基于统计知识,高三复习建议

⦿ 江苏省海门中学 季佳雯

《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》中多次出现“情境”一词,《中国高考评价体系》也规定了高考的考查载体——情境,并以此承载考查内容,实现考查要求.数学情境是高考评价体系中最重要的创新之一,是实现“价值引领、素养导向、能力为重、知识为基”的考查目标的载体.数学试题情境一般取材于学生生活中的真实问题,贴近学生实际,具有现实意义,具备研究价值.

对统计知识(包括必修第二册第九章“统计”、选择性必修第三册第八章“成对数据的统计分析”这两个部分)的考查,正是依托情境而设置的基本考点之一,成为考查数学基础知识,培养学生理性思维方式,提高学生分析、解决问题能力的一个重要载体.鉴于此,结合统计知识的基本特点,建议高三复习备考中应注意以下几点.

1 夯实基础,注重对数学概念的教学

高考对统计内容的考查,虽然试题千变万化,但都以基本概念、基本思想为基础,所以在复习中要以“课标”为轴,围绕教材,对重点概念强化复习,夯实基础知识.统计中的概念众多,在复习备考中,教师要引导学生回归教材,对教材中的基本概念进行梳理.统计的基本研究过程,即收集数据→整理数据→分析数据→统计推断,这条主线可以将统计的有关概念串联起来.

例1某家大型超市统计了八次节假日的客流量(单位:百人)分别为29,30,38,25,37,40,42,32,那么这组数据的第75百分位数为______.(39)

分析：根据统计应用情境,结合第75百分位数的定义加以合理计算,即可确定相应的答案.

点评：百分位数是在初中以及旧教材中对于样本的特征数字所对应的中位数的基础上进一步细化与深入,是用样本估计总体中的一个新概念,为数据分析与决策问题提供更为详细的数据信息,因而成为高考命题中的一个重要基本概念.

2 加强数据处理能力和运算能力的培养

“课标”对数学能力的要求中,在统计知识主要涉及数据处理能力,通过数据分析,借助统计知识与方法、公式等构建模型对数据进行分析、推断,获得结论;另外还涉及数学运算能力.这是该模块知识中应用最为广泛的两种基本能力,要加以全面提升.

统计问题的核心是样本数据的收集和处理方法,这也是高考考查的重点,所以在教学中要加强数据处理能力和运算能力的培养.

表1

分析：根据题意,利用总体的样本平均数、方差的计算公式,通过合理分析与逻辑推理加以计算得到对应的答案.

点评：依托现实生活中的应用情境,以统计模块的基础知识为应用背景,借助平均数与方差公式,通过题中数据加以运算与比较.特别在对一些实际应用问题进行决策与判断时,要有数据依据与基础.

3 加强阅读理解能力的培养

高考在统计方面的命题常以应用题为载体,重视统计的理论知识与实际生活相结合,题材内容丰富,注重考查考生各方面的能力与应用,往往考题的文字描述多,对考生的阅读理解能力要求高.因此,要加强阅读理解能力的培养,重视审题教学,教会学生准确理解题意,并通过数据分析来分析与处理问题.

例3在南极,东南极冰盖被称为“沉睡的巨人”,是世界上最大的大陆冰川,包含了世界上大部分的冰.2022年在英国《自然》杂志发表的一篇论文指出,若《巴黎协定》的控温目标未能达成,东南极冰盖会因气候变化影响而加速融化,到2500年,可能导致海平面上升2～5米.无独有偶,2023年发表于《科学》杂志的新研究中,法国图卢兹空间地球物理学和海洋学研究实验室领衔的国际团队揭了比之前预测的更大的冰川质量损失,全球温度升高与冰川质量损失之间存在线性相关关系,有如表2所示的数据:

表2

根据数据,绘制如图1所示的散点图,则下列说法正确的是( ).(C)

图1

①冰川消融百分比与温度上升量存在正相关关系;②由表中数据用最小二乘法得到的线性回归直线一定经过点(1.25,41)③记表中数据y1,y2,y3,y4,y5,y6的方差为s,若控温措施有效,则冰川消融百分比将变为z%,且zi=0.6yi+0.005(i=1,2,3,4,5,6),那么z1,z2,z3,z4,z5,z6的方差将变为s′=0.6s+0.005.

A.① B.③ C.①② D.②③

分析：通过素材的阅读理解,根据题中的数据信息,结合散点图可以判断①,由线性回归方程恒过样本点的中心判断②,由方差公式的性质判断③,进而综合来分析与判断.

点评：以统计数据信息与图形信息来创设问题场景,结合线性回归方程的确定与性质、样本估计值的计算,特别是方差公式的应用等,综合考查数据处理、数学运算、直观想象等素养,特别是阅读理解能力.

4 注重数学核心素养的培养及思想方法的渗透

高考命题对统计模块的要求同样也是以知识为载体,能力立意为本,数学思想方法为灵魂,数学核心素养为统领来考查.在实际的统计模块知识复习教学时,合理落实“四基”,全面培养“四能”.

A.平均数为2 B.中位数为2

C.方差为2 D.标准差为2

分析：根据题中样本数据的总和与平方和的数据信息,结合各对应样本数据信息与对应的公式进行计算,即可正确判断.

点评：数据信息与样本估计值的公式等,是考查学生数学运算与数据处理能力与素养的一个重要场景.基于统计场景与应用,合理借助对应的数据信息与数据处理,达到合理考查的目的.

5 认真研究考题,把握高考命题方向

把脉高考命题方向是每位教师备考时的一项重要工作.近几年高考对统计方面的考查内容和方向变化不大,保持较高的稳定性.高考主要考查统计中的基本概念,抽样方法,样本的数字特征,频率分布直方图以及其他统计图表,总体百分位数,统计相关性,独立性检验与回归方程等知识的应用、决策问题.复习时要做好近年高考题的归类整理,备考选题以全国卷为主,分类分组训练,避免知识类型的“盲区”,并领会题目所蕴含的数学思想与方法.

例5为研究农药A对农作物成长的功效,在甲、乙两块试验田播种同一种农作物,甲试验田喷洒农药A,乙试验田没有喷洒农药A,经过一段时间后,从甲、乙两块试验田各随机选取100株幼苗,统计200株幼苗高度(单位:cm)如表3所示.

表3

(1)分别求甲、乙两块试验田中幼苗的平均高度的估计值(同一组中的数据以该组区间的中点值为代表);(10.1cm)

(2)分别统计样本中甲、乙两块试验田幼苗高度小于10 cm和不小于10 cm的株数,完成下列联表(表4),并依据小概率α=0.01的独立性检验,分析是否喷洒农药A与幼苗生长的高度有关联?(有关联)

表4

χ2独立性检验中常用的小概率值和相应的临界值如表5所示.

表5

分析：(1)根据题中数据信息,利用平均数公式加以分析与数学运算;(2)根据数据信息完成2×2列联表,结合公式计算χ2的值,进而加以分析与推断.

点评：以实际应用问题为情境,借助独立性检验的创设与应用,合理融入统计知识中的频率分布直方图、样本估计与平均值求解等,借助数形结合与数学运算等,综合考查对应的统计知识与应用.

近年新高考中,涉及的统计模块试题考查的内容紧密对标“课标”,与教材中知识内容所占的比例比较吻合,注重全面考查数学基本知识,并在此基础上加以深化,在“通性通法”的基础上,进行了适度的综合与创新,提升创新性与应用性.