基于数列知识,高三备考复习建议

⦿ 新疆实验中学 阿丽米热·艾尼

近几年的高考对数列知识的考查切实吻合《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》的要求.以数列的基本概念、基本类型、基本公式、基本性质以及基本应用等入手,坚持素养导向,重视数学基础与数学本质,突出能力为重,是高考命题中专注学科素养培养、体现关键能力考查的一个主要载体.同时,数列知识可以很好回归数列的函数属性,巧妙联系函数与方程、不等式等相关知识,起到很好的知识交汇与融合的作用;数列知识又可以合理联系生活实际,对于实际应用与创新应用也有很好的导向作用.

基于此,数列成为高考命题中的主干知识点之一,也是高考重点考查的内容之一.为了更好地、更有针对性地对数列专题进行复习,笔者结合内容给出如下备考建议.

1 把握复习方向,科学精准研究

高考复习与备考,往往是基于对专题知识的精准研究,充分把握备考方向为根基.深入研究“课标”,回归教材,研究历年高考真题等,从中探寻一些高考命题的方向与特征,为更加有效的复习备考提供条件.

对于数列模块的复习备考,必须基于数列基础知识,通过“三靠”(靠知识、靠技能、靠思维)来解决数学能力问题,依托“三练”(练思路、练运算、练表达)来合理训练与提升,实现复习教学的“三会”(会观察、会联想、会转化)目的.基于此,巧妙将数列与函数、数列与不等式等加以综合与交汇,有时还要将数列与概率等相关知识加以融合,实现创新与应用.

例1已知数列{an}满足an=an+1+an-1(n≥2),设数列{an}的前n项和为Sn,若S202=201,S201=202,则S203=______.

分析：根据题设条件,合理通过数列递推关系式的变形与转化,确定数列{an}是周期为6的周期数列,进而利用题设条件中的S202=201,S201=202,确定相应项的值,进而加以分析与求解.

解析：由an=an+1+an-1,可得an+1=an-an-1.

所以an+2=an+1-an=-an-1,an+3=an+2-an+1=-an,则有an+6=-an+3=an,故数列{an}是周期为6的周期数列.

又由an+3=-an,得an+an+3=0,从而an+an+1+an+2+an+3+an+4+an+5=0,即数列{an}中连续6项之和为0,而a1+a4=0,a197+a198+a199+a200+a201+a202=0,a3=a2-a1,所以S202=a1+a2+a3+a4+33(a197+a198+a199+a200+a201+a202)=a2+a3=201,S201=a1+a2+a3+33(a196+a197+a198+a199+a200+a201)=a1+a2+a3=2a2=202.

解得a2=101,a3=100.

又a1+a4=0,a2+a5=0,所以S203=a1+a2+a3+a4+a5+33(a198+a199+a200+a201+a202+a203)=a3=100.

点评：涉及陌生的数列问题,特别涉及数列的递推关系式问题,往往可以通过多个式子,合理观察相应式子之间的关系,加以合理化归与转化,巧妙变形应用,从而归纳与总结其基本规律,确定相应的性质,为进一步的分析与求解提供条件.

2 强化数学运算,贯穿复习始终

数列试题,对数学运算的要求是最为直接的,也是数学运算能力与素养最常用的一种考查方式.

强化数列专题中基本量的运算,优化数学运算方法,提升数学运算效益等,都是复习备考中必须加以重点强调的一个基本点.

在数列专题复习备考过程中,专注于数列模块知识的“通性通法”的理解与掌握,合理优化数学运算,可以进行“一题多解”和“多题一解”等的训练与反思,这对强化与优化数学运算等都有很大的益处.

例2已知数列{an}对任意k∈N*满足ak+1+ak=4k+3,则a1+a2 024=______.(4 051)

分析：根据数列的递推关系式合理配凑处理(常用待定系数法)构建结构相似的递推式,利用迭代处理来构建数列的通项公式,从而实现问题的分析与求解.

3 加强解题教学,渗透思想方法

数列作为一类离散型的函数模型,知识点中蕴含着丰富的数学思想与方法,除了函数中自身包含的函数与方程思想、分类与整合思想外,还有一些转化与化归思想、数形结合思想等,在命题设置中往往都会有所体现.因而,在数列专题的复习备考过程中,以基础知识为背景,合理依托解题技巧与方法,融入基本的数学思想与方法,可以更加合理优化逻辑推理,减少数学运算,这些对于提升解题效益等都是非常有帮助的.特别是对于一些创新型应用问题,回归数列的本质与内涵,结合对应的数学思想方法来处理,可以更加有效地展示数学思维过程,体现解题技巧的思想化,达到最佳解题效益.

例3已知数列{an}中,a2=1,设Sn为{an}前n项和,2Sn=nan.

(1)求{an}的通项公式;(an=n-1)

分析：(1)根据数列通项an与前n项和Sn共存的问题场景,从特殊情况出发确定数列的前若干项,利用2Sn=nan以及an=Sn-Sn-1的关系,合理进行消参并化归转化,再结合连续两项之间的比值关系,借助累乘法加以化归与运算;(2)利用cn的表达式的变形与转化,合理裂项相消求和,通过数列不等式的求解来确定最小正整数n的值.

点评：求解数列综合应用问题的基本策略在于“归”——化归与归纳,“算”——基本量的运算.特别是涉及数列的通项公式、数列求和以及数列与不等式等相关知识的交汇与综合应用,合理加以化归与转化,结合数列运算来分析与处理.

4 强调主题研究,提升创新应用

数列是体现“重思维、重应用、重创新”数学命题理念的重要载体,基于数列自身的基本特性,经常以数列为场景设置一些创新应用问题,更加契合生活实际,对于深化学生的数学建模、创新应用等方面都是有益处的.

因此,在数列模块的复习备考过程中,引导学生全面理解与掌握数列的基础知识,进而结合实例加以创新与应用,突出数列的应用性、创新性等方面,更加吻合试题对学生基础知识与关键能力的考查,培养学生的创新意识与创新应用.

分析：根据题设中的场景合理构建数列{an}{bn}的递推关系式,通过累加法和等差数列的求和公式来确定数列{an}的通项,并结合等比数列的定义等来确定数列{bn}的通项,再利用作商比较法,结合不等式的基本性质来确定最值问题,实现合理的决策与判断.

点评：在利用不等式性质判断数列{cn}的单调性时,要注意这里的变量是正整数这一隐含条件.此类问题结合现实生活实际,以实际决策问题来创新设置,巧妙融入等差数列与等比数列、数列及其基本性质、不等式、函数与导数的应用等基本知识.借助数学建模,通过数学模型的构建与解模,合理分析与求解,提供决策依据与判断.

正确关注数列的基本概念、数列的本质与性质等,科学精准研究基本考点,贯穿高三复习教学的整个过程,合理渗透数学思想方法并把握技巧方法,提升数列知识的应用性与创新性等方面的研究,从而不断强化“四基”,提升数学能力,培养数学核心素养.