基于数学核心素养的“勾股定理”教学实践研究

⦿ 河北省唐山市第五十四中学 尚秀清

培养初中学生的数学核心素养,就是要培养学生会用数学的眼光观察现实世界,会用数学的思维思考现实世界,会用数学的语言表达现实世界.在义务教育阶段,数学眼光主要表现为抽象能力(数感、量感、符号意识)、几何直观、空间观念和创新意识;数学思维主要表现为运算能力、推理意识或推理能力;数学语言主要表现为数据意识、数据观念、模型观念、应用意识.课堂作为培养学生核心素养的主阵地,为发展学生的核心素养提供可持续的支撑.勾股定理的应用中蕴含着数学抽象、逻辑推理、几何直观素养.

1 勾股定理的应用中所蕴含的数学学科核心素养分析

1.1 从文字描述到符号表达:勾股定理中的数学抽象

史宁中认为,数学基本思想是数学发展所依赖、所依靠的思想,是研究数学学科不可缺少的思想,也是学习数学.理解和掌握数学所应追求和达成的目标.数学发展所依赖的思想本质上包含抽象、推理、模型,其中抽象是基础.把现实生活中的具体情境通过抽象转化成数学问题,经过推理得到数学结论,再经过模型构建数学与其他的关联.

勾股定理描述了直角三角形三边的数量关系,为全等三角形的判定、相似三角形、三角函数等后续相关数学内容的学习奠定了基础.在传统的数学教学中,受到应试机制的影响,教学更多聚焦于勾股定理在解题中的应用,因而忽视了其自身的教育价值,导致学生对勾股定理的理解流于表面,知其然而不知其所以然,没有经历勾股定理的抽象过程.数学抽象的本质在于摒弃一切物理属性而获得数量与数量关系、图形与图形关系的本质属性.在“勾股定理”的教学中,可以通过创设情境,引导学生经历勾股定理的抽象过程.例如,可以给出一些三角形,其中包括锐角三角形、直角三角形和钝角三角形,然后由学生来发现这些三角形边长的数量关系,确定哪类三角形的边长的数量关系是稳定的,完成文字表述,进而形成符号语言,这本身就是数学抽象的过程.

1.2 从图形关系到数量关系:勾股定理中的几何直观

在研究几何图形的数量关系时,要结合图形直观地去探索和研究,不能凭空思考;反之,几何图形中又蕴含了与其紧密联系的数量关系.勾股定理描述了直角三角形三边的特殊关系,它架起了几何与代数的桥梁,在初中数学课程结构中,贯穿于不同内容不同问题中,把边之间的关系转化为数的关系.华罗庚教授曾指出“数缺形时少直观,形少数时难入微”.数形结合作为一种常见的数学思想方法,是培养学生几何直观、推理能力和应用意识等素养的重要载体.勾股定理是数形结合的经典内容,主题思想是用代数方法解决几何问题.例如,嘉嘉要将一根竹竿带进电梯,电梯的长、宽、高分别是2 m,1 m,3 m,那么嘉嘉放到电梯内的竹竿最大长度是多少呢?要解决这个问题,需要抽象出长方体模型,进而将问题转化为长方体内线段最长的问题.学生通过分类讨论及对图形的观察、比较,探究出电梯斜对角之间的线段最长,探究过程中培养了学生的几何直观素养.

1.3 从经验感知到论证推演:勾股定理中的逻辑推理

数学的主要功能之一就是培养学生的逻辑推理能力.《义务教育数学课程标准(2022年版)》在课程总体目标中做了如下要求:经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程,发展合情推理和演绎推理能力.能有条理地、清晰地表述自己的观点.勾股定理的探究过程“创设情境—观察、分析、归纳—获得猜想—操作、验证和证明猜想”是合情推理、演绎推理课堂教学模式.如在探究勾股定理时,先从特殊情况入手,在网格纸上画格点等腰直角三角形,以三边为边向外作正方形,利用面积法探究出等腰直角三角形三边关系,然后继续探究特殊直角三角形三边关系,最后探究一般直角三角形三边关系,这个过程是从特殊到一般的推理,推理形式主要有归纳.

2 数学核心素养在勾股定理应用中的渗透

学生数学学科核心素养的落实,不是指传授具体的数学知识与数学技能,也不是培养一般意义上的数学能力,它基于数学知识技能,又高于具体的数学知识技能,凌驾于数学思想与数学方法之上.下面谈谈数学核心素养在勾股定理应用中的渗透.

2.1 创设数学情境,发展数学抽象素养

教育家陶行知先生提出了“教学生活化”的教育思想,即从学生熟悉的生活情境出发,打破教材,从学教材变为用教材,把社会生活中的有效资源与课本知识融会贯通.教师要充分挖掘生活中的素材,引领学生经历观察、领悟抽象、建立模型过程,进而发展数学抽象与直观想象素养.数学从生活中来,又应用于生活中.如从毕达哥拉斯到朋友家做客发现朋友家地砖铺成的图案,反映了直角三角形三边的某种数量关系.从实际生活引入,通过对一系列等腰直角三角形、一般直角三角形三边数量关系的探究,学生发现这些边的数量关系中有稳定关系,用数形结合思想,发展学生的数学抽象素养.

