改的不断推进，高中数学的教学重心发生了较大变化，从注重知识传授转变为以培养学生的数学解题能力为核心。在这样的教学背景下，高中数学教师不仅要向学生传授基础知识，还要让学生掌握高效的解题方法，提高学生的自主学习能力和数学思维能力。基于此，笔者从函数、数形结合思想、分类和归纳法、方程思想四个方面出发，分析高中数学的解题技巧，以期帮助学生掌握高效的解题方法，提高学生的解题能力。

一、高中数学常见解题技巧

（一）运用函数方法，妙解数学题

1.利用函数图象和函数性质分析题目。利用函数图象和函数性质分析题目是教师在讲解函数知识时常用的解题方法，可以帮助学生通过分析函数图象和函数性质提取题目中所包含的信息。

例如，在为学生讲解函数y=f（x）时，教师可以利用函数图象和函数性质，引导学生将题目中所给的信息进行分类，接着分析函数y=f（x）的图象，并了解x和y所代表的含义。

2.利用函数单调性证明不等式。利用函数的单调性比较函数值大小的例子已屡见不鲜，而其作为证明不等式的重要方法，关键在于判断所选函数的单调性。在教学中，教师常用如下的导数判别法。

若函数f（x）在区间I上有定义，当x∈I时，有f'（x）≥0，则f（x）在区间I上单调递增；若

f'（x）≤0，则f（x）在区间I上单调递减。

例如，求证不等式lnx≤x-1（x＞0）成立，当且仅当x=1时二者相等。

证明：作辅助函数f（x）=lnx-x+1，x＞0，则f'（x）=-1=，当0＜x＜1时，f'（x）＞0，

f（x）在区间（0，1）上单调递增；当x＞1时，

f'（x）＜0，f（x）在区间（1，+∞）上单调递减，故x＞0时，f（x）max=f（1）=0，即当x＞0时，f（x）≤f（1）=0，从而lnx≤x-1（x＞0）成立，当且仅当x=1时二者相等。

（二）运用数形结合思想，巧解难题

“数”和“形”是数学中两个最基本的概念，数形结合思想中的“形”是指每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状、大小、位置密切相关的数量关系，反之，数量关系通常可以用几何图形直观地反映和描述。数形结合思想的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，利用三角形、长方形、圆形等平面图形描述题目中的数量关系，直观地呈现数学世界的客观规律，使抽象思维和形象思维结合，找到解决相关数学问题的最佳思路和技巧。

数形结合思想是比较重要的解题方法之一，它能够帮助学生快速找到解题思路和突破口。在教学过程中，教师可以运用数形结合思想引导学生探究问题和解决问题。在高中数学解题过程中运用数形结合思想时，教师需要注意以下四个方面：一是注重培养学生的图像分析能力；二是引导学生将抽象问题转化为具体形象问题；三是引导学生建立空间观念；四是引导学生深入理解题目中所包含的实际意义。在高中数学解题过程中，教师要引导学生灵活运用数形结合思想解答数学问题，以提高解题效率。在解答几何题时，教师可以引导学生运用数形结合思想分析几何图形，帮助学生掌握正确的解题思路。

（三）运用分类和归纳法，化解难题

1.分类法。分类讨论思想是指在解题过程中，根据题目内容将已知条件分类，并分析和探讨分类结果，从而找到最优解。分类讨论思想在数学、物理、化学、生物等学科中都有应用，在高中数学中的应用也较为广泛。教师可以利用分类讨论思想，引导学生将未知问题转化为已知问题，从而提高解题效率。例如，在讲解立体几何时，教师可以运用分类讨论思想，将立体几何问题转化为平面几何问题，在很大程度上缩短学生的解题时间。

2.数学归纳法。数学归纳法是一种完全归纳思想。例如，对于含有n（n∈N）的不等式，当n取第一个值时不等式成立，再假设不等式在n=k（n∈N）时成立，若能证明其在n=k+1时也成立，那么可以得到这个不等式在n取第一个值以后的一切自然数时都能成立。

证明如下。

当n=1时，不等式 ＜=成立。

假设当n=k时成立，即， + +…

＜，那么，当n=k+1时， + +… ＜+ ＜

+=，即当n=k+1时不等式亦成立，故该不等式对于一切n∈N+都成立。

（四）运用方程思想，巧解疑难点

在高中数学教学中，教师不仅要向学生传授基础知识，还要将解题方法渗透到学生的学习中。在具体的数学解题过程中，教师可以引导学生利用方程思想解决问题，从而提高学生的学习效率。方程思想是一种解决复杂数学问题的重要思想方法，这种思想方法主要包括代数方程、等式方程和不等式方程三种类型。

教师可以运用均值不等式（基本不等式）解答具体的题目，如设a1，a2，…，an是n个正实数，则≥ ≥，当且仅当a1=

a2=…=an时取等号，即算术平均数≥几何平均数≥调和平均数。

例如，已知a，b，c∈R+，求证：++≥

。

该题是一个对称不等式，当且仅当a=b=c时，等号成立，此时，=，所以该题构造数组的结构应该是和。

证明如下。

因为a，b，c∈R+，由均值不等式得出+≥

a，同理：+≥b，+≥c。以上三个不等式两边累加可得+++（a+b+c）≥

a+b+c。故++≥。

二、解题过程中要注意的问题

（一）掌握基础知识，为解题做好铺垫

基础知识是高中数学的重要组成部分，教师在教学过程中要注重学生对基础知识的把握，引导学生打好知识基础，为其后续的学习做好铺垫。教师还要引导学生适时回顾和复习所学知识，让学生在回顾过程中加深对基础知识的理解，为后续的题目解答做好知识铺垫。

（二）学会举一反三，化繁为简

掌握数学解题技巧能够帮助学生提高解题能力和解题效率。在教学过程中，教师要引导学生学会举一反三，化繁为简，从不同角度思考问题。对于一些复杂的数学题，教师可以引导学生将其转化为简单的问题再进行解答，帮助学生更好地掌握知识点，提高解题能力。例如，在讲解“立体几何”的相关知识点时，教师可以引导学生将立体图形转变为平面图形再进行分析，从而解决相关的难题。

（三）做题时要细心，避免马虎

数学在生活中无处不在，其重要性不言而喻。在数学教学中，解题是关键所在。如果学生在做题时不能做到细心和耐心，很容易导致题目理解错误或者计算错误，这些都会影响学生的解题效率和学习效率。因此，教师要重视学生的做题态度，让学生在做题时养成细心检查的习惯。

（四）反复练习，提高效率

解题技巧是在分析题目和不断练习的基础上总结而成的，教师要引导学生根据自己的学习情况，正确合理运用解题技巧，并让学生通过反复练习不断提高自身的解题能力和学习能力，发展数学思维。

结语

在新课改背景下，高中数学的教学难度变大，教师在教学过程中要注重教授解题技巧，帮助学生掌握更多解题技巧，并向学生强调在解题时的注意事项，从而提高学生的数学学习水平。此外，教师还要加强对学生解题能力的培养，鼓励学生多做一些具有挑战性的数学题目，激发学生的学习热情和兴趣，使学生积极主动地投入数学学习，进而提高数学学习效率和学习能力，形成科学的思维方式。

（作者单位：甘肃省武山县第三高级中学）