2.2 学习数学新知,发展几何直观素养

史宁中教授说,数学知识的形成依赖于直观,数学知识的确定依赖于推理.换句话说,数学的结果有时可以依靠“观察”得出并不是经过“推理”得到的.所谓“观察”是一种直觉判断,这种直觉判断是学生经过长期有效的观察和思考形成的一种能力.这种能力被称为直观能力,是人本身先天存在的,不需后天培养,但是良好的直观能力的养成却依赖于经验.直观不是“教”出来的,而是自己“悟”出来的,这就需要经验积累.在证明勾股定理的探究中,学生准备边长分别为a,b的两个正方形纸板,一把剪刀,一把直尺.

如图1,把边长为a,b的两个正方形连在一起,它的面积是a2+b2;另一方面,这个图形分可割成四个全等的直角三角形和一个小正方形.

图1

把图1中的两个三角形移到图1(2)中所示的位置,形成以c为边长的正方形(赵爽弦图).课堂中,学生动手操作、探究,进而发现直角三角形三边的关系,发展了几何直观素养.

2.3 经历勾股定理的探索和证明,发展逻辑推理素养

苏霍姆林斯基曾经说过,学生动手操作是培养学生推理能力有效途径.我国著名教育家陶行知先生提出了“手脑并用”的理论,他提倡让孩子通过自己的口、眼、手,在亲自感知、观察、操作的过程中习得知识.本研究认为,教师在课堂上组织学生观察、动手操作,启发他们思考,指导他们通过观察与分析、领悟与发现,归纳其中的规律,发展学生逻辑推理能力.活动一:让学生画三个直角边长分别为1,2,3的等腰直角三角形,以三边为边向外作正方形,并观察正方形的面积关系.以直角边为边的正方形面积记作SA,SB,以斜边为边的正方形面积记作SC,则SA+SB=SC.活动二:学生在网格纸上画一个直角边长度分别为3,4的直角三角形,得到SA+SB=SC.活动三:猜想一般直角三角形的三边是否也具有这个特征?在这个教学片断中,师生围绕直角三角形的三边关系问题,经历从特殊直角三角形到一般直角三角形,层层深入,得出直角三角形的三边关系.教师在学生的最近发展区设置问题,启发学生思考,引导他们亲历“猜想-验证-结论”的探究过程,发展合情推理能力,体现了数学是思维的体操;培养学生从特殊到一般的逻辑推理能力,“有情理、合理性地思考”,提高学生发现问题、提出问题、解决问题的能力.这种循序渐进、拾阶而上的过程和方法是数学育人的力量所在,是培养学生的理性思维、发展学生的数学学科核心素养的关键载体[1].

2.4 深度探究、拓展思维,鼓励学生实践创新

新课程要求培养学生的批判意识、质疑精神和创新能力,更重视学生的自主性、主动探究,使学生能够在学习过程中更好地发现问题、提出问题、分析问题、解决问题.在课堂教学中,教师应依据学习目标,精心创设问题情境,鼓励学生积极思考,引导学生探究、交流,促进学生能力得到提升和发展.

探究活动:学生课前准备4个全等的直角三角形,每个直角三角形的直角边长分别为ɑ,b(ɑ

本环节问题的设置具有开放性,有利于促进学生从多方面、多角度(如图2)进行思考,从而使思维向纵深、宽广的方向发展,培养创新思维.

图2

追问:用两个直角三角形能证明勾股定理吗?

学生的思维大门被打开,通过拆分、平移三角形等得到新的证法,如图3所示.

图3

“知识只有当它靠积极的思维得来,而不是靠记忆得来的时候,才是真正的知识.”在课堂教学中,教师要把琢磨、研究的权利还给学生,给学生充分思考、合作交流的时间.这样利于培养学生的逻辑思维能力,引发学生独立思考,利于培养学生质疑、探究能力,利于学生创新思维及学习主动性的培养.

总体来说,数学核心素养包含数学观察、数学思考及数学表达.数学观察即数学抽象能力、几何直观;数学思考即数学推理能力及数学运算能力;数学表达包含数学模型意识及数据观念.勾股定理的学习,注重了知识的来源及其在现实生活中的应用,学生经历观察思考、动手操作、猜想验证,完成了对勾股定理的探索.学生在探究过程中体验数学推理的方法;重视勾股定理的得出过程,注重数学内在的前后逻辑.学生经历抽象、归纳过程,学会用数学思维认识问题,用数学的眼光去观察,落实了数学抽象、几何直观、逻辑推理素养的培养.从学生的认知规律出发,建立研究问题的思路,引导学生从特殊到一般进行探究,发现规律、验证猜想,进而得出结论.用数学的思维思考现实世界,通过小组或同学间的交流,逐渐学会清晰、准确而有逻辑地表达思想,善于倾听他人见解,内化他人思想,达到同学之间相互学习和共同提高[2].最后,用数学的语言描述现实世界